苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2 双曲线【同步教案】（解析版）

3.2 双曲线
1.双曲线的定义
平面内的两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1,F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两点定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距
2.双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
3.双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
4.直线与双曲线的位置关系
将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，
(1)若得带的方程是一元一次方程，且直线与双曲线的渐近线平行，即直线与双曲线相交且只有一个公共点
(2)若得到的方程是二次方程，则
Δ>0方程组有两组解直线与双曲线相交；
Δ＝0方程组有一个实数解直线与双曲线相切；
Δ<0方程组有无数实数解直线与双曲线相离．
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
利用双曲线的定义求方程
例题1
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　）
A． B．
C． D．
训练1
已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A． B．
C． D．
训练2
与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
根据双曲线的渐近线求标准方程
例题1
双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2
焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
训练1
已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点，且（为原点），若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
训练2
已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的个数为（ ）
①的实轴长为；②的离心率为；
③曲线经过的一个焦点；④直线与有两个公共点.
A．个 B．个 C．个 D．个
一、单选题
1．双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
4．已知双曲线的左 右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是离心率为的双曲线()的左 右顶点，点是以虚轴为直径的圆上的且在第一象限内的任意一点，则（ ）
A．的值随着点的横坐标的增大而减小
B．的值随着点的横坐标的增大而增大
C．当点的横 纵坐标相等时，的值最大
D．是定值
7．如图所示，已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为双曲线的左 右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
9．如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是______．
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，，点是双曲线渐近线上一点，点是双曲线上一点，（其中为坐标原点，点与点不重合），且，则双曲线的方程为_____．
11．双曲线的共轭双曲线的焦距长为_______.
三、解答题
12．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求其离心率的值.
14．已知双曲线，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；
（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
15．已知双曲线经过点，且实轴长是半焦距的倍.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）若直线与双曲线交于，两点，求.
3.2 双曲线答案
1.双曲线的定义
平面内的两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1,F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两点定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距
2.双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
3.双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
4.直线与双曲线的位置关系
将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，
(1)若得带的方程是一元一次方程，且直线与双曲线的渐近线平行，即直线与双曲线相交且只有一个公共点
(2)若得到的方程是二次方程，则
Δ>0方程组有两组解直线与双曲线相交；
Δ＝0方程组有一个实数解直线与双曲线相切；
Δ<0方程组有无数实数解直线与双曲线相离．
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
利用双曲线的定义求方程
例题1
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取求得值即可．
【详解】
由，得
，
其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4．
平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，
由题得，解之得.
所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是
．
联立，解得．
故选：C．
【点睛】利用考查双曲线的定义求方程.
例题2
已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
【详解】
由题意画图如下
可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，
那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
当如下图时，
则|PN|﹣|PM|=（|PB|-|NB|）﹣（|PA|-|AM|）=|MA|﹣|NB|=4﹣2=2＜|MN|，
又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，
所以点P的轨迹方程为．
故选A．
【点睛】双曲线的定义与标准方程．
训练1
已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.
【详解】
设动圆的圆心M的坐标为，半径为，
则由题意可得，
相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，所以，
故点M的轨迹方程为，故选B.
【点睛】考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用.
训练2
与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【答案】C
【分析】
设动圆P的半径为r，然后根据动圆与⊙O：x2+y2＝1，⊙F：都外切得|PF|＝3+r、|PO|＝1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．
【详解】
解：设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x2+y2﹣8x+7＝0的圆心为F（4，0），半径为3．
依题意得|PF|＝3+r，|PO|＝1+r，
则|PF|﹣|PO|＝（3+r）﹣（1+r）＝2＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的左支．
故选C．
【点睛】考查双曲线的定义，考查圆与圆的位置关系．
根据双曲线的渐近线求标准方程
例题1
双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可得的值，结合以及渐近线与垂直即可求出的值，进而可得双曲线的方程.
【详解】
因为双曲线的焦距为，所以，可得，
即，
因为双曲线的渐近线与垂直，
所以即，
由 解得：，
所以双曲线的方程为，
故选：D
【点睛】解题的关键是根据已知条件得出关于的方程组，解方程组即可求解.
例题2
焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设要求双曲线的方程为，结合焦点的位置可得，可得其标准方程为：，由双曲线的几何性质可得，解可得的值，代入双曲线的标准方程即可得答案．
【详解】
根据题意，要求双曲线与有相同的渐近线，可以设其方程为：，
又由其焦点为，则其焦点在轴上且，必有，
故其标准方程为：，
则有，
解可得；
故要求双曲线的标准方程为：；
故选：
【点睛】考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是掌握渐近线相同的双曲线方程的设法，．
训练1
已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点，且（为原点），若，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据双曲线可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线中的关系;由双曲线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得,表示出,再根据求得的关系,结合双曲线中解方程组即可求得,进而得双曲线的方程.
【详解】
双曲线
则其离心率为
设,双曲线的一条渐近线方程为,即
则
由可得,所以
又因为双曲线、的离心率相同
则, 解方程组可得
所以双曲线的方程为
故选:D
【点睛】考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法.
训练2
已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的个数为（ ）
①的实轴长为；②的离心率为；
③曲线经过的一个焦点；④直线与有两个公共点.
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】
设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，可得出双曲线的方程，然后利用双曲线的几何性质可判断出命题①②③的正误，将直线的方程与双曲线的方程联立，由的符号判断出命题④的正误.
【详解】
由于双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，
所以，双曲线的方程为.
对于命题①，双曲线的实轴长为，命题①正确；
对于命题②，双曲线的离心率为，命题②正确；
对于命题③，令，得，所以，曲线经过双曲线的右焦点，命题③正确；
对于命题④，联立，消去得，，
则直线与双曲线只有一个公共点，命题④错误.
因此，真命题的个数为.
故选：C.
【点睛】考查双曲线相关命题真假的判断，解题的关键就是要求出双曲线的标准方程，要理解双曲线的标准方程与渐近线方程之间的关系.
一、单选题
1．双曲线的顶点焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式结合建立方程组，即可求解
【详解】
双曲线的焦点到渐近线的距离为，
顶点到渐近线的距离为，
由解得
所以双曲线的方程为．
故选：D
2．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】
设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
3．已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】设，，分别代入椭圆方程，两式相减得，由，得为，的中点，所以，根据直线的斜率求得，即可求解.
【详解】
解：设，，∵，在双曲线上，①，②，① ②得：，因为，也在直线上，所以，又因为为，的中点，所以，，所以，则，双曲线的离心率，
故选：D．
4．已知双曲线的左 右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义和，得到，求得，再结合，列出关于的方程，即可求解.
【详解】
设，因为，可得，
由双曲线的定义可得，
因为，可得，即，解得，
所以，
因为，可得，
即，整理得，
即双曲线的离心率为.
故选：B.
5．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在△，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出各选项中椭圆或双曲线的、的值，假设点存在，根据以及椭圆或双曲线的定义求出，结合焦半径的取值范围即可得出结论.
【详解】
对于A选项，，、，，所以，，
到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，
所以A选项中的椭圆不存在“点”；
对于B选项，，、，，所以，，
到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，解得，不合乎题意，
所以B选项中的椭圆不存在“点”；
对于C选项，双曲线的方程为，则双曲线的两个焦点为、，，，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
则，可得，
即双曲线存在“点”；
对于D选项，双曲线的标准方程为，则，，、，所以，，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
则，解得，
所以D选项中的双曲线不存在“点”.
故选：C.
6．已知，是离心率为的双曲线()的左 右顶点，点是以虚轴为直径的圆上的且在第一象限内的任意一点，则（ ）
A．的值随着点的横坐标的增大而减小
B．的值随着点的横坐标的增大而增大
C．当点的横 纵坐标相等时，的值最大
D．是定值
【答案】D
【分析】依题意得到方程组求出，，设，，则，，再计算即可得出答案．
【详解】
解：因为离心率①，
又因为②，③，
由①②③解得，，即双曲线，
因为点在以虚轴为直径的圆上的且在第一象限内的任意一点，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以为定值，
故选：．
7．如图所示，已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的性质可得，从而判断点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，即可求出方程.
【详解】
由题可得，
则，
则可得点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，
可得，则，
则点的轨迹方程为.
故选：A.
【点睛】考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是能根据已知条件得出，判断出点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支.
8．已知为双曲线的左 右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】求出双曲线的一条渐近线，由点到直线的距离公式计算出的长，运用余弦函数的定义求出即得，在中由余弦定理计算的长，结合已知条件以及离心率公式即可求解.
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，即
则到渐近线的距离为，
在中，，所以，，
在中，
，
所以，即，
所以，可得，
故选：A.
二、填空题
9．如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是______．
【答案】
【分析】运用直角三角形的判定，可得，再由内角平分线性质可得即有，，由双曲线的定义可得，运用勾股定理，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到．
【详解】
解：由为的中点，且，，
可得，
因为是的角平分线，
即有，，
由双曲线的定义可得，
则，
即有在直角三角形中，，
即，
由，可得，
解得或，
由于，则．
故答案为：．
10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，，点是双曲线渐近线上一点，点是双曲线上一点，（其中为坐标原点，点与点不重合），且，则双曲线的方程为_____．
【答案】
【分析】不妨设点在第二象限，设，利用点到线的距离公式求出，即可得到，再根据，求出，再根据双曲线的定义求出，最后在利用余弦定理得到，在根据焦距，即可求出双曲线方程；
【详解】
解：根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，
因为，点到直线的距离，
所以，因为，所以，因为，
所以，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，
所以，又因为，所以，故，
故双曲线的方程为：
故答案为：
11．双曲线的共轭双曲线的焦距长为_______.
【答案】
【分析】由双曲线的共轭双曲线的求法可得：双曲线的共轭双曲线方程为 ，再求即可.
【详解】
解：因为双曲线化为标准式得，
则双曲线的共轭双曲线方程为 ，则，解得，
即，即双曲线的共轭双曲线的焦距长为，
故答案为.
【点睛】考查了双曲线的共轭双曲线的方程的求法及双曲线焦距长的求法.
三、解答题
12．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）；（3）为定值，证明见解答．
【分析】
（1）由题意可得，由直角三角形的性质和双曲线的定义，解方程可得，即可得到双曲线的方程；
（2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，解方程可得，进而得到直线的方程；
（3）设，则，求得双曲线的渐近线方程分别与相应的垂线方程联立，求得交点，，以及、的坐标，由向量数量积的坐标表示，化简整理，即可得证．
【详解】
（1）由双曲线的方程可得，
在直角三角形中，，，
可得，且，
解得，又，
所以，
则双曲线的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
联立，可得，
，解得
设，的横坐标分别为，，则
由、中点的横坐标为1，可得，
解得或（舍去），
所以直线的方程为；
（3）证明：设，则，
由，解得，
由，解得，
所以
，
即．
13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，求其离心率的值.
【答案】2
【分析】求得右焦点到渐近线的距离为，得到，结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为，即
因为双曲线的右焦点到渐近线的距离为，可得，
又由，所以，可得，
所以双曲线的离心率为.
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
14．已知双曲线，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；
（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在点，使得.
【分析】
（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；
（2）设，，，表示出，将代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；
（3）当直线斜率存在时，设，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出，由此可构造方程组求得，得到；当直线斜率不存在时，可知满足；综合两种情况可得结果.
【详解】
（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为，渐近线方程为；
由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，
取，顶点，所求距离，
即双曲线的顶点到渐近线的距离为；
（2）由双曲线对称性知：关于原点对称，
设，，，；
均为双曲线上的点，，两式作差得：，
，即为定值；
（3）由双曲线方程知：；
当直线斜率存在时，设，
由得：，则；
设，，则，，
，，
；
，解得：，；
当直线斜率不存在时，，，此时使得；
综上所述：存在点，使得.
【点睛】考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；
④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.
15．已知双曲线经过点，且实轴长是半焦距的倍.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）若直线与双曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据条件结合，分别求出，，，即可得到答案；
（2）设，的坐标分别为，，联立方程，利用韦达定理和张长公式，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵实轴长是半焦距的倍，∴，即.
∵双曲线经过点，∴.
∵，∴，，.
故双曲线的标准方程为.
（2）设，的坐标分别为，.
联立方程组得，
则，.
故.
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