苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.2双曲线的几何性质【同步作业】（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.2双曲线的几何性质【同步作业】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 672.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:25:38 | ||
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文档简介
3.2.2双曲线几何性质
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3．设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
4．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
8．如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（ ）
A．4 B． C．6 D．9
二、多选题
9．若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
10．已知双曲线的左 右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与 不重合时，直线，的斜率之积为3
三、填空题
11．设圆与双曲线的渐近线相切，则实数________．
12．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.
四、解答题
13．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
14．在①左顶点为，②渐近线方程为，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且_______，求双曲线的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3.2.2双曲线几何性质答案
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
把双曲线方程经为标准方程，由标准方程易得渐近线方程．
【详解】
双曲线标准方程为，渐近线方程为．
故选：C．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程化为标准方程可判断焦点位置和实轴长、虚轴长可得答案.
【详解】
因为方程表示双曲线，所以，且，
所以双曲线的焦点在轴上，且，
所以，
又虚轴长是实轴长的倍，所以，
解得.
故选：C.
3．设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
【答案】C
【分析】
本题目考察双曲线渐近线的方程以及双曲线的定义，由渐近线方程可以求出的值，且是双曲线左支上一点，根据定义可得，根据可求出，且只有一种情况
【详解】
根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以
故选：C
4．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】
双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.
故选：C
5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
写出双曲线方程的渐近线方程，再由平行的条件求出即可得解.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，
依题意直线与直线平行，则有，即，
所以该双曲线的离心率为2.
故选：C
6．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：A.
7．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】A
【分析】
设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】
因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以瓶口直径为，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由的值求得的值，瓶口直径为.
8．如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（ ）
A．4 B． C．6 D．9
【答案】A
【分析】
结合已知条件判断，推出，然后求解，即可求解．
【详解】
因为点为的中点，所以，
又，所以，，
所以，
所以，所以．
所以．
故选：A
二、多选题
9．若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
【答案】BCD
【分析】
由双曲线的焦点坐标求出的值，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；求出的最小值，可判断C选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由题意可得，故，A错；
对于B选项，对于双曲线，，，该双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，的最小值为，C对；
对于D选项，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：BCD.
10．已知双曲线的左 右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与 不重合时，直线，的斜率之积为3
【答案】BCD
【分析】
求出由离心率公式判断A；由距离公式判断B；由结合距离公式判断C；由结合斜率公式判断D.
【详解】
对于A，，，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；
对于D，设，由C得，，，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
11．设圆与双曲线的渐近线相切，则实数________．
【答案】或
【分析】
写出双曲线渐近线的方程和圆的半径及圆心坐标，再根据圆心到渐近线的距离等于半径列方程即可求得b的值.
【详解】
根据题意，圆心坐标为(1，2)，半径
双曲线的渐近线方程为： 或
或 ，计算得： 或
故答案为：或.
12．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，结合，，推出，然后求解离心率，再写一个简单的标准方程即可.
【详解】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，
又，，
则，即有，
所以，，再写一个简单的标准方程即可.
故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
13．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
【详解】
（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
14．在①左顶点为，②渐近线方程为，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且_______，求双曲线的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选① ；选② ；选③
【分析】
由条件可得双曲线的焦点在x轴上，且，选①则，可得答案；选②由双曲线的渐近线方程为知，，可得答案；选③由离心率得，，可得答案.
【详解】
因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且，
选①由左顶点为得，，所以，
所以所求的双曲线方程为；
选②由双曲线的渐近线方程为知，，
所以，所以，
所以所求的双曲线方程为；
选③由离心率得，，所以，
所以所求的双曲线方程为.
3 / 12
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3．设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
4．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
8．如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（ ）
A．4 B． C．6 D．9
二、多选题
9．若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
10．已知双曲线的左 右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与 不重合时，直线，的斜率之积为3
三、填空题
11．设圆与双曲线的渐近线相切，则实数________．
12．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.
四、解答题
13．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
14．在①左顶点为，②渐近线方程为，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且_______，求双曲线的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3.2.2双曲线几何性质答案
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
把双曲线方程经为标准方程，由标准方程易得渐近线方程．
【详解】
双曲线标准方程为，渐近线方程为．
故选：C．
2．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程化为标准方程可判断焦点位置和实轴长、虚轴长可得答案.
【详解】
因为方程表示双曲线，所以，且，
所以双曲线的焦点在轴上，且，
所以，
又虚轴长是实轴长的倍，所以，
解得.
故选：C.
3．设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（ ）
A．2 B．2或18 C．18 D．16
【答案】C
【分析】
本题目考察双曲线渐近线的方程以及双曲线的定义，由渐近线方程可以求出的值，且是双曲线左支上一点，根据定义可得，根据可求出，且只有一种情况
【详解】
根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以
故选：C
4．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】
双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.
故选：C
5．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
写出双曲线方程的渐近线方程，再由平行的条件求出即可得解.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，
依题意直线与直线平行，则有，即，
所以该双曲线的离心率为2.
故选：C
6．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：A.
7．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】A
【分析】
设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】
因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以瓶口直径为，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由的值求得的值，瓶口直径为.
8．如图，，是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则（ ）
A．4 B． C．6 D．9
【答案】A
【分析】
结合已知条件判断，推出，然后求解，即可求解．
【详解】
因为点为的中点，所以，
又，所以，，
所以，
所以，所以．
所以．
故选：A
二、多选题
9．若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是
【答案】BCD
【分析】
由双曲线的焦点坐标求出的值，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；求出的最小值，可判断C选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由题意可得，故，A错；
对于B选项，对于双曲线，，，该双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，的最小值为，C对；
对于D选项，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：BCD.
10．已知双曲线的左 右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与 不重合时，直线，的斜率之积为3
【答案】BCD
【分析】
求出由离心率公式判断A；由距离公式判断B；由结合距离公式判断C；由结合斜率公式判断D.
【详解】
对于A，，，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；
对于D，设，由C得，，，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
11．设圆与双曲线的渐近线相切，则实数________．
【答案】或
【分析】
写出双曲线渐近线的方程和圆的半径及圆心坐标，再根据圆心到渐近线的距离等于半径列方程即可求得b的值.
【详解】
根据题意，圆心坐标为(1，2)，半径
双曲线的渐近线方程为： 或
或 ，计算得： 或
故答案为：或.
12．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合条件的双曲线的一个标准方程为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，结合，，推出，然后求解离心率，再写一个简单的标准方程即可.
【详解】
设渐近线方程为，则点到渐近线的距离，
又，，
则，即有，
所以，，再写一个简单的标准方程即可.
故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
13．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
【详解】
（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
14．在①左顶点为，②渐近线方程为，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且_______，求双曲线的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选① ；选② ；选③
【分析】
由条件可得双曲线的焦点在x轴上，且，选①则，可得答案；选②由双曲线的渐近线方程为知，，可得答案；选③由离心率得，，可得答案.
【详解】
因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且，
选①由左顶点为得，，所以，
所以所求的双曲线方程为；
选②由双曲线的渐近线方程为知，，
所以，所以，
所以所求的双曲线方程为；
选③由离心率得，，所以，
所以所求的双曲线方程为.
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