苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.3直线与抛物线位置关系【同步作业】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.3直线与抛物线位置关系【同步作业】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 806.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-29 12:30:59 | ||
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文档简介
3.3.3直线与抛物线位置关系
一、单选题
1．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
2．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
3．设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，若，则C的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设抛物线与直线交于点（点在第一象限），且到焦点F的距离为8，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线：()上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线，过点的直线交于,两点，则直线，(为坐标原点)的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为 B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值 D．线段的最小值为4
10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
三、填空题
11．已知抛物线与直线相切，则__________．
12．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
四、解答题
13．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
14．已知抛物线的准线方程为过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
（1）求实数的值；
（2）求直线的方程.
3.3.3直线与抛物线位置关系答案
一、单选题
1．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
根据直线过的焦点且斜率为得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得，，从而有.
【详解】
抛物线的焦点为，
过的焦点且斜率为的直线方程为，
因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，
联立，消去得，.
由韦达定理得，.
故选：B.
2．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
求出与抛物线相切，且与直线平行的切线方程，切点到的距离（即两平行线间距离）即为所求最小值．
【详解】
设与抛物线相切，且与直线平行的直线方程为，
由得，所以，，所以切线方程为，
切线与直线的距离为．即为到直线的最小值．
故选：D．
3．设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，若，则C的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】
因为直线与抛物线交于两点，且
根据抛物线的对称性可以确定，所以
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用几何知识得出，进而代入方程得出焦点坐标.
4．设抛物线与直线交于点（点在第一象限），且到焦点F的距离为8，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出交点坐标，利用焦半径公式（或抛物线的定义）求得参数，得抛物线方程．
【详解】
联立又在第一象限，解得所以点，因为M到焦点F的距离为8，所以，解得.所以C的方程为.
故选：B．
5．已知抛物线：()上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，求出切线方程为，可得点 ，从而，由抛物线的定义知，故.
【详解】
设点的坐标为，抛物线的焦点，准线方程为，，，∴，
直线方程为，令，∴点的坐标为，
由抛物线的定义和已知可知，又，∴.
故选：B.
6．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据韦达定理和中点坐标公式求出的中点D的坐标，再求出点M的坐标，解方程组可得点A的坐标，即可求出圆的半径，面积可得．
【详解】
抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线l过点F且斜角为，
∴直线l的方程为y＝﹣x+1，
联立方程组，消y可得，
∴
设的中点为
∴D（，），即D（3，﹣2），
∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，
联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6 ），
解方程可得
∴圆M的半径
∴圆M的面积为
故选：B
7．已知抛物线，过点的直线交于,两点，则直线，(为坐标原点)的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
，直线与抛物线联立，运用韦达定理即可.
【详解】
设点，，设的方程为则，
得，则，所以
从而
故选：C.
8．已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点，联立直线与抛物线的方程得出，再结合抛物线的定义得出，最后由为的中点求出答案.
【详解】
由题意可知，则直线的方程为
设点，由得，则
由抛物线的定义可知
又为的中点，则到抛物线准线的距离
故选：B
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于联立直线与抛物线的方程由韦达定理求出，进而得出到抛物线准线的距离.
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为 B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值 D．线段的最小值为4
【答案】BC
【分析】
设过焦点的直线方程为：，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再一一计算即可判断；
【详解】
解：抛物线：的焦点为，设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：
，设，，，，
若的坐标为，则，，
而，即，方程组无解，所以A错误，
又
，即，所以坐标原点在以为直径的圆内，所以B正确，
，故C正确；
抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为2，故D错误，
故选：BC
10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
【答案】ABD
【分析】
分别求出过焦点斜率不存在时弦长，和斜率存在时的弦长，可得，求出的值可判断A，B，C，将的方程与抛物线方程联立求出两根，由抛物线的定义可得、的长，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
当直线的斜率不存在时，
因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，
由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，
设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，
解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
三、填空题
11．已知抛物线与直线相切，则__________．
【答案】
【分析】
联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为0可求的值.
【详解】
联立方程组整理得
因为与相切，所以，解得或舍去)．
故答案为：3.
12．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
【分析】
由题意求得到抛物线，联立，解得，结合导数的几何意义，求得抛物线过点，点的切线方程，联立方程组，求得，进而得到所以围成的三角形面积为，结合题意，即可求得封闭图形的面积．
【详解】
由的最小值是，可得，解得，所以抛物线的方程是，
联立方程组，解得，
又由抛物线可化为，可得，
设抛物线在点的切线斜率分别为，，则，，
所以抛物线过点，点的切线方程分别是和，
联立方程组，解得，
所以抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积．
故答案为：.
四、解答题
13．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得到关于的方程组，求得的值，即得的方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理和向量的垂直的坐标表示得到关于的方程，求得的值，注意检验判别式大于零，进而得到直线的方程.
【详解】
解：（1）由题意可得解得.
故抛物线的方程为.
（2）设，.
联立整理得（*）.
由直线和抛物线交于 两点可知，且，
.
依题意，所以，
则，
即，整理得，
解得.
此时（*）式为，符合题意.
故直线的方程为.
14．已知抛物线的准线方程为过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
（1）求实数的值；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）由准线方程求得p，写出抛物线方程；
（2）设直线l的方程为，，联立抛物线方程，求得韦达定理，，代入韦达定理求得m，写出直线方程即可.
【详解】
（1）由准线方程为知，，故.
（2）由（1）知，抛物线方程为，
设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，
，代入韦达定理知，
，解得，
故直线的方程为.
2 / 2
2 / 13
一、单选题
1．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
2．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
3．设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，若，则C的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设抛物线与直线交于点（点在第一象限），且到焦点F的距离为8，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线：()上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线，过点的直线交于,两点，则直线，(为坐标原点)的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为 B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值 D．线段的最小值为4
10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
三、填空题
11．已知抛物线与直线相切，则__________．
12．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
四、解答题
13．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
14．已知抛物线的准线方程为过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
（1）求实数的值；
（2）求直线的方程.
3.3.3直线与抛物线位置关系答案
一、单选题
1．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
根据直线过的焦点且斜率为得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去得，，从而有.
【详解】
抛物线的焦点为，
过的焦点且斜率为的直线方程为，
因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，
联立，消去得，.
由韦达定理得，.
故选：B.
2．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
求出与抛物线相切，且与直线平行的切线方程，切点到的距离（即两平行线间距离）即为所求最小值．
【详解】
设与抛物线相切，且与直线平行的直线方程为，
由得，所以，，所以切线方程为，
切线与直线的距离为．即为到直线的最小值．
故选：D．
3．设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，若，则C的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】
因为直线与抛物线交于两点，且
根据抛物线的对称性可以确定，所以
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用几何知识得出，进而代入方程得出焦点坐标.
4．设抛物线与直线交于点（点在第一象限），且到焦点F的距离为8，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出交点坐标，利用焦半径公式（或抛物线的定义）求得参数，得抛物线方程．
【详解】
联立又在第一象限，解得所以点，因为M到焦点F的距离为8，所以，解得.所以C的方程为.
故选：B．
5．已知抛物线：()上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，求出切线方程为，可得点 ，从而，由抛物线的定义知，故.
【详解】
设点的坐标为，抛物线的焦点，准线方程为，，，∴，
直线方程为，令，∴点的坐标为，
由抛物线的定义和已知可知，又，∴.
故选：B.
6．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据韦达定理和中点坐标公式求出的中点D的坐标，再求出点M的坐标，解方程组可得点A的坐标，即可求出圆的半径，面积可得．
【详解】
抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线l过点F且斜角为，
∴直线l的方程为y＝﹣x+1，
联立方程组，消y可得，
∴
设的中点为
∴D（，），即D（3，﹣2），
∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，
联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6 ），
解方程可得
∴圆M的半径
∴圆M的面积为
故选：B
7．已知抛物线，过点的直线交于,两点，则直线，(为坐标原点)的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
，直线与抛物线联立，运用韦达定理即可.
【详解】
设点，，设的方程为则，
得，则，所以
从而
故选：C.
8．已知点是抛物线的焦点，过作斜率为的直线交抛物线于不同两点，，点为的中点，则到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点，联立直线与抛物线的方程得出，再结合抛物线的定义得出，最后由为的中点求出答案.
【详解】
由题意可知，则直线的方程为
设点，由得，则
由抛物线的定义可知
又为的中点，则到抛物线准线的距离
故选：B
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于联立直线与抛物线的方程由韦达定理求出，进而得出到抛物线准线的距离.
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为 B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值 D．线段的最小值为4
【答案】BC
【分析】
设过焦点的直线方程为：，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再一一计算即可判断；
【详解】
解：抛物线：的焦点为，设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：
，设，，，，
若的坐标为，则，，
而，即，方程组无解，所以A错误，
又
，即，所以坐标原点在以为直径的圆内，所以B正确，
，故C正确；
抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为2，故D错误，
故选：BC
10．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
【答案】ABD
【分析】
分别求出过焦点斜率不存在时弦长，和斜率存在时的弦长，可得，求出的值可判断A，B，C，将的方程与抛物线方程联立求出两根，由抛物线的定义可得、的长，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
当直线的斜率不存在时，
因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，
由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，
设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，
解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
三、填空题
11．已知抛物线与直线相切，则__________．
【答案】
【分析】
联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为0可求的值.
【详解】
联立方程组整理得
因为与相切，所以，解得或舍去)．
故答案为：3.
12．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
【分析】
由题意求得到抛物线，联立，解得，结合导数的几何意义，求得抛物线过点，点的切线方程，联立方程组，求得，进而得到所以围成的三角形面积为，结合题意，即可求得封闭图形的面积．
【详解】
由的最小值是，可得，解得，所以抛物线的方程是，
联立方程组，解得，
又由抛物线可化为，可得，
设抛物线在点的切线斜率分别为，，则，，
所以抛物线过点，点的切线方程分别是和，
联立方程组，解得，
所以抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积．
故答案为：.
四、解答题
13．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得到关于的方程组，求得的值，即得的方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理和向量的垂直的坐标表示得到关于的方程，求得的值，注意检验判别式大于零，进而得到直线的方程.
【详解】
解：（1）由题意可得解得.
故抛物线的方程为.
（2）设，.
联立整理得（*）.
由直线和抛物线交于 两点可知，且，
.
依题意，所以，
则，
即，整理得，
解得.
此时（*）式为，符合题意.
故直线的方程为.
14．已知抛物线的准线方程为过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
（1）求实数的值；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）由准线方程求得p，写出抛物线方程；
（2）设直线l的方程为，，联立抛物线方程，求得韦达定理，，代入韦达定理求得m，写出直线方程即可.
【详解】
（1）由准线方程为知，，故.
（2）由（1）知，抛物线方程为，
设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，
，代入韦达定理知，
，解得，
故直线的方程为.
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