苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.2抛物线几何性质【同步作业】（含解析）

3.3.2抛物线几何性质
一、单选题
1．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
2．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，PF的中点M到C的准线l的距离为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．1
4．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线 ，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线上一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角
C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
10.设抛物线的焦点为.点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为
A． B． C． D．
三、填空题
11．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________.
12．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
四、解答题
13．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
14．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
3.3.2抛物线几何性质答案
一、单选题
1．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
【答案】D
【分析】
利用焦半径公式即可求解.
【详解】
设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF| ＝2＋ ＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x.
故选：D
2．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理易得的中点横坐标，根据中点在直线上求纵坐标，即可得线段的中点到轴的距离.
【详解】
由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，令，，
∴，故线段的中点的横坐标为代入直线，得：.
∴线段的中点到轴的距离是.
故选：D
3．抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，PF的中点M到C的准线l的距离为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．1
【答案】A
【分析】
根据题意作图，然后PF的中点M到C的准线l的距离则转化为求梯形的中位线的长度，则求出上下底即可，其中上底是焦点到准线的距离，下底长度等于，计算即可求出结果.
【详解】
本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
如图，过P作于C，由抛物线的定义可知，，故PF的中点M到C的准线l的距离为.
故选：A.
4．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线 ，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将代入抛物线方程可得抛物线方程，利用和焦点坐标求出直线的方程，与抛物线方程联立可得点的坐标，进而可得的中点坐标，即可求解.
【详解】
设抛物线方程为：，将点代入可得，解得：，
所以抛物线方程为：，焦点为，，
由题意可得：直线的方程为：，即，
由可得：，解得：或，
所以，，可得的中点为，
所以线段的中点到准线的距离为，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意直线过焦点，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程求出点的坐标.
5．以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
根据抛物线的标准方程以及通径的性质直接求解.
【详解】
设抛物线方程为或，
依题意得，代入或得，
，．
抛物线方程为或，
故选：C.
6．下列图形中，可能是方程和（且）图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据椭圆和双曲线得出的正负，再判断抛物线开口方向可得.
【详解】
方程化为标准方程为，则抛物线的焦点在轴上，故B错误；
对A，方程表示椭圆，则，则，抛物线方程应开口向左，故A错误；
对C，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则抛物线方程应开口向右，故C错误；
对D，方程表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则抛物线方程应开口向右，故D正确.
故选：D.
7．已知抛物线上一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线方程计算得点的坐标，再利用焦半径公式代入计算点的横坐标，代入抛物线方程，求出纵坐标，利用斜率公式计算即可.
【详解】
由题意，点，因为，可得，又因为点在抛物线上，所以，则，所以点，则.
故选：D.
8．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，故选：A．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角
C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
【答案】ACD
【详解】由题意知，抛物线C的方程为，
线段长度的最小值为通径，A正确；
，轴，∴，
同理，∴，B错误；
设直线，联立抛物线并整理，得，
设，，则，，
∵，∴，A，O，三点共线，C正确；
设的中点，则，，
取时，，D正确；故选：ACD
10.设抛物线的焦点为.点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设，易知，则，如图所示.
则，解得.
∴抛物线方程为，且，
又在抛物线上，，因此，解得.
所以点的坐标为或.故选：BC.
三、填空题
11．若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________.
【答案】
【详解】由抛物线的对称性知：在上，
∴，可得，即抛物线的方程为.
故答案为：.
12．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
【答案】6
【详解】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
故答案为：6.
四、解答题
13．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）4.
解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，则，
所以的最小值为4.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
14．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
【答案】证明见解析.
【详解】由得，设，
则有，，，即，所以.
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