苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.3直线与双曲线位置关系【同步作业】（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.3直线与双曲线位置关系【同步作业】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 654.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:26:10 | ||
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文档简介
3.2.3直线与双曲线位置关系
一、单选题
1．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8．已知F为双曲线E：的一个焦点，设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|AD|=3|BC|，则F到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、多选题
9．已知动点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线与圆相切
B．满足的点共有2个
C．直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是
D．若，则
10．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（ ）
A． B．的渐近线方程为
C．直线与有两个公共点 D．的面积为
三、填空题
11．双曲线的左 右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.
12．设为双曲线的两个焦点，已知点在此双曲线上，且，若此双曲线的离心率等于，则点到轴的距离等于__________．
四、解答题
13．若双曲线的离心率等于，直线与双曲线E的右支交于A、B两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k的值.
14．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
3.2.3直线与双曲线位置关系答案
一、单选题
1．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时，“直线与双曲线相切”不成立
反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”
所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
故选：．
2．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求解即可．
【详解】
直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，，
直线与双曲线有且只有一个公共点，
有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切．
所以则的不同取值的个数为4个．
故选：．
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.
【详解】
由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或,
故直线的倾斜角的范围为：，
故选：B
4．已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，由直线与双曲线的交点和与直线的交点重合求解.
【详解】
设，直线的方程为，
与双曲线方程 联立解得，
又因为，
所以直线的方程为，
与联立解得，
所以，即，
所以，
故选：D
5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直线的斜率和渐近线的斜率比较，得到直线的斜率的取值范围.
【详解】
由双曲线的方程可得其渐近线方程为，故当点，分别在双曲线的左支和右支上时，直线的斜率的取值范围是.
故选：A.
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用离心率和已知点求出双曲线方程，再利用余弦定理和双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】
由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，，
将点代入双曲线方程得,
根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为，，，
由余弦定理得
，
所以，
由三角形面积公式可得，得.
故选：B.
【点晴】
本题考双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，焦点三角形的处理方法，属于较易题.
7．直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
【分析】
由双曲线，求得其渐近线方程为，根据直线与双曲线的一条渐近线平行，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及其应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．已知F为双曲线E：的一个焦点，设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|AD|=3|BC|，则F到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
由双曲线的方程可得渐近线的方程及焦点的坐标，将与椭圆，与渐近线联立分别求出的横坐标，进而求出的值，可得的值，从而得结果
【详解】
依题意得C在直线上，由得，所以，由及双曲线的对称性可得，代入双曲线E得 ，则到渐近线的距离为，
故选：A.
【点睛】
此题考查双曲线的性质（对称性）及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.
二、多选题
9．已知动点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线与圆相切
B．满足的点共有2个
C．直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
对于A，由已知条件求出渐近线方程和圆的圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直的距离进行判断即可；对于B，由双曲线的性质求出的最小值判断；对于C，由于直线恒过点，所以分或，或和进行判断；对于D，利用双曲线的定义和已知条件可得，从而可判断，从而可求出
【详解】
解：由题意得，，则，所以，渐近线方程为，
对于A，圆的圆心为，半径为，而到直线的距离为，所以双曲线的渐近线与圆相切，所以A正确；
对于B，当点在左支上时，的最小值为，所以左支上有2个点满足，当在右支上时，的最小值为为，所以右支上有2个点满足，综上满足的点共有4个，所以B错误；
对于C，因为恒过点，当或时，直线与渐近线平行，与右支有1个交点，与左支无交点，当或时，与右支有两个交点，与左支无交点，当时，直线与左、右支各有一个交点，所以C正确；
对于D，不妨设点在右支上，则，而，所以，而，所以，所以，所以，所以，所以D正确，
故选：ACD
10．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（ ）
A． B．的渐近线方程为
C．直线与有两个公共点 D．的面积为
【答案】BD
【分析】
先由两曲线的焦点相同，求出，可判断BC选项；再将两曲线联立，求出点的坐标，可判断AD选项，
【详解】
因为双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，
所以，解得，
即，所以其渐近线方程为，焦点坐标为，，即B正确；
因为与双曲线的一条渐近线平行，且过右焦点，所以直线与只有一个交点，即C错；
由解得，又，在第一象限相交于点，所以，
因此，即A错，
的面积为，即D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解.
三、填空题
11．双曲线的左 右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.
【答案】3
【分析】
求出的坐标后可求三角形的面积.
【详解】
因为，，故直线的方程为，
代入，整理得，解得或，
故，故.
故答案为：3.
12．设为双曲线的两个焦点，已知点在此双曲线上，且，若此双曲线的离心率等于，则点到轴的距离等于__________．
【答案】
【解析】
依题意，由，解得，根据双曲线焦点三角形面积公式有，解得，代入双曲线方程解得.
四、解答题
13．若双曲线的离心率等于，直线与双曲线E的右支交于A、B两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由已知得，，再结合，可求出，从而可求出双曲线的标准方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立方程组消去y，再由直线与双曲线E的右支交于A、B两点，可得，从而可求得k的取值范围；
（3）结合（2），再利用弦长公式列方程可求出直线的斜率，
【详解】
解：（1）由已知得，
∵
∴
∴双曲线E的方程为
（2）直线与双曲线E的方程联立，
消去y得，
∵直线与双曲线E的右支交于A、B两点，
∴
解得
∴实数k的取值范围是
综上所述，实数k的取值范围是
（3）设，则由（2）得
，
∵
∴由弦长公式得：
∴
化简，整理得
解得或
∵
∴
综上所述，实数k的值为
14．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【分析】
（1）设，，由题知，从而求得，代入双曲线方程，解得，，从而求得斜率k.
（2）设直线的方程为，与双曲线联立，求得韦达定理，及有2个交点时，判别式大于0,满足的k，m间的关系；并写出直线的垂直平分线方程，分别求得在x，y轴上的截距，求得围成的面积，从而求得k，m间的关系，代入上式中，解得k的取值范围.
【详解】
解：（1）设，，
因为，所以，即，
所以，
所以，所以，，即，
所以.
（2）设直线的方程为（）．
由，整理得．
则，
因为直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点
于是，且．
整理得．
设线段的中点坐标，则，．
所以的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．
由题可得．整理得，．
所以可得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：设方程，联立圆锥曲线方程，求得韦达定理，可以表示出两个交点间的关系，从而在下面条件转化中可以代入，化简求解，本题中有2个交点，应满足判别式大于0，从而参数k的取值范围.
2 / 13
一、单选题
1．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8．已知F为双曲线E：的一个焦点，设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|AD|=3|BC|，则F到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、多选题
9．已知动点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线与圆相切
B．满足的点共有2个
C．直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是
D．若，则
10．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（ ）
A． B．的渐近线方程为
C．直线与有两个公共点 D．的面积为
三、填空题
11．双曲线的左 右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.
12．设为双曲线的两个焦点，已知点在此双曲线上，且，若此双曲线的离心率等于，则点到轴的距离等于__________．
四、解答题
13．若双曲线的离心率等于，直线与双曲线E的右支交于A、B两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k的值.
14．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
3.2.3直线与双曲线位置关系答案
一、单选题
1．在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，
此时，“直线与双曲线相切”不成立
反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”
所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
故选：．
2．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求解即可．
【详解】
直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，，
直线与双曲线有且只有一个公共点，
有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切．
所以则的不同取值的个数为4个．
故选：．
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.
【详解】
由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或,
故直线的倾斜角的范围为：，
故选：B
4．已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，由直线与双曲线的交点和与直线的交点重合求解.
【详解】
设，直线的方程为，
与双曲线方程 联立解得，
又因为，
所以直线的方程为，
与联立解得，
所以，即，
所以，
故选：D
5．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直线的斜率和渐近线的斜率比较，得到直线的斜率的取值范围.
【详解】
由双曲线的方程可得其渐近线方程为，故当点，分别在双曲线的左支和右支上时，直线的斜率的取值范围是.
故选：A.
6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点，点在上，，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用离心率和已知点求出双曲线方程，再利用余弦定理和双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】
由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，，
将点代入双曲线方程得,
根据对称性，不妨设点在第一象限，到轴的距离为，，，
由余弦定理得
，
所以，
由三角形面积公式可得，得.
故选：B.
【点晴】
本题考双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，焦点三角形的处理方法，属于较易题.
7．直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
【分析】
由双曲线，求得其渐近线方程为，根据直线与双曲线的一条渐近线平行，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及其应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．已知F为双曲线E：的一个焦点，设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|AD|=3|BC|，则F到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
由双曲线的方程可得渐近线的方程及焦点的坐标，将与椭圆，与渐近线联立分别求出的横坐标，进而求出的值，可得的值，从而得结果
【详解】
依题意得C在直线上，由得，所以，由及双曲线的对称性可得，代入双曲线E得 ，则到渐近线的距离为，
故选：A.
【点睛】
此题考查双曲线的性质（对称性）及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.
二、多选题
9．已知动点在双曲线上，双曲线的左 右焦点分别为，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线与圆相切
B．满足的点共有2个
C．直线与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是
D．若，则
【答案】ACD
【分析】
对于A，由已知条件求出渐近线方程和圆的圆心和半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直的距离进行判断即可；对于B，由双曲线的性质求出的最小值判断；对于C，由于直线恒过点，所以分或，或和进行判断；对于D，利用双曲线的定义和已知条件可得，从而可判断，从而可求出
【详解】
解：由题意得，，则，所以，渐近线方程为，
对于A，圆的圆心为，半径为，而到直线的距离为，所以双曲线的渐近线与圆相切，所以A正确；
对于B，当点在左支上时，的最小值为，所以左支上有2个点满足，当在右支上时，的最小值为为，所以右支上有2个点满足，综上满足的点共有4个，所以B错误；
对于C，因为恒过点，当或时，直线与渐近线平行，与右支有1个交点，与左支无交点，当或时，与右支有两个交点，与左支无交点，当时，直线与左、右支各有一个交点，所以C正确；
对于D，不妨设点在右支上，则，而，所以，而，所以，所以，所以，所以，所以D正确，
故选：ACD
10．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（ ）
A． B．的渐近线方程为
C．直线与有两个公共点 D．的面积为
【答案】BD
【分析】
先由两曲线的焦点相同，求出，可判断BC选项；再将两曲线联立，求出点的坐标，可判断AD选项，
【详解】
因为双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，
所以，解得，
即，所以其渐近线方程为，焦点坐标为，，即B正确；
因为与双曲线的一条渐近线平行，且过右焦点，所以直线与只有一个交点，即C错；
由解得，又，在第一象限相交于点，所以，
因此，即A错，
的面积为，即D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解.
三、填空题
11．双曲线的左 右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.
【答案】3
【分析】
求出的坐标后可求三角形的面积.
【详解】
因为，，故直线的方程为，
代入，整理得，解得或，
故，故.
故答案为：3.
12．设为双曲线的两个焦点，已知点在此双曲线上，且，若此双曲线的离心率等于，则点到轴的距离等于__________．
【答案】
【解析】
依题意，由，解得，根据双曲线焦点三角形面积公式有，解得，代入双曲线方程解得.
四、解答题
13．若双曲线的离心率等于，直线与双曲线E的右支交于A、B两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由已知得，，再结合，可求出，从而可求出双曲线的标准方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立方程组消去y，再由直线与双曲线E的右支交于A、B两点，可得，从而可求得k的取值范围；
（3）结合（2），再利用弦长公式列方程可求出直线的斜率，
【详解】
解：（1）由已知得，
∵
∴
∴双曲线E的方程为
（2）直线与双曲线E的方程联立，
消去y得，
∵直线与双曲线E的右支交于A、B两点，
∴
解得
∴实数k的取值范围是
综上所述，实数k的取值范围是
（3）设，则由（2）得
，
∵
∴由弦长公式得：
∴
化简，整理得
解得或
∵
∴
综上所述，实数k的值为
14．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.
（1）若直线过，且，求直线的斜率.
（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【分析】
（1）设，，由题知，从而求得，代入双曲线方程，解得，，从而求得斜率k.
（2）设直线的方程为，与双曲线联立，求得韦达定理，及有2个交点时，判别式大于0,满足的k，m间的关系；并写出直线的垂直平分线方程，分别求得在x，y轴上的截距，求得围成的面积，从而求得k，m间的关系，代入上式中，解得k的取值范围.
【详解】
解：（1）设，，
因为，所以，即，
所以，
所以，所以，，即，
所以.
（2）设直线的方程为（）．
由，整理得．
则，
因为直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点
于是，且．
整理得．
设线段的中点坐标，则，．
所以的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．
由题可得．整理得，．
所以可得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：设方程，联立圆锥曲线方程，求得韦达定理，可以表示出两个交点间的关系，从而在下面条件转化中可以代入，化简求解，本题中有2个交点，应满足判别式大于0，从而参数k的取值范围.
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