苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.1抛物线及其标准方程【同步作业】（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.1抛物线及其标准方程【同步作业】（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:30:26 | ||
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文档简介
3.3.1抛物线及其标准方程
一、单选题
1．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
8．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
三、填空题
11．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
12．已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
四、解答题
13．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
14．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面时，桥洞水面宽为，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽，高的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为多少？
3.3.1抛物线及其标准方程答案
一、单选题
1．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线中的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
故选：D
2．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
3．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
根据给定条件画出图形，借助几何图形及抛物线定义即可得解.
【详解】
不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线交x轴于点，作于点A，于点B，如图，
而点，M为的中点，则，
所以.
故选：B
4．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义列出方程求出，的中点纵坐标，进而求出线段的中点到轴的距离．
【详解】
抛物线的准线方程，
设，，，
解得，
线段的中点纵坐标为，
线段的中点到轴的距离为.
故选：C.
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把抛物线方程化为标准方程后得焦参数值后可得准线方程．
【详解】
由题意抛物线标准方程为，，，
所以准线方程为．
故选：C．
6．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，即可求出焦点坐标.
【详解】
由，得，
所以抛物线的焦点坐标是.
故选:B
7．已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出示意图，根据抛物线性质进行转化为求最小值即可.
【详解】
如下图所示，由题意可判断在抛物线内部，且易得点，准线方程.
根据两点间距离公式得,根据抛物线性质得，当且仅当三点共线时等号成立，故的周长的最小值为.
故选:D
8．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图建系，设出抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.
【详解】
解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，
由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.
故选：B.
二、多选题
9．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
【答案】ACD
【分析】
根据椭圆、圆、双曲线以及抛物线的标准方程判断即可.
【详解】
由，可得，对A，当，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当，方程表示半径为的圆，故B错误；对C，当时，方程表示双曲线，渐近线方程为，即，故C正确；对D，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D正确；
故选：ACD.
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【分析】
将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可.
【详解】
将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
三、填空题
11．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
【答案】
【分析】
由已知可知，，，代入点即可得解.
【详解】
因为等边三角形的边长为，且其三个顶点都在抛物线上
所以，，，
所以，解得
所以抛物线的方程为：
故答案为：
12．已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
【答案】3
【分析】
根据抛物线和圆的对称性，结合圆的性质、两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】
因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设，
设圆的圆心坐标为：，半径为1，
因此，当时，，
所以长度的最小值为，
故答案为：
四、解答题
13．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】
（1）由抛物线过点(3,-4)，可设抛物线方程为 (p>0)或 (p1>0)，将点代入求参数，写出抛物线方程即可.
（2）由焦点在x+3y+15=0上，分焦点在x轴或y轴上，求焦点坐标，写出抛物线方程.
【详解】
（1）∵点(3,-4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0).
将(3,-4)的坐标分别代入方程中，
∴由，得：；由，得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为或.
14．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面时，桥洞水面宽为，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽，高的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为多少？
【答案】水面距离拱顶至少，船才能顺利通过此桥.
【分析】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱顶相距时，船恰好能通过，先求出抛物线方程，再令代入抛物线方程求得点纵坐标后可得结论．
【详解】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱顶相距时，船恰好能通过.
设抛物线方程为
因为点在抛物线上，
所以，得，故.
当船恰好能通过时，设船宽等于，则点的横坐标为2，代入，得点的纵坐标，
所以，
因此，水面距离拱顶至少，船才能顺利通过此桥.
2 / 11
一、单选题
1．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
8．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
三、填空题
11．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
12．已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
四、解答题
13．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
14．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面时，桥洞水面宽为，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽，高的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为多少？
3.3.1抛物线及其标准方程答案
一、单选题
1．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线中的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
故选：D
2．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
3．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N．若M为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
根据给定条件画出图形，借助几何图形及抛物线定义即可得解.
【详解】
不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线交x轴于点，作于点A，于点B，如图，
而点，M为的中点，则，
所以.
故选：B
4．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义列出方程求出，的中点纵坐标，进而求出线段的中点到轴的距离．
【详解】
抛物线的准线方程，
设，，，
解得，
线段的中点纵坐标为，
线段的中点到轴的距离为.
故选：C.
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把抛物线方程化为标准方程后得焦参数值后可得准线方程．
【详解】
由题意抛物线标准方程为，，，
所以准线方程为．
故选：C．
6．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，即可求出焦点坐标.
【详解】
由，得，
所以抛物线的焦点坐标是.
故选:B
7．已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出示意图，根据抛物线性质进行转化为求最小值即可.
【详解】
如下图所示，由题意可判断在抛物线内部，且易得点，准线方程.
根据两点间距离公式得,根据抛物线性质得，当且仅当三点共线时等号成立，故的周长的最小值为.
故选:D
8．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图建系，设出抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出p值，进而可得答案.
【详解】
解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，与重合：
设抛物线的方程为，
由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为.
故选：B.
二、多选题
9．已知方程，则下面四个选项中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．当时，方程表示圆，其半径为
C．当时，方程表示双曲线，其渐近线方程为
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
【答案】ACD
【分析】
根据椭圆、圆、双曲线以及抛物线的标准方程判断即可.
【详解】
由，可得，对A，当，则，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对B，当，方程表示半径为的圆，故B错误；对C，当时，方程表示双曲线，渐近线方程为，即，故C正确；对D，该方程中并不含有一次项，所以其表示的曲线不可能为抛物线，故D正确；
故选：ACD.
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【分析】
将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可.
【详解】
将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
三、填空题
11．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
【答案】
【分析】
由已知可知，，，代入点即可得解.
【详解】
因为等边三角形的边长为，且其三个顶点都在抛物线上
所以，，，
所以，解得
所以抛物线的方程为：
故答案为：
12．已知点在抛物线上，点在圆上，则长度的最小值为___________.
【答案】3
【分析】
根据抛物线和圆的对称性，结合圆的性质、两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】
因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设，
设圆的圆心坐标为：，半径为1，
因此，当时，，
所以长度的最小值为，
故答案为：
四、解答题
13．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）过点(3,-4)；
（2）焦点在直线x+3y+15=0上.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】
（1）由抛物线过点(3,-4)，可设抛物线方程为 (p>0)或 (p1>0)，将点代入求参数，写出抛物线方程即可.
（2）由焦点在x+3y+15=0上，分焦点在x轴或y轴上，求焦点坐标，写出抛物线方程.
【详解】
（1）∵点(3,-4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0).
将(3,-4)的坐标分别代入方程中，
∴由，得：；由，得.
∴所求抛物线的标准方程为或.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为或.
14．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高出水面时，桥洞水面宽为，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题.一只宽，高的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为多少？
【答案】水面距离拱顶至少，船才能顺利通过此桥.
【分析】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱顶相距时，船恰好能通过，先求出抛物线方程，再令代入抛物线方程求得点纵坐标后可得结论．
【详解】
以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设当水面与拱顶相距时，船恰好能通过.
设抛物线方程为
因为点在抛物线上，
所以，得，故.
当船恰好能通过时，设船宽等于，则点的横坐标为2，代入，得点的纵坐标，
所以，
因此，水面距离拱顶至少，船才能顺利通过此桥.
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