苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3 抛物线【同步精讲】（解析版）

第3章 圆锥曲线与方程
第03讲 抛物线
课程标准 重难点
理解抛物线的定义掌握抛物线的几何意义 1.抛物线的定义2.抛物线的焦半径与弦长
知识点一　抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
知识点二　抛物线的标准方程和几何意义
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．
四种不同抛物线方程的异同点
共同点 (1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝
不同点 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.
知识点三　常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)；
(3)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
考法01 抛物线的定义及应用
(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A. 　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【跟踪训练】
1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
【方法总结】
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
考法02 抛物线的标准方程与几何意义
(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【方法总结】
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考法03 直线与抛物线的位置关系
设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【方法总结】
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
1.知识体系
2.斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
题组A 基础过关练
1．已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
5．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
6．若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，则______．
7．设抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为，则____．
8．已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为________．
题组B 能力提升练
1．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
4．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A． B．
C．PB平分 D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．的最小值为
B．已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是4
C．设，则
D．过与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
6．已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称轴，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为__________．
7．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.
8．已知抛物线：，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求：
（1）抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）.
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点（1，0）和定直线：的距离之比为的点的轨迹方程是；
②点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数（）的点的轨迹是圆；
④若动点满足，则动点的轨迹是双曲线；
⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，，且是的中点，则直线的方程是．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．的面积为
5．已知抛物线：的焦点为，过点斜率为（）的直线与抛物线交于、两点，的中点到轴的距离为，若是直线上的一个动点，，则的最大值为________．
6．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
第3章 圆锥曲线与方程
第03讲 抛物线答案
课程标准 重难点
理解抛物线的定义掌握抛物线的几何意义 1.抛物线的定义2.抛物线的焦半径与弦长
知识点一　抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
知识点二　抛物线的标准方程和几何意义
标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线．
四种不同抛物线方程的异同点
共同点 (1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝
不同点 (1)焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号.
知识点三　常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)；
(3)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
考法01 抛物线的定义及应用
(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A. 　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【答案】(1)B　(2)4
【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
又点P到焦点F的距离为2，
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【跟踪训练】
1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【答案】2
【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
【答案】
【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
【方法总结】
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
[提醒]　注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
考法02 抛物线的标准方程与几何意义
(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即－8y0＋16＝0，
因而y0＝4，M.
由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
【方法总结】
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考法03 直线与抛物线的位置关系
设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，
故直线AB的斜率k＝.
(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±.
从而|AB|＝ |x1－x2|＝2.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即＝，解得m＝.
所以直线AB的方程为y＝x＋.
【方法总结】
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
1.知识体系
2.斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
【答案】①轴正向 ②倾斜角 ③0° ④0°<180° ⑤ ⑥ ⑦k>0 ⑧90° ⑨增大
题组A 基础过关练
1．已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，故选：D
2．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，
故选：B .
3．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以 的面积为，
故选：D
4．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
【解析】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.故选:BC.
5．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
【答案】ACD
【解析】由，可得，对A，当，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当，方程表示半径为的圆，故B错误；对C，当时，方程表示双曲线，渐近线方程为，即，故C正确；对D，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D正确；
故选：ACD.
6．若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，则______．
【答案】4
【解析】双曲线的左焦点为（﹣2，0），
故抛物线的准线为，
∴，∴，
故答案为：4．
7．设抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为，则____．
【答案】；
【解析】因为抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为，所以，解得，
所以抛物线方程为，
所以，得，
故答案为：
8．已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的两点A，B均在E上，若，则直线AB的倾斜角为________．
【答案】
【解析】如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过作于，则，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以直线AB的倾斜角为，
故答案为：
题组B 能力提升练
1．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为抛物线的焦点坐标为：，所以有，
双曲线的渐近线方程为：，
因为点在双曲线的渐近线上，是等边三角形，
所以有，而，解得：，故选：A
2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】抛物线方程为，抛物线的焦点为，准线为
设线段的中点为，则到准线的距离为：，
过、分别作、与垂直，垂足分别为、，
根据梯形中位线定理，可得，
再由抛物线的定义知：，，
．
故选：D.
3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】C
【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，
故选：C.
4．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A． B．
C．PB平分 D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
【答案】BCD
【解析】设抛物线的焦点为，则.
因为，且轴，故，故直线.
由可得，故，故A错.
又，故，故，故，故B正确.
直线，由可得，故，
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
因为，故为等腰三角形，故，
而，故即，故PB平分，故C正确.
故选：BCD.
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．的最小值为
B．已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是4
C．设，则
D．过与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
【答案】ABC
【解析】由题意知，，抛物线的焦点，准线方程为，
对于A，当轴时，取得最小值为，所以A正确；
对于B，曲线上的两点，到点的距离之和为，所以点，的横坐标之和为，则线段的中点横坐标为4，所以B正确；
对于C，设，则，当且仅当三点共线时取等号，所以C正确；
对于D，当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误，
故选：ABC
6．已知点为圆上的动点，过圆心作直线垂直于轴交点为，点为关于轴的对称轴，动点满足到点与到的距离始终相等，记动点到轴距离为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图所示：
，
由抛物线的定义可知，动点的轨迹为开口向左的抛物线，
其焦点坐标为，准线方程为，
所以抛物线方程为．
圆的圆心为，半径为，
连接交圆于点，交抛物线于点，此时最小，
利用两点距离公式得，
所以的最小值为．
故答案为：
7．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.
【答案】
【解析】
设准线与轴的交点为，准线为，焦点为，
由抛物线的定义知，又，所以为等边三角形，且，所以,则，又因为，因此，故抛物线的方程为；
故答案为：.
8．已知抛物线：，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求：
（1）抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）.
【解析】（1）∵抛物线：的焦点到其准线的距离为，即，
∴抛物线的方程为.
焦点坐标为；
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立，得.
设，，
则，
∴.
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，故选：A．
2．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点（1，0）和定直线：的距离之比为的点的轨迹方程是；
②点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数（）的点的轨迹是圆；
④若动点满足，则动点的轨迹是双曲线；
⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，，且是的中点，则直线的方程是．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①：设动点，由题意可得：，即，整理化简得：，即求出的轨迹方程为：.故①错误；
对于②：设到抛物线的准线的距离为d，则，由抛物线的定义得，,所以，所以，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，最小，此时，故②正确；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；
对于④：“若动点满足，则动点的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；
对于⑤：当直线的斜率不存在时，直线l：x=1，的中点为（1,0），不符合题意；
设直线的斜率为k，设，则.
因为在椭圆上，所以，两式相减得：，所以
因为是的中点，所以，所以，
所以直线的方程是.故⑤正确.
故选：B
3．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
因为点为线段的中点，
所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故.
所以的最大值为.故选：C
4．已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．的面积为
【答案】BCD
【解析】为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
5．已知抛物线：的焦点为，过点斜率为（）的直线与抛物线交于、两点，的中点到轴的距离为，若是直线上的一个动点，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】设直线的方程为（），，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
因为的中点到轴的距离为3，
所以，，
所以，
则直线的方程为，
设点关于直线的对称点为，
所以，且，
解得，，
所以点关于直线的对称点为，
所以，当在射线与直线的交点时，取等号，
故答案为：1．
6．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
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知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
课堂小结
直线的倾斜角与斜率
倾斜角
斜率
当直线与轴相交时，我们取轴作为基准， ① 与直线向上方向之间所成的角叫做直线的 ② ．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 ③ ，因此，倾斜角的取值范围是 ④
斜率公式：在直角坐标平面内，已知两点，经过这两点的直线的斜率k= ⑤
倾斜角不是90°的直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用表示，即k= ⑥
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当直线与轴相交时，我们取轴作为基准， ① 与直线向上方向之间所成的角叫做直线的 ② ．当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 ③ ，因此，倾斜角的取值范围是 ④
斜率公式：在直角坐标平面内，已知两点，经过这两点的直线的斜率k= ⑤
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