(共25张PPT)
复数的加减法
高二 数学
复数的加法与减法
一、复数加法与减法的运算法则
复数的加法与减法
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
容易验证：对于任意 ， ， ∈C，有
Z
1
Z
2
Z
3
+ = + ，
Z
1
Z
2
Z
2
Z
1
Z
3
( + )+ = +( + ) .
Z
1
Z
2
Z
3
Z
1
Z
2
1、复数加法的运算法则
(a+bi )－(c+di) = x+yi ，
2、复数减法的运算法则
复数减法规定是加法的逆运算
(c+di )+(x+yi) = a+bi ，
由复数相等定义，有
c+x=a ， d+y=b
由此，x=a－c ， y=b－d
∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
一、复数加法与减法的运算法则
例1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
= (2－8－3)+(-3－3+4)i
= -9－2i .
一、复数加法与减法的运算法则
一、复数加法与减法的运算法则
思考：设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + =
Z
Z－ =
Z
证明：设 = ， =
Z
1
a +b i
1
1
Z
2
a +b i
2
2
a
1
b
1
a
2
b
2
( , , , ) ∈R ，则
例2、设 , ∈C，求证：
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
+
= + ， = -
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
-
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
+
= ( )+ ( )
a +b i
1
1
a +b i
2
2
= ( ) + ( )i
a +a
1
2
b +b
1
2
= ( )－( )i
a +a
1
2
b +b
1
2
= ( i)+( i)
a －b
1
1
a －b
2
2
= +
Z
1
Z
2
一、复数加法与减法的运算法则
同理可证： = －
Z
1
Z
2
-
Z
1
Z
2
.
二、复数加法与减法运算的几何意义
1、复数加法的运算的几何意义
设： ， 分别对应复数a+bi 与c+di ,
oz
1
oz
2
二、复数加法与减法运算的几何意义
(1) ， 不共线
oz
1
oz
2
x
y
0 Q P R
S
Z
1
Z
2
Z
Z S OQ ，
Z
1
~
=
Z
2
且 PRS 是矩形，因此
Z
1
OR=OP+PR=OP+ S
Z
1
=OP+OQ=a+c
RZ=RS+SZ=P +Q =b+d
Z
1
Z
2
∴ 点Z (a+c, b+d) ,
就是与复数(a+c)+ (b+d)i 对应的向量.
oz
二、复数加法与减法运算的几何意义
(2) ， 共线
oz
1
oz
2
画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此
画出它的对角线来表示 , 的和.
oz
1
oz
2
复数的加法可以按照向量的加法法则来进
行，这就是复数加法的几何意义.
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、复数减法的运算的几何意义
x
y
Z
1
Z
2
Z
0
(1)
x
y
Z
1
Z
2
0
(2)
复数 Z－Z 差所对应的向量： - =
1
oz
1
oz
2
oz
oz
z z
∵ =
2
1
oz
1
∴ - =
oz
z z
1
1
两个复数的差Z－Z 与连接两个向量终点并
指向被减数的向量对应.
二、复数加法与减法运算的几何意义
Z=a+bi
Z+ =2a
Z
Z- =2bi
Z
x
y
B
0
A
Z
Z
C
2a
a
x
y
B
0
A
Z
Z
a
b
-b
例3、已知复平面内一个平行四边形的三个顶点对应的
复数是0, 5+2i , -3+i ，求第三个顶点对应的复数.
解：设 , 对应的复数分别为5+2i ,-3+i
OA
OB
∴ 对应的复数是
OC
(5+2i) +(-3+i ) = 2+3i
如图(1)，在 OACB中, = +
OA
OC
OB
x
y
B
0
C
A
(1)
二、复数加法与减法运算的几何意义
∴ 对应的复数是
OC
(-3+i)-(5+2i) = -8-i
如图(2)，在 OACB中, = = -
OA
OC
OB
AB
x
y
B
0
C
A
(2)
二、复数加法与减法运算的几何意义
(5+2i)-(-3+i) = 8+i
∴ 对应的复数是
CO
如图(3)，在 OBAC中, = = -
OB
OC
OA
BA
x
y
B
0
C
A
(3)
所以第三顶点C对应的复数是2+3i, -8-i , 8+i .
二、复数加法与减法运算的几何意义
二、复数加法与减法运算的几何意义
3、复平面内两点间距离
x
y
Z
1
Z
2
0
设Z = + i , = + i 它们在复平面内分别
1
x
1
y
1
Z
2
x
2
y
2
对应于点 , , 则d=| - |
Z
1
Z
2
Z
2
Z
1
x
2
证明：| - | =|( + i)- ( + i)|
Z
2
Z
1
y
2
x
1
y
1
x
1
y
2
x
2
=|( - )+( - )i|
y
1
=d
= ( - ) + ( - )
x
1
y
2
x
2
y
1
二、复数加法与减法运算的几何意义
例4、用复数表示圆心在点P，半径为r的圆的方程。
解：如图，设圆心P对应的复数是P=a+bi，圆的半径为r，
圆心任一点Z与复数P对应的复数Z=a+bi 对应，那么
|Z-P|=r
这就是复平面内的圆的方程
利用复数的减法法则，把圆的方程
|Z-P|=r化成用实数表示的一般形式为：
(x-a) +(y-b) =r
x
y
Z
0
P
二、复数加法与减法运算的几何意义
例5、如果复数Z满足|Z+ 2- 2i|≤1，求|Z|的最大值与最小
值及相应的复数Z。
x
y
0
C
Z
2
Z
1
解: ∵Z+ 2- 2i =Z-(- 2+ 2i)
直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是
∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z，
径的圆的内部（如图）， |Z|就是圆
C及其内部各点到圆点的距离，使|Z|取得最大值与最小值
的点就是OC与圆C的两个交点。
组成以C(- 2, 2)点为圆心，以r为半
(x+ 2) +(y+ 2) =1
二、复数加法与减法运算的几何意义
解方程组 y=-x
(x+ 2) +(y+ 2) =1
(- , )
得 点的坐标是(- , )， 点的坐标是
Z
1
3
2
2
3
2
2
Z
2
2
2
2
2
∴当Z=- + i 时，|Z| =3；
3
2
2
3
2
2
max
当Z=- + i 时，|Z| =1；
min
2
2
2
2
二、复数加法与减法运算的几何意义
思考题
1、已知复Z 满足|Z|=1，求|Z+1-2i|的最大值与最小值。
分析：∵ |Z+1-2i|=|Z -(-1-2i)|
x
y
B
-1 0 1
P
A
M(1,2)
如图，求得|OM| =
5
∴|Z+1-2i| =|MB|= +1
max
5
|Z+1-2i| =|MA|= -1
min
5
二、复数加法与减法运算的几何意义
2、设复平面内的点 , 分别对应复数为 , ，
Z
1
Z
2
Z
1
Z
2
则线段 , 垂直平分线的方程是：
Z
1
Z
2
|Z - |=|Z - |
Z
2
Z
1
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
在复平面内对应点的线段的垂直
平分线方程。
x
y
1
-1 0 1
Z
二、复数加法与减法运算的几何意义
3、根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆
+
y
b
x
a
=1 (a＞b＞0)，双曲线 = 1 (a＞0,b＞0)
-
y
b
x
a
分别写成复数方程的形式。
答：|Z+C|+|Z-C|=2a，其中C= ；
a -b
||Z+C|-|Z-C|| =2a，其中C= ；
a +b
作业
基础题
习题二十七
1、2、3、4、5
提高题
习题二十七
6、7、8、9
复数的加法与减法
谢 谢(共17张PPT)
引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？
(1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
(2)从复数的特点出发，寻找复数集新
的(实数集所不具有)性质和特点？
如何探索复数集的性质和特点？
探索途径：
实数集的一些性质和特点：
(1) 实数可以判定相等或不相等；
(2) 不相等的实数可以比较大小；
(3) 实数可以用数轴上的点表示；
(4) 实数可以进行四则运算；
(5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
……
复数的有关概念
问题一
问题二
问题三
问题四
课堂小结
问题一：
你认为满足什么条件时，可以说这两个复数相等？
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)，
a=c,并且b=d，即实部与虚部分别相等时，叫这两个复数相等。
记作a+bi=c+di。
复数相等的内涵：
复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。
例1 设x，y∈R，并且
(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。
解题思考：
复数相等的问题
转化
求方程组的解的问题
一种重要的数学思想：转化思想
问题二：
任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。
x
o
1
问题三：
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
实数可以用数轴上的点来表示。
一一对应
规定了正方向，
直线
数轴
原点，
单位长度
实数
数轴上的点
(形)
(数)
(几何模型)
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
x
y
o
b
a
Z(a,b)
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面
x轴------实轴
y轴------虚轴
（数）
（形）
------复数平面 (简称复平面)
一一对应
z=a+bi
概念辨析
例题
问题四：
实数绝对值的几何意义:
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
X
O
A
a
| a | = | OA |
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。
x
O
z=a+bi
y
| z | = |OZ|
复数的绝对值
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(复数的模)
的几何意义:
Z (a,b)
例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
思考：
(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
(1)复数的模能否比较大小？
这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
图示
课堂小结：
一. 数学知识：
二. 数学思想：
三. 数的发展和完善过程给我们的启示：
(1)复数相等
(2)复平面
(3)复数的模
(3)类比思想
(2)数形结合思想
(1)转化思想
课题：复数的有关概念
作业：
数学练习册：
第16页 3，4，5，6，7
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
辨析：
1．下列命题中的假命题是（ ）
D
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
C
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。
解题思考：
表示复数的点所在象限的问题
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
转化
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
x
y
O
设z=x+yi(x,y∈R)
满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？
5
5
–5
–5(共9张PPT)
复数加法的几何意义
在物理学中，我们知道两个力的合成－－两个向量的和满足平行四边形法则。既然复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性？
问题提出：
问题剖析：
X
O
如图， 复数z1＋ z2与向量OZ是否对应
Y
Z1
Z
Z2
思路分析:
思路一:考察OZ是否对应z1+z2
思路二:考察z1+z2是否对应OZ
教科书采用的是思路一,我们这里采用思路二.
我们设z1=a+bi z2=c+di
则z1+z2=(a+c)+(b+d)I
Z1
Z2
X
Y
O
Z
如何作出与z1+z2对应的向量
先作出(a+c)+bi
再作出(a+c)+(b+d)I
证明的关键:
如何证明OZ2与Z1Z平行
法一:用平面几何的知识延长ZZ1
法二:用解析几何的斜率
上述结论的意义:
一、我们可以用复数的加法来解决向量的加法
二、可以用向量的加法来表示复数的加法
三、虚数越来越实在了。
意义
作业：
Ｐ189.2(共5张PPT)
复数的向量表示
一、概念
二、例题
一、概念
1、向量——既有绝对值大小又有方向的量
2、向量的模——有向线段的长度就是这个向量的绝对值
3、相等向量——模相等且方向相同的向量（不管它们的起点在哪里）
4、零向量——模相等、方向任意
5、 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
点Z(a,b) 向量OZ
一一对应
6、向量OZ的模r——有向线段OZ的长度叫复数的模（或绝对值）。
记作|z|或|a+bi|
特例：b=0时,|z|=| a|.
计算公式：
|z|=|a+bi|=r= √a2+b2
y
x
o
Z
a
b
二、例题
例1、求复数z1=3+4i及z2= 的模，并且比较它们的模的大小。
例2、设z∈C，求满足下列条件的点的集合是什么图形？
（1）|z|=4
（2）2<|z|<4
