苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 《3.3.1 抛物线的标准方程》学案 (含答案)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 《3.3.1 抛物线的标准方程》学案 (含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 688.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:27:32 | ||
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文档简介
§3.3.1 抛物线的标准方程
目标要求
1、理解并掌握抛物线的标准方程的推导．
2、理解并掌握抛物线标准方程的求法．
3、理解并掌握抛物线的定义及应用．
4、理解并掌握抛物线的实际应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：抛物线的定义及应用；
难点：抛物线的实际应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
【课前预习思考】
定义中为什么要求直线l不经过点F
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标 ___________ ___________
准线方程 x＝_______ x＝ y＝________ y＝
p的几何意义 __________________的距离
【课前预习思考】
二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.抛物线的方程都是二次函数．
B.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.
C.抛物线的开口方向由一次项确定．
D.抛物线的开口方向向上.
题2. 已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是 ( )
A．0 B． C．1 D．2
题3. 双已知定点A，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)的抛物线的标准方程是 ( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y
题5. (多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为 ( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D. y2＝16x
题6. 求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
【教师补充训练】
题7. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)
【典例】题8. (多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 ( )
A．4 B．－2 C．－4 D．2
题9. 动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点 ( )
A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)
题10. 已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是________．
【课堂题组训练】
题11. 已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝ ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
题12. 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
类型三 抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】题13. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【课堂跟踪训练】
题14. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【教师备选类型】 抛物线的最值问题 (数学运算)
【典例】题15. 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【课堂题组训练】
题16. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A． B．3 C． D．
【课后巩固习题】
题17. 对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
题18. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 ( )
A．FP1＋FP2＝FP3 B．FP＋FP＝FP C．2FP2＝FP1＋FP3 D．FP＝FP1·FP3
题19. 若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为 ( )
A．－ B． C．－2 D．2
题20. 抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．
题21. 如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
§3.3.1 抛物线的标准方程答案
目标要求
1、理解并掌握抛物线的标准方程的推导．
2、理解并掌握抛物线标准方程的求法．
3、理解并掌握抛物线的定义及应用．
4、理解并掌握抛物线的实际应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：抛物线的定义及应用；
难点：抛物线的实际应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
【课前预习思考】
定义中为什么要求直线l不经过点F
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
p的几何意义 焦点到准线的距离
【课前预习思考】
二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示：不完全相同．当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.抛物线的方程都是二次函数．
B.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.
C.抛物线的开口方向由一次项确定．
D.抛物线的开口方向向上.
【答案】BC
【解析】A×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象．
B√.由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，
所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y.
C√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．
D×.抛物线的开口方向向右.
故选BC.
题2. 已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是 ( )
A．0 B． C．1 D．2
【解析】选C.根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
题3. 双已知定点A，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
【解析】选C.如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M，
则PF＝PM当且仅当A，P，M三点共线时，PF＋PA取得最小值AM＝2＋＝3.5.
类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)的抛物线的标准方程是 ( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】选D.因为抛物线顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)，所以设抛物线的标准方程为x2＝－2py，p＞0，把点(，－1)代入，得2＝2p，解得p＝1，
所以抛物线方程为x2＝－2y.
题5. (多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为 ( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D. y2＝16x
【解析】选CD.易知抛物线的焦点为F.由抛物线的定义，得M.设N点坐标为(0，2).因为圆过点N(0，2)，所以NF⊥NM，即×＝－1.①
设＝t，则①式可化为t2－4t＋8＝0，
解得t＝2，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
题6. 求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
【解析】当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，所以所求抛物线的焦点为(0，－2)，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由－＝－2，得2p＝8，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(4，0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4，得2p＝16，所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
【解题策略提醒】
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
【教师补充训练】
题7. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
【解析】(1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝AF＝.又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)
【典例】题8. (多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 ( )
A．4 B．－2 C．－4 D．2
【解析】选AC.由题可设抛物线的标准方程为x2＝
－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
题9. 动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点 ( )
A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)
【解析】选B.因为圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).
题10. 已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是________．
【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线．
答案：抛物线
【解题策略提醒】
抛物线的判断方法
(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
【课堂题组训练】
题11. 已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝ ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【解析】选C.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
题12. 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
类型三 抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】题13. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【思路导引】
以桥的顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解．
【解析】以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，
－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
【解题策略提醒】
求抛物线实际应用问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
【课堂跟踪训练】
题14. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米．
【教师备选类型】 抛物线的最值问题 (数学运算)
【典例】题15. 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【思路导引】利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
【解析】如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则PA＋PF＝PA＋PN≥AB，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．所以(PA＋PF)min＝AB＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1，2).
【解题策略提醒】
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
【课堂题组训练】
题16. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A． B．3 C． D．
【解析】选A.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．如图所示，
所以点P到准线x＝－的距离d＝PF，易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
所以其最小值为AF＝＝.
【课后巩固习题】
题17. 对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
【解析】选A.抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1).
题18. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 ( )
A．FP1＋FP2＝FP3 B．FP＋FP＝FP C．2FP2＝FP1＋FP3 D．FP＝FP1·FP3
【解析】选C.如图所示，由定义知FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，
由2x2＝x1＋x3知，2FP2＝FP1＋FP3.
题19. 若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为 ( )
A．－ B． C．－2 D．2
【解析】选A.抛物线y2＝x的焦点坐标为，椭圆＋＝1，因为a2＝7，b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝4，所以椭圆的左焦点坐标为(－2，0)，
因为抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，所以＝－2，所以m＝－.
题20. 抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．
【解析】抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点为F(m，0)，双曲线－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0，则F(m，0)到渐近线的距离为＝＝3 m＝5，所以抛物线的方程为y2＝20x.
答案：y2＝20x
题21. 如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
【解析】依题意，OB＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OBsin 30°＝4，y＝OBcos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.
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目标要求
1、理解并掌握抛物线的标准方程的推导．
2、理解并掌握抛物线标准方程的求法．
3、理解并掌握抛物线的定义及应用．
4、理解并掌握抛物线的实际应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：抛物线的定义及应用；
难点：抛物线的实际应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
【课前预习思考】
定义中为什么要求直线l不经过点F
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标 ___________ ___________
准线方程 x＝_______ x＝ y＝________ y＝
p的几何意义 __________________的距离
【课前预习思考】
二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.抛物线的方程都是二次函数．
B.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.
C.抛物线的开口方向由一次项确定．
D.抛物线的开口方向向上.
题2. 已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是 ( )
A．0 B． C．1 D．2
题3. 双已知定点A，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)的抛物线的标准方程是 ( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y
题5. (多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为 ( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D. y2＝16x
题6. 求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
【教师补充训练】
题7. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)
【典例】题8. (多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 ( )
A．4 B．－2 C．－4 D．2
题9. 动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点 ( )
A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)
题10. 已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是________．
【课堂题组训练】
题11. 已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝ ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
题12. 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
类型三 抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】题13. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【课堂跟踪训练】
题14. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【教师备选类型】 抛物线的最值问题 (数学运算)
【典例】题15. 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【课堂题组训练】
题16. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A． B．3 C． D．
【课后巩固习题】
题17. 对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
题18. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 ( )
A．FP1＋FP2＝FP3 B．FP＋FP＝FP C．2FP2＝FP1＋FP3 D．FP＝FP1·FP3
题19. 若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为 ( )
A．－ B． C．－2 D．2
题20. 抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．
题21. 如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
§3.3.1 抛物线的标准方程答案
目标要求
1、理解并掌握抛物线的标准方程的推导．
2、理解并掌握抛物线标准方程的求法．
3、理解并掌握抛物线的定义及应用．
4、理解并掌握抛物线的实际应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：抛物线的定义及应用；
难点：抛物线的实际应用．
教学过程
基础知识点
1. 抛物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
【课前预习思考】
定义中为什么要求直线l不经过点F
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
p的几何意义 焦点到准线的距离
【课前预习思考】
二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示：不完全相同．当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A.抛物线的方程都是二次函数．
B.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.
C.抛物线的开口方向由一次项确定．
D.抛物线的开口方向向上.
【答案】BC
【解析】A×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象．
B√.由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，
所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y.
C√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．
D×.抛物线的开口方向向右.
故选BC.
题2. 已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是 ( )
A．0 B． C．1 D．2
【解析】选C.根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
题3. 双已知定点A，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定
【解析】选C.如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M，
则PF＝PM当且仅当A，P，M三点共线时，PF＋PA取得最小值AM＝2＋＝3.5.
类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)的抛物线的标准方程是 ( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】选D.因为抛物线顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)，所以设抛物线的标准方程为x2＝－2py，p＞0，把点(，－1)代入，得2＝2p，解得p＝1，
所以抛物线方程为x2＝－2y.
题5. (多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为 ( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D. y2＝16x
【解析】选CD.易知抛物线的焦点为F.由抛物线的定义，得M.设N点坐标为(0，2).因为圆过点N(0，2)，所以NF⊥NM，即×＝－1.①
设＝t，则①式可化为t2－4t＋8＝0，
解得t＝2，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
题6. 求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
【解析】当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，所以所求抛物线的焦点为(0，－2)，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由－＝－2，得2p＝8，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(4，0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4，得2p＝16，所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
【解题策略提醒】
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
【教师补充训练】
题7. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
【解析】(1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝AF＝.又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)
【典例】题8. (多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 ( )
A．4 B．－2 C．－4 D．2
【解析】选AC.由题可设抛物线的标准方程为x2＝
－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
题9. 动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点 ( )
A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)
【解析】选B.因为圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).
题10. 已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是________．
【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线．
答案：抛物线
【解题策略提醒】
抛物线的判断方法
(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
【课堂题组训练】
题11. 已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝ ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
【解析】选C.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
题12. 若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
类型三 抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】题13. 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【思路导引】
以桥的顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解．
【解析】以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，
－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
【解题策略提醒】
求抛物线实际应用问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
【课堂跟踪训练】
题14. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米．
【教师备选类型】 抛物线的最值问题 (数学运算)
【典例】题15. 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【思路导引】利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
【解析】如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则PA＋PF＝PA＋PN≥AB，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．所以(PA＋PF)min＝AB＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1，2).
【解题策略提醒】
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
【课堂题组训练】
题16. 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A． B．3 C． D．
【解析】选A.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．如图所示，
所以点P到准线x＝－的距离d＝PF，易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
所以其最小值为AF＝＝.
【课后巩固习题】
题17. 对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
【解析】选A.抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1).
题18. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 ( )
A．FP1＋FP2＝FP3 B．FP＋FP＝FP C．2FP2＝FP1＋FP3 D．FP＝FP1·FP3
【解析】选C.如图所示，由定义知FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，
由2x2＝x1＋x3知，2FP2＝FP1＋FP3.
题19. 若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为 ( )
A．－ B． C．－2 D．2
【解析】选A.抛物线y2＝x的焦点坐标为，椭圆＋＝1，因为a2＝7，b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝4，所以椭圆的左焦点坐标为(－2，0)，
因为抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，所以＝－2，所以m＝－.
题20. 抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．
【解析】抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点为F(m，0)，双曲线－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0，则F(m，0)到渐近线的距离为＝＝3 m＝5，所以抛物线的方程为y2＝20x.
答案：y2＝20x
题21. 如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
【解析】依题意，OB＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝OBsin 30°＝4，y＝OBcos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.
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