例1：设复数z=lg(m2－2m－2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数； (2)z是实数;
(3)z对应的点位于复平面的第二象限.
例2:计算:
（1）
(2 )1+2i+3+…+1000
（3）
例3：设z∈C,求满足， 且|z－2|=2的复数z
变式：已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。
(1).若
(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（ ）
A． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
(3)已知为纯虚数求m的对应点的轨迹.
(4)设复数若
，求实数的值
例4：已知z=1+i，a，b为实数，
(1)若ω=z2+3－4,求|ω|;
(2)若，求a，b的值。
例5：已知，对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范围。
例6：已知i是虚数单位，数z和ω满足zω+2iz－2iω+1=0，且|z|2=3。求证：|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数。
例1：（1）计算：
（2）设复数若
，求实数的值
例5：设且是纯虚数，求的
最大值。
例6：若，解方程:
第一节 复数的基本概念
一、知识归纳
1、知识精讲：
1）复数的概念：形如a+bi（a、b∈R）的数。a、b分别叫做它的实部与虚部。
2）复数的分类：复数a+bi（a、b∈R），当b=0时就是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a=0，b≠0时，叫做纯虚数。
3）复数相等的充要条件：若a、b、c、d∈R，则a+bi=c+di＜＝＞a=c，b=d。
注:①两个实数可以比较大小,但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。
4）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数。即若z=a+bi，则=a-bi，（a、b∈R）
注： ①当b≠0时，又可说成互为共轭虚数；②实数的共轭复数是其本身。
5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面。x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
注：复数z=a+bi（a、b∈R）与复平面内的点P(a,b)及向量是一一对应的.
6）复数是实数的充要条件：
z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）； ②z∈Rz=； ③Z∈R。
7）复数是纯虚数的充要条件：
z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）； ②z是纯虚数或0Z+=0；
③z是纯虚数 z2＜0。
8)复数的摸：|z|=|a+bi|=，显然有|z|=||。
9）几个重要结论：
①； ②；
2．重点难点：复数的概念。
3．思维点拨：转化的思想，将复数问题转化为实数问题。
4．特别注意：不一定等于。
二．问题讨论
例1：设复数z=lg(m2－2m－2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；
(2)z是实数; (3)z对应的点位于复平面的第二象限.
解：（1）由，得；
（2）由m2+3m+2=0得m=―1，―2。
（3）由得或。
【思维点拨】对复数的分类条件要注意其充要性；对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样。
例2：设z∈C,求满足 且|z－2|=2的复数z。
解：∵，∴，∴，，
∴或，设，则或。
当时，，所以，故或4。不合舍去，∴z=4。
当时，由|Z－2|=2得，联立解得，
综上可得：z=4或。
【思维点拨】利用复数是实数的充要条件解题有时会显得简单。
变式：已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。
解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，
∴或。
【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。
例3：求7+24i的平方根。
解：设平方根为x+yi（x，y∈R），则(x+yi)2=7+24i。即或，
故7+24i的平方根为±(4+3i)。
例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若ω=z2+3－4,求|ω|; (2)若，求a，b的值。
解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。
（2）由条件，∴，∴。
【思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例5：已知，对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范围。
解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，对成立。
当，即时，不等式成立；
当时。综上得。
【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。
例6：已知i是虚数单位，数z和ω满足zω+2iz－2iω+1=0，且|z|2=3。求证：|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数。
解：∵z(ω+2i)=2iω－1, ∴,∴。
设，∴，。
∵，∴，
即,∴。
所以|ω－4i|是一个常数。
三、课堂小结
在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用。
2．掌握转化的思想，将复数问题转化为实数问题。
四、布置作业
能力提高
五、课后小结
第二节 复数的运算几何意义
一、知识归纳
知识精讲：
（1）复数加、减、乘、除法的运算法则：
设，则；
；。
几个重要结论：
（1）的周期性；（2）ω的性质；（3）； （4）；
（5）
（6）。（ω为1的立方虚根）
（2）复数的三角形式：z=r（cosθ+isinθ），θ叫做辐角，若则称为辐角主值。，。
（3）复数的三角形式的乘、除法：若z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2），
则；
（4）加、减、乘、除的几何意义：
加法的几何意义：设，各与复数z1，z2对应，以，为边的平行四边形的
对角线就与z1+z2对应。
减法的几何意义：设，各与复数z1，z2对应，则图中向量所对应的复数就是
z2-z1。 ｜z1-z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。
乘法的几何意义：设表示复数r(cosθ+isinθ)(r＞0)，把绕A点按逆时针方向旋
转α角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k＞0)得到，则对应的复数
是［r(cosθ+isinθ)］·k( cosα+isinα)，如果把绕A点按顺时针方向进行同样方
式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是［r(cosθ+isinθ)］·k(cosα-isinα)。
除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，z1÷z2=z1·()因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。
复数方根的几何意义：设对应的复数是z，z的n次方根(n≥2,nN)对应于 从原点出发且在 原点处n等分圆周角的n个向量，这n个向量的模都是，其中一个向量的辐角是复数z的辐角的n分之一。
（5）求解复数集上的方程主要有以下两种解法：
①设z=x+yi(x，yR)从而转 化为关于实数x，y的方程。
②若是复数集上的二次方程，则可以直接利用二次方程的求根公式，但要注意判别式Δ＜0 ，则x1，2=
2．重点难点：复数的几何意义的理解及其运用。
3．思维点拨：数形结合，复数问题实数化。
4．特别注意：辐角φ与辐角主值θ是两个不同的概念，一般地：φ=2kπ+θ（k∈Z）。
二．问题讨论
例1：（1）计算： 答案：
（2）设复数若，求实数的值
答案：
例2：将下列复数分别表示成三角形式：①；②；③－1；④
答案：①；②；
③； ④
例3：若复数，且，求实数k的值，并求复数z的三角形式
答案：,
例4：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。
(2)：设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。
解：∵|u|=||?|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例5：设且是纯虚数，求的最大值。
解：令z=x+yi（x，y∈R），则，∵是纯虚数，
∴，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,－1)的最大距离。∴max=|PA|=。
【思维点拨】数形结合是复数问题中的常用方法。
例6：若，解方程
解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。
【思维点拨】设x=a+bi (a,b∈R)代入方程利用复数相等的条件来解。
【思维点拨】求复数的三角形式的关键是求出模与辐角。
三、课堂小结
复平面上两点间的距离公式|Z1－Z2|。
利用复数的几何意义及加减运算的几何意义解题。
复数集内的方程常利用复数相等转化为实数问题求解。
四、布置作业
五、课后小结
课件15张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误解分析
第1课时 复数的代数形式与运算要点·疑点·考点1.复数的意义z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0；是虚数的充要条件是b≠0；是纯虚数的充要条件是a=0且b≠02.复数的相等两个复数相等，当且仅当它们的实、虚部分别相等.3.共轭复数及复数的模的代数表示4.复数的代数运算对于i，有i4n=1,i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)?返回课 前 热 身-62.设 x,y∈R，且 ,则x+y=_____? A 3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数，则实数x的值是( )
(A) 1 (B) -1
(C)±1 (D) 以上都不对 D B 5. i0+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( )
(A) 1 (B) -1
(C) 0 (D) i返回能力·思维·方法1.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i，试求实数m的取值，使得
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限?【解题回顾】纯虚数的充要条件是“实部为零且虚部不为零”2. 设z∈C，求满足z+1/z∈R且|z-2|=2的复数z【解题回顾】对条件z+1/z∈R的不同转化可以得到不同的解题方法。 【解题回顾】本题是复数、不等式的综合题，涉及分类讨论及恒成立问题，做题过程中需 要注意等价转化，例如“当1-2a=0,即a=1/2时，3/4＞0恒成立”这种情形就很容易被忽视?返回延伸·拓展【解题回顾】 是1在集合C中 的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记 则 ，并有【解题回顾】将复数问题向实数问题转化，是一种重要的思想方法，而转化的基本依据就是复数的相等?返回误解分析1. 在假设z=x+yi进行代换时，要注意说明x,y∈R，因为，即使x,y∈C，z=x+yi还是有意义的，它仍旧表示一个复数，这一点要引起注意.返回
