苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线与方程单元测试 （解析版）

1．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线：的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．双曲线的左右焦点分别为 ，过点的直线与圆相切于点A，与双曲线左支交于点P，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知直线过抛物线的焦点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
8．平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则点到轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
11．已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A． B．
C． D．延长交的准线于点则存在实数使得
12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为、则
D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上
13．已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
14．已知椭圆：的左 右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响 D．的最小值为
15．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____.
16．双曲线的离心率为2，过其左支上一点作平行于轴的直线交渐近线于、两点，若，则该双曲线的焦距为________.
17．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，且，若，则______.
18．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
19．已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求的方程；
（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.
20．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
21．平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
22．已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
1．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用点差法得到得解
【详解】
设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
2．双曲线：的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，直线的斜率为，进而作出图形，数形结合得，故，进而得.
【详解】
因为过的直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线右支交于，两点，
如图所示：由图象知：，
所以，
又，所以，
故选：A．
3．双曲线的左右焦点分别为 ，过点的直线与圆相切于点A，与双曲线左支交于点P，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出图形，结合定义可得，由与，化简求值即可
【详解】
在中，，，
由余弦定理可知，，
在中，，，
化简可得：，
.
故选：D.
4．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
5．已知直线过抛物线的焦点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设抛物线的准线与x轴交于，过点A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，可证得，有，所以点与点C重合，故得解.
【详解】
设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作准线的垂线，垂足分别为.因为，所以，又因为，所以，所以，即，因为点关于轴的对称点为，所以点与点重合，所以.
故选：A
6．已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
设椭圆的左焦点为，
在椭圆中，，，则，
由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，
所以，四边形为平行四边形，
所以，，由椭圆的定义可得，
，，即，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出；
（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.
7．已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】C
【分析】
根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，可求点的轨迹.
【详解】
由已知条件可知 ,
所以三角形是等腰三角形， ,
因为
所以
则三角形是等腰三角形，
所以
所以点的轨迹是双曲线的左支．
故选：C
【点睛】考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定.
8．平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则点到轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为，直线恒过定点，过分别作于，于，根据抛物线的定义和已知条件可得点为的中点，进而可得点的横坐标为1，则从 而可求出答案
【详解】
解：设抛物线的准线为，直线恒过定点，
如图过分别作于，于，
因为，所以，
所以点为的中点，连接，则，
所以，所以点的横坐标为1，
所以，
所以点到轴的距离为4，
故选：B
【点睛】考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义
9．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
10．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】
设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范围即可.
【详解】
由椭圆方程，知，
，设右焦点为，即
设,，
由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为
由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，
所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，
联立方程，消去x得：
由韦达定理得，，
令，则，，则
，当且仅当，即时，等号成立，
故三角形ABF面积最大值为
故选：A
【点睛】考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程在椭圆上一点的切线方程为.
11．已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A． B．
C． D．延长交的准线于点则存在实数使得
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线经过抛物线的焦点，直线平行于轴，由此可求出点的坐标，判断各选项的真假．
【详解】
如图所示：
因为过点且轴,故,故直线
化简得,由消去并化简得,即,，故A正确；
又, 故,B,故,故B错误；
因为，故为等腰三角形，所以,而,故,即，故C正确；
直线,由 得故,所以C , B, Q 三点共线,故D正确．
故选：ACD．
12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为、则
D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上
【答案】CD
【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，B错；
对于C选项，设，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以，，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，
双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.
故选：CD.
13．已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
【答案】ACD
【分析】由已知，设抛物线方程为，将点代入即可判断A选项；设圆心，求出圆的半径，写出圆的方程，令，可求得、，由此可判断B选项；设，，根据条件可求得，利用基本不等式讨论即可判断C选项；再根据可判断D选项．
【详解】
解：由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线的方程为，故A正确；
设圆心，则圆的半径，
圆的方程为，
令，得，得，，
（定值），故B不正确；
设，，
，，
，
当时，，
当时，，
故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
由前分析，，即，
当且仅当时，，故D正确；
故选：ACD．
14．已知椭圆：的左 右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】
设，则，从而可得，再结合已知条件可得，进而可求出椭圆的离心率，可对A，B选项判断；由已知条件可得四边形为平行四边形，则有，结合已知条件可得，从而可知的值不受点，的位置影响，设，由题意得，则结合基本不等式可得，从而得当点为短轴的端点时最大，进而可求出的最小值
【详解】
解：设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，所以A正确，B错误；
因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；
设，由题意得，则有，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，
，
所以，
所以D正确，
故选：AD.
【点睛】考查椭圆的性质的应用，考查计算能力和转化思想，解题的关键是由可得，从而可求出椭圆的离心率，设，则有，再结合基本不等式可得，从而可知当点为短轴的端点时最大，进而可得答案，属于中档题
15．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于,两点，若，则椭圆的离心率为____.
【答案】
【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到，然后利用计算即可.
【详解】
如图，
作垂直右准线交右准线于点，作垂直右准线交右准线于点
作垂直于点
由，设，则
由
所以，
又直线的斜率为，所以
所以
故答案为：
16．双曲线的离心率为2，过其左支上一点作平行于轴的直线交渐近线于、两点，若，则该双曲线的焦距为________.
【答案】8
【分析】设，写出渐近线方程，即可得，，结合可得，由在双曲线上可求出，结合离心率可求出，即可求出焦距.
【详解】
解：设，则，双曲线渐近线方程为，
所以当时，，即，，因为轴，
所以，，则，
又，即，所以，即，则离心率，
所以，所以焦距为，
故答案为:8.
【点睛】考查了双曲线的离心率,双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出 的值.
17．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，且，若，则______.
【答案】
【分析】设，进而结合抛物线的定义与已知条件得，进而由解得答案.
【详解】
解：设，由题知，，
因为，所以
因为点在上，
所以，解得，
所以，
所以，解得，
故答案为：
18．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__．
【答案】①③
【分析】
运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；点 P 靠近坐标轴时，越大，点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，得到两椭圆方程，然后相加可得，可得的最小值为 2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】
由椭圆的对称性及，
所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆，
则点 P 为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于，
椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（或），越大，
点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴，④错误．
故答案为：①③．
【点睛】考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
19．已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求的方程；
（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由题意可得：，解方程组即可求解；
（2）设直线的方程为，联立利用根与系数的关系，再结合的坐标关系，建立等式即可求解
【详解】
（1）依题意可得：
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，
故设直线的方程为，
设，，由（1）可知：，，
则，，
因为，所以，，，化简得，
所以，，得.
联立消去得，，由得，
，，
则，解得或，
故的斜率为或.
20．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先判断出轨迹为双曲线，然后根据焦点坐标和实轴长度求解出双曲线的方程；
（2）写出直线的方程，联立直线方程与双曲线的方程，利用弦长公式求解出.
【详解】
解：（1）因为，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，所以，
所以的方程为：；
（2）不妨设焦点，则直线：
由消去得：．
设，，则，，
所以．
21．平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）依题意，线段的长度等于到：的距离，由抛物线定义可得其方程；
（2）设直线方程为（），与联立得，由“直线，的斜率互为相反数”结合韦达定理得，进而可证得结果.
【详解】
（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，
则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，
所以，的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．
由得．
则，．①
则，，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，
所以或．
若，则的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线的斜率为定值．
22．已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）根据题给条件，建立关于a，b，c的方程即可求出结果.
（2）这是典型的解析几何存在性问题，先假设满足条件的直线存在，由题给条件设直线的方程，根据题中的向量等式，求解出直线方程，从而得出结论.
【详解】
（1）设椭圆C的标准方程为，
根据题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为．
(2）由题及（1）知，，
假设存在直线l满足题意，并设直线l的方程为:，，．
由，得，
由，得．
由题意知:点F为的重心，所以，即，
解得， 当时，不满足，
所以不存在直线l，使得．
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