苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3 抛物线【同步教案】（解析版）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3 抛物线【同步教案】（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:29:26 | ||
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文档简介
3.3抛物线
1.抛物线的定义
平面内的一个定点F和一条直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
2.抛物线的标准方程
①在焦点的x轴上的抛物线的标准方程
（1）y2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）y2=-2（p>0），焦点为（-），准线方程是
②在焦点的y轴上的抛物线的标准方程
（1）x2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）x2=-2（p>0），焦点为（），准线方程是
3.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
4.直线与抛物线的位置关系
通过直线与抛物线的公共点个数判断
①直线与抛物线有2个公共点直线与抛物线相交
②直线与抛物线有1个公共点直线与抛物线相切或相交
③直线与抛物线有没有公共点直线与抛物线相离
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
根据抛物线方程求焦点或准线
例题1
已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题2
如图，已知抛物线（）的焦点为，点（）是抛物线上一点.以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，直线与抛物线的另一交点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（ ）．
A．6 B．4 C．2 D．1
训练2
如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
根据定义求抛物线的标准方程
例题1
已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长为8，的中点到轴的距离为2，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2
设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
训练1
已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
训练2
设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
如何判断抛物线的开口方向
例题1
对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
例题2
在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．C．D．
训练1
对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
训练2
下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
一、单选题
1．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
二、填空题
9．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为，上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上，且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是___________________________
10．抛物线的焦点为，其准线与双曲线有两个交点，，若，则双曲线的离心率为_______.
11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为______．
三、解答题
12．已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
14．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
15．已知抛物线的顶点为，准线方程为．
（1）求抛物线方程；
（2）若过点的直线交抛物线于，两点，且为的中点，求直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求的面积．
3.3抛物线答案
1.抛物线的定义
平面内的一个定点F和一条直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
2.抛物线的标准方程
①在焦点的x轴上的抛物线的标准方程
（1）y2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）y2=-2（p>0），焦点为（-），准线方程是
②在焦点的y轴上的抛物线的标准方程
（1）x2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）x2=-2（p>0），焦点为（），准线方程是
3.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
4.直线与抛物线的位置关系
通过直线与抛物线的公共点个数判断
①直线与抛物线有2个公共点直线与抛物线相交
②直线与抛物线有1个公共点直线与抛物线相切或相交
③直线与抛物线有没有公共点直线与抛物线相离
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
根据抛物线方程求焦点或准线
例题1
已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到，再由直线与椭圆方程联立求出点坐标，求出和，根据椭圆定义得到关于和的方程，进而求出离心率.
【详解】
因为椭圆的左、右焦点分别为，，
也是抛物线的焦点，
所以，则，所以.
因为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为：.
由得，所以.
因为，所以.
在中，，.
由椭圆的定义得：，
即，解得：.
故选：B.
【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
例题2
如图，已知抛物线（）的焦点为，点（）是抛物线上一点.以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，直线与抛物线的另一交点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据抛物线的定义得，直线方程为：，到直线距离为，利用圆的弦，可得，利用，结合抛物线方程，求出和，得到点坐标，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，即可求出.
【详解】
由题意得，直线方程为：，到直线距离为，
以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，
，
，
，
解得，
，又，故，
抛物线方程为，，，，
直线方程为，
与抛物线方程联立得，
消去整理得，，解得或，
，，
.
故选：B.
【点睛】考查抛物线的方程与定义，考查了直线与圆的位置关系，考查了抛物线与直线的位置关系.
训练1
已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（ ）．
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义与简单几何性质，求出抛物线的准线方程以及与抛物线的交点横坐标，再求的值．
【详解】
解：抛物线的准线方程是，焦点为，
由，解得，
所以抛物线与抛物线在第一象限的交点，
则，
解得．
故选：．
【点睛】考查了抛物线的定义与简单几何性质应用问题．
训练2
如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【答案】A
【分析】
曲线的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
【详解】
曲线两边平方，
得，为双曲线的的部分，
，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知，又，∴，①正确；
曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为，
由抛物线定义，知，②正确；
故选：A.
【点睛】考查双曲线与抛物线的定义，方程.
根据定义求抛物线的标准方程
例题1
已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长为8，的中点到轴的距离为2，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据抛物线定义可知，再根据的中点到轴的距离为2可知，代入即可求出p,从而可求出抛物线方程.
【详解】
根据抛物线定义，焦点弦．
因为中点，所以，所以．
故抛物线的方程为．
【点睛】考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程
例题2
设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【详解】
∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.
【点睛】考查了抛物线的定义与简单几何性质
训练1
已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
曲线是由两抛物线和构成，设与轴交点为，抛物线的焦点为，则由对称性可知的周长为，
当三点共线时取最小值，由此能求出的值．
【详解】
解：由题意得曲线是由两抛物线和构成，
设与轴交点为，抛物线的焦点为，
则由对称性可知的周长为
当三点共线时取最小值，
，解得．
故选B．
【点睛】考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识．
训练2
设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C
【点睛】考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
如何判断抛物线的开口方向
例题1
对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】
将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例题2
在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由，判断椭圆焦点在轴上，化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论.
【详解】
由，方程表示焦点在轴上的椭圆，
得表示焦点在轴上开口向左的抛物线.
故选：D.
【点睛】考查椭圆方程、抛物线方程与图形间的关系
训练1
对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
【答案】A
【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】
抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
【点睛】考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.
训练2
下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】
抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】考查了抛物线的简单性质的应用.
一、单选题
1．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】现根据题意，判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】
因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.
故选：A.
2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由抛物线求出焦点和准线方程，利用双曲线与抛物线的关系列方程解出a、b，求出渐近线方程.
【详解】
抛物线的焦点,准线方程：.
∵抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，
∴解得：
∴双曲线的渐近线方程为：
故选：A
【点睛】求双曲线的渐近线的方法:直接令标准方程中的1变成0,得到 ,利用平方差公式得到渐近线方程: .
3．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义借助三角形相似，列出比例式即可得解.
【详解】
过点A，B分别作直线AM，BN垂直于准线l，垂足分别为M，N，如图：
因直线AB过抛物线的焦点F，于是有，
显然有∽，于是得，
即，，，
所以.
故选：B
4．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
【答案】C
【分析】
为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】
由为等腰三角形，若，则有两个点；
若，则不存在，若，则有两个点，
则使得为等腰三角形的点有且仅有4个；
由中为直角的点有两个；
为直角的点不存在；为直角的点有两个，
则使得为直角三角形的点有且仅有4个；
若的在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程可得，解得，
由对称性可得在第四象限只有一个，
则满足的有且只有2个；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；
若在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得的点有且只有4个．
故选：C
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点在抛物线上及建立方程组，解出p即可.
【详解】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
6．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，联立直线方程和抛物线方程，消去利用韦达定理可求的值.
【详解】
由抛物线，知，设，
因为直线过且其斜率大于零，故在轴两侧.
又，知，且，即.
由可得,
由韦达定理得，代入，可得
又，故
故选：C.
【点睛】考查直线与抛物线的位置关系.
7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
【点睛】考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系
8．抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的简单几何性质即可求出．
【详解】
因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．
故选：D．
【点睛】考查抛物线的简单几何性质的应用．
二、填空题
9．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为，上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上，且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是___________________________
【答案】
【分析】
设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点处取到，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
建立如图所示直角坐标系，其中为坐标原点，得抛物线方程，，
设抛物线上任一点的坐标为，
由两点距离公式得，
令，则的开口向上，对称轴为，
当对称轴时，在处取得最小值，此时的最小值为，
当对称轴时，最小值在对称轴处取得，即的最小值小于，不符合题意.
故由，解得.
故答案为：
【点睛】关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.
10．抛物线的焦点为，其准线与双曲线有两个交点，，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【分析】写出抛物线的焦点坐标，准线方程，求出坐标，由，得的关系求得离心率．
【详解】
由已知抛物线的准线方程是，焦点，把代入双曲线方程解得，
又，所以，，
所以．
故答案为：．
11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为______．
【答案】
【分析】分别作，，由抛物线定义知，，，故，进而求得，点F为AC的中点，求出p，写出抛物线方程.
【详解】
分别作，，如图所示，
由抛物线定义知，，，
由知，，故，
则，点F为AC的中点，
故，抛物线方程为
故答案为：
三、解答题
12．已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
【答案】答案见解析
【分析】
选择①得到抛物线方程为：，根据抛物线的几何性质可得答案；
选择②得到抛物线方程为：，讨论直线斜率不存在和存在两种情况分别求.
选择③得到曲线的方程为：，即讨论和时的情况可得答案.
【详解】
选择①；
因为所以该曲线方程为：，
该曲线是抛物线，其对称轴方程是 顶点坐标为 焦点坐标为 的取值范围是 的取值范围是；
选择②；
因为所以该曲线的方程为：.该曲线是抛物线，
当过点(-1，0)的直线斜率不存在时，此时直线与曲线没有交点，不符合题意；
当过点(-1，0)的直线斜率存在时，设为，因此直线方程可设为：，
两个方程联立得：消去x可得：.
当时，此时，此时符合经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需，解得，此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
选择③；
因为所以曲线的方程为：，即.
当时，；
当时，
当时，，
因此符合题意这两个点可为.
13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用抛物线定义，由|AF|=2+=3求解.
（2）根据点A(2，m)在抛物线E上，解得m,不妨设A(2，2)，直线AF的方程为y=2 (x-1)，联立，然后论证kGA+kGB=0即可
【详解】
（1）由抛物线定义可得|AF|=2+=3，解得p=2.
∴抛物线E的方程为y2=4x.
（2）∵点A(2，m)在抛物线E上，
∴m2=4×2，解得m=±2 ，
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，
由A(2，2，F(1，0)，
∴直线AF的方程为y=2 (x-1)，
由 得2x2-5x+2=0，解得x=2或，∴B.
又G(-1，0)，∴kGA=，kGB=
∴kGA+kGB=0，
∴∠AGF=∠BGF.
∴GF为∠AGB的平分线.
【点睛】关键点点睛：由GF为∠AGB的平分线，即∠AGF=∠BGF，转化为 kGA+kGB=0结合韦达定理证明.
14．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）焦点坐标为（5，0），准线方程为x＝﹣5；（2）焦点坐标为（0，），准线方程为y；（3）焦点坐标为（，0），准线方程为x；（4）0，﹣2），准线方程为y＝2．
【分析】
利用抛物线方程，求出p，结合其开口方向，即可确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
【详解】
解：（1）y2＝20x中p＝10，∴焦点坐标为（5，0），准线方程为x＝﹣5；
（2）x2y中p，∴焦点坐标为（0，），准线方程为y；
（3）2y2+5x＝0中p，∴焦点坐标为（，0），准线方程为x；
（4）x2+8y＝0中p＝4，∴焦点坐标为（0，﹣2），准线方程为y＝2．
15．已知抛物线的顶点为，准线方程为．
（1）求抛物线方程；
（2）若过点的直线交抛物线于，两点，且为的中点，求直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2) ；(2)
【分析】
(1)根据准线方程求出，即可得抛物线方程；
(2)利用点差法可求出直线的斜率，然后利用点斜式方程，即可得线的方程；
(3)设，，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用根与系数关系可得，，然后利用弦长公式可求出，利用点到直线距离公式可求出的高，进而可求出面积.
【详解】
（1）因为的准线，所以，所以，所以
（2）设，，则；，
两式相减得，
又为的中点，所以，则，
所以直线方程为，即，
经检验，此时直线与抛物线有两个交点，满足题意.
（3）由已知得直线的方程为，，，
由，得，又，
所以，，
所以，又，
所以.
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1.抛物线的定义
平面内的一个定点F和一条直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
2.抛物线的标准方程
①在焦点的x轴上的抛物线的标准方程
（1）y2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）y2=-2（p>0），焦点为（-），准线方程是
②在焦点的y轴上的抛物线的标准方程
（1）x2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）x2=-2（p>0），焦点为（），准线方程是
3.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
4.直线与抛物线的位置关系
通过直线与抛物线的公共点个数判断
①直线与抛物线有2个公共点直线与抛物线相交
②直线与抛物线有1个公共点直线与抛物线相切或相交
③直线与抛物线有没有公共点直线与抛物线相离
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
根据抛物线方程求焦点或准线
例题1
已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题2
如图，已知抛物线（）的焦点为，点（）是抛物线上一点.以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，直线与抛物线的另一交点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（ ）．
A．6 B．4 C．2 D．1
训练2
如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
根据定义求抛物线的标准方程
例题1
已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长为8，的中点到轴的距离为2，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
例题2
设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
训练1
已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
训练2
设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
如何判断抛物线的开口方向
例题1
对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
例题2
在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．C．D．
训练1
对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
训练2
下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
一、单选题
1．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
8．抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
二、填空题
9．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为，上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上，且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是___________________________
10．抛物线的焦点为，其准线与双曲线有两个交点，，若，则双曲线的离心率为_______.
11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为______．
三、解答题
12．已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
14．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
15．已知抛物线的顶点为，准线方程为．
（1）求抛物线方程；
（2）若过点的直线交抛物线于，两点，且为的中点，求直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求的面积．
3.3抛物线答案
1.抛物线的定义
平面内的一个定点F和一条直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
2.抛物线的标准方程
①在焦点的x轴上的抛物线的标准方程
（1）y2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）y2=-2（p>0），焦点为（-），准线方程是
②在焦点的y轴上的抛物线的标准方程
（1）x2=2（p>0），焦点为（），准线方程是
（2）x2=-2（p>0），焦点为（），准线方程是
3.抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
4.直线与抛物线的位置关系
通过直线与抛物线的公共点个数判断
①直线与抛物线有2个公共点直线与抛物线相交
②直线与抛物线有1个公共点直线与抛物线相切或相交
③直线与抛物线有没有公共点直线与抛物线相离
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
根据抛物线方程求焦点或准线
例题1
已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到，再由直线与椭圆方程联立求出点坐标，求出和，根据椭圆定义得到关于和的方程，进而求出离心率.
【详解】
因为椭圆的左、右焦点分别为，，
也是抛物线的焦点，
所以，则，所以.
因为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为：.
由得，所以.
因为，所以.
在中，，.
由椭圆的定义得：，
即，解得：.
故选：B.
【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
例题2
如图，已知抛物线（）的焦点为，点（）是抛物线上一点.以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，直线与抛物线的另一交点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据抛物线的定义得，直线方程为：，到直线距离为，利用圆的弦，可得，利用，结合抛物线方程，求出和，得到点坐标，联立直线与抛物线方程，求出点坐标，即可求出.
【详解】
由题意得，直线方程为：，到直线距离为，
以为圆心的圆与线段相交于点，与过焦点且垂直于对称轴的直线交于点，，，
，
，
，
解得，
，又，故，
抛物线方程为，，，，
直线方程为，
与抛物线方程联立得，
消去整理得，，解得或，
，，
.
故选：B.
【点睛】考查抛物线的方程与定义，考查了直线与圆的位置关系，考查了抛物线与直线的位置关系.
训练1
已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（ ）．
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义与简单几何性质，求出抛物线的准线方程以及与抛物线的交点横坐标，再求的值．
【详解】
解：抛物线的准线方程是，焦点为，
由，解得，
所以抛物线与抛物线在第一象限的交点，
则，
解得．
故选：．
【点睛】考查了抛物线的定义与简单几何性质应用问题．
训练2
如图，点是曲线上的任意一点，，，射线交曲线于点，垂直于直线，垂足为点.则下列判断：①为定值；②为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【答案】A
【分析】
曲线的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定正好是双曲线的两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将转化为到抛物线准线的距离，可以判定②正确.
【详解】
曲线两边平方，
得，为双曲线的的部分，
，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知，又，∴，①正确；
曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为，
由抛物线定义，知，②正确；
故选：A.
【点睛】考查双曲线与抛物线的定义，方程.
根据定义求抛物线的标准方程
例题1
已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若线段的长为8，的中点到轴的距离为2，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据抛物线定义可知，再根据的中点到轴的距离为2可知，代入即可求出p,从而可求出抛物线方程.
【详解】
根据抛物线定义，焦点弦．
因为中点，所以，所以．
故抛物线的方程为．
【点睛】考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程
例题2
设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【详解】
∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.
【点睛】考查了抛物线的定义与简单几何性质
训练1
已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
曲线是由两抛物线和构成，设与轴交点为，抛物线的焦点为，则由对称性可知的周长为，
当三点共线时取最小值，由此能求出的值．
【详解】
解：由题意得曲线是由两抛物线和构成，
设与轴交点为，抛物线的焦点为，
则由对称性可知的周长为
当三点共线时取最小值，
，解得．
故选B．
【点睛】考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识．
训练2
设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C
【点睛】考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
如何判断抛物线的开口方向
例题1
对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】
将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例题2
在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由，判断椭圆焦点在轴上，化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论.
【详解】
由，方程表示焦点在轴上的椭圆，
得表示焦点在轴上开口向左的抛物线.
故选：D.
【点睛】考查椭圆方程、抛物线方程与图形间的关系
训练1
对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为
【答案】A
【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】
抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
【点睛】考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.
训练2
下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】
抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】考查了抛物线的简单性质的应用.
一、单选题
1．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】现根据题意，判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】
因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.
故选：A.
2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由抛物线求出焦点和准线方程，利用双曲线与抛物线的关系列方程解出a、b，求出渐近线方程.
【详解】
抛物线的焦点,准线方程：.
∵抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，
∴解得：
∴双曲线的渐近线方程为：
故选：A
【点睛】求双曲线的渐近线的方法:直接令标准方程中的1变成0,得到 ,利用平方差公式得到渐近线方程: .
3．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点.若.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义借助三角形相似，列出比例式即可得解.
【详解】
过点A，B分别作直线AM，BN垂直于准线l，垂足分别为M，N，如图：
因直线AB过抛物线的焦点F，于是有，
显然有∽，于是得，
即，，，
所以.
故选：B
4．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
【答案】C
【分析】
为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】
由为等腰三角形，若，则有两个点；
若，则不存在，若，则有两个点，
则使得为等腰三角形的点有且仅有4个；
由中为直角的点有两个；
为直角的点不存在；为直角的点有两个，
则使得为直角三角形的点有且仅有4个；
若的在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程可得，解得，
由对称性可得在第四象限只有一个，
则满足的有且只有2个；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；
若在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得的点有且只有4个．
故选：C
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点在抛物线上及建立方程组，解出p即可.
【详解】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
6．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，联立直线方程和抛物线方程，消去利用韦达定理可求的值.
【详解】
由抛物线，知，设，
因为直线过且其斜率大于零，故在轴两侧.
又，知，且，即.
由可得,
由韦达定理得，代入，可得
又，故
故选：C.
【点睛】考查直线与抛物线的位置关系.
7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
【点睛】考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系
8．抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的简单几何性质即可求出．
【详解】
因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．
故选：D．
【点睛】考查抛物线的简单几何性质的应用．
二、填空题
9．在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为，上顶点为，分米，在它的内部放有一个半径为分米的球形灯泡，球心在轴上，且分米．已知球形灯泡的球心到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为，则实数的取值范围是___________________________
【答案】
【分析】
设出抛物线上任意一点的坐标，根据两点间的距离公式求得球心到四周轮廓上的点的距离，根据最短距离是在下顶点处取到，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
建立如图所示直角坐标系，其中为坐标原点，得抛物线方程，，
设抛物线上任一点的坐标为，
由两点距离公式得，
令，则的开口向上，对称轴为，
当对称轴时，在处取得最小值，此时的最小值为，
当对称轴时，最小值在对称轴处取得，即的最小值小于，不符合题意.
故由，解得.
故答案为：
【点睛】关于平面图形或者空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.
10．抛物线的焦点为，其准线与双曲线有两个交点，，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【分析】写出抛物线的焦点坐标，准线方程，求出坐标，由，得的关系求得离心率．
【详解】
由已知抛物线的准线方程是，焦点，把代入双曲线方程解得，
又，所以，，
所以．
故答案为：．
11．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为______．
【答案】
【分析】分别作，，由抛物线定义知，，，故，进而求得，点F为AC的中点，求出p，写出抛物线方程.
【详解】
分别作，，如图所示，
由抛物线定义知，，，
由知，，故，
则，点F为AC的中点，
故，抛物线方程为
故答案为：
三、解答题
12．已知曲线下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程 顶点坐标 焦点坐标 及的取值范围；
②若写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点的直线方程；
③若请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论如何变化，这两点都不在曲线上.
【答案】答案见解析
【分析】
选择①得到抛物线方程为：，根据抛物线的几何性质可得答案；
选择②得到抛物线方程为：，讨论直线斜率不存在和存在两种情况分别求.
选择③得到曲线的方程为：，即讨论和时的情况可得答案.
【详解】
选择①；
因为所以该曲线方程为：，
该曲线是抛物线，其对称轴方程是 顶点坐标为 焦点坐标为 的取值范围是 的取值范围是；
选择②；
因为所以该曲线的方程为：.该曲线是抛物线，
当过点(-1，0)的直线斜率不存在时，此时直线与曲线没有交点，不符合题意；
当过点(-1，0)的直线斜率存在时，设为，因此直线方程可设为：，
两个方程联立得：消去x可得：.
当时，此时，此时符合经过点(-1，0)且与曲线只有一个公共点；
当时，只需，解得，此时方程为：.
综上所述：符合题意的直线方程为：.
选择③；
因为所以曲线的方程为：，即.
当时，；
当时，
当时，，
因此符合题意这两个点可为.
13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用抛物线定义，由|AF|=2+=3求解.
（2）根据点A(2，m)在抛物线E上，解得m,不妨设A(2，2)，直线AF的方程为y=2 (x-1)，联立，然后论证kGA+kGB=0即可
【详解】
（1）由抛物线定义可得|AF|=2+=3，解得p=2.
∴抛物线E的方程为y2=4x.
（2）∵点A(2，m)在抛物线E上，
∴m2=4×2，解得m=±2 ，
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，
由A(2，2，F(1，0)，
∴直线AF的方程为y=2 (x-1)，
由 得2x2-5x+2=0，解得x=2或，∴B.
又G(-1，0)，∴kGA=，kGB=
∴kGA+kGB=0，
∴∠AGF=∠BGF.
∴GF为∠AGB的平分线.
【点睛】关键点点睛：由GF为∠AGB的平分线，即∠AGF=∠BGF，转化为 kGA+kGB=0结合韦达定理证明.
14．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）焦点坐标为（5，0），准线方程为x＝﹣5；（2）焦点坐标为（0，），准线方程为y；（3）焦点坐标为（，0），准线方程为x；（4）0，﹣2），准线方程为y＝2．
【分析】
利用抛物线方程，求出p，结合其开口方向，即可确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
【详解】
解：（1）y2＝20x中p＝10，∴焦点坐标为（5，0），准线方程为x＝﹣5；
（2）x2y中p，∴焦点坐标为（0，），准线方程为y；
（3）2y2+5x＝0中p，∴焦点坐标为（，0），准线方程为x；
（4）x2+8y＝0中p＝4，∴焦点坐标为（0，﹣2），准线方程为y＝2．
15．已知抛物线的顶点为，准线方程为．
（1）求抛物线方程；
（2）若过点的直线交抛物线于，两点，且为的中点，求直线的方程；
（3）过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2) ；(2)
【分析】
(1)根据准线方程求出，即可得抛物线方程；
(2)利用点差法可求出直线的斜率，然后利用点斜式方程，即可得线的方程；
(3)设，，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用根与系数关系可得，，然后利用弦长公式可求出，利用点到直线距离公式可求出的高，进而可求出面积.
【详解】
（1）因为的准线，所以，所以，所以
（2）设，，则；，
两式相减得，
又为的中点，所以，则，
所以直线方程为，即，
经检验，此时直线与抛物线有两个交点，满足题意.
（3）由已知得直线的方程为，，，
由，得，又，
所以，，
所以，又，
所以.
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