苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.1.2椭圆的几何性质【同步作业】（含解析）

3.1.2椭圆的几何性质
一、单选题
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，下列结论正确的是（　　）
A．焦点坐标 B．长轴长为4
C．短轴长为1 D．焦距为
4．椭圆与椭圆有（ ）
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．前三个答案都不对
5．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于（ ）
A．1 B．±1 C．－1 D．±2
7．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．24 B．28 C．40 D．48
8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、多选题
9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
10．已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
三、填空题
11．P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.
12．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，轴，则的面积为____________．
四、解答题
13．求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形：
（1）； （2）．
14．已知椭圆C1: ，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.
（1）求椭圆C2的方程;
（2）已知为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且，求的面积.
3.1.2椭圆的几何性质答案
一、单选题
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，再结合，可求出，从而可得椭圆方程
【详解】
解：由题意可得，解得，，
所以，
所以椭圆的方程为，
故选：A
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用离心率与、的关系即可获解
【详解】
，得，得，即．
故选：B
3．已知椭圆，下列结论正确的是（　　）
A．焦点坐标 B．长轴长为4
C．短轴长为1 D．焦距为
【答案】B
【分析】
求出，再由椭圆的性质得出答案.
【详解】
椭圆的
则焦点坐标，长轴，短轴，焦距
故选：B
4．椭圆与椭圆有（ ）
A．相同短轴 B．相同长轴
C．相同离心率 D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】
由于椭圆中，由于与的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，即可得正确答案.
【详解】
在中，，，可得：
所以其长轴长为，短轴长为，离心率，
在椭圆中，由于与的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，
所以选项ABC都不正确，
故选：D.
5．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用椭圆的定义即可求解.
【详解】
设的内切圆的半径为，
由，则，，
所以，，
由，
即，
即，若的内切圆的半径最大，
即最大，又，
所以.
故选：D
6．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于（ ）
A．1 B．±1 C．－1 D．±2
【答案】B
【分析】
首先求椭圆的焦点，代入直线，计算的值.
【详解】
因为椭圆的焦点F1(0，－3)，F2(0，3)，
点代入直线，得，点代入直线，得
所以b＝1或－1.
故选：B
7．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．24 B．28 C．40 D．48
【答案】A
【分析】
本题首先可根据椭圆定义得出以及，然后根据得出为直角三角形，即可求出的面积.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以由椭圆的定义可知，，
因为，所以，
因为，所以为直角三角形，
则，
故选：A.
8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致.
【详解】
若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或
故选：C.
二、多选题
9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
【答案】AB
【分析】
由题意可得，从而可求出的值，进而可求出的值和离心率
【详解】
由已知可得，解得或（舍去）
，
∴长轴长为，短轴长为，离心率为，
故选：AB.
10．(多选)已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
【答案】AD
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：用点斜式方程一一验证；
对于B：利用椭圆的标准方程验证；
对于C：利用椭圆的标准方程验证；
对于D：判断直线圆椭圆的位置关系即可.
【详解】
解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；
而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；
若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.
【答案】4
【分析】
根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.
【详解】
由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，
故答案为：4.
12．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，轴，则的面积为____________．
【答案】
【分析】
根据轴，求出点的坐标，由，即可求出的面积.
【详解】
解：根据题意，可得，
因为轴，故设，
代入得：，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形：
（1）； （2）．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
将椭圆方程改写为标准形式，即可确定a、b、c及长轴、短轴的位置，进而求出（1）（2）椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出椭圆图形.
【详解】
（1）由题设，椭圆的标准方程为，
∴且长轴在x轴上，长轴长，短轴长，
∴，焦点坐标为，顶点坐标为、，
（2）由题设，椭圆的标准方程为，
∴且长轴在y轴上，长轴长，短轴长，
∴，焦点坐标为，顶点坐标为、，
14．已知椭圆C1: ，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.
（1）求椭圆C2的方程;
（2）已知为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且，求的面积.
【答案】（1）=1；（2）.
【分析】
（1）由已知可得C2的短轴长，焦点在轴上，再由离心率求出即可求解.
（2）利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）椭圆C1: ，长轴长为，离心率，
设C2的方程为，由题意可得， 所以，
又，解得
由，解得，
所以椭圆C2的方程为.
（2）由（1）可得，
因为，
在中，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，
所以.
【点睛】
本题考查了由椭圆的离心率求椭圆的标准方程、焦点三角形的面积，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
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