I15.1复数的概念与运算
【知识点精讲】
虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－；I具有周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1（nN）.
复数的代数形式：z=a+bi（a,bR）， a叫实部，b叫虚部.掌握复数（集C）的分类： NZQRC
3.复数相等：设a,b,c,dR，则a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；
4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi和a–bi（a,bR）；
5．复数的模：，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；
6．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z1±z2=(a+bi) ±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；(a+bi)÷(c+di)= i（实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）.
复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.
【例题选讲】
例1 计算：（1）；（2）.
解：（1）；（2）.
例2 （05春季上海）已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
优化设计P222典例剖析例1，解答略。
例3设复数z=lg(m2–2m–2)+( m2+3m+2)I，试求实数m取何值时，（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限.
优化设计P222典例剖析例2，解答略。
设zC，求满足z+R且|z–2|=2的复数z.
优化设计P222典例剖析例3，解答略。
已知z1= x2+，z2=（x2+a）i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围.
优化设计P222典例剖析例4，解答略。
【课堂小结】
理解并掌握复数的有关概念；
掌握并会运用复数的运算法则.
【作业布置】
优化设计
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第十四章《复数》
一、选择题（共11题）
1．（安徽卷）复数等于
A． B． C． D．
解：故选A
2．（北京卷）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解：故选D
3．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
解析：复数=为实数，∴，选D.
4．（广东卷）若复数满足方程，则
A. B. C. D.
解析：由，故选D.
5．（江西卷）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）
A． B. C. D.
解：故选D。
6．（全国卷I）如果复数是实数，则实数
A． B． C． D．
解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B.
7．（全国II）＝
（A）i （B）－i （C） （D）－
解析: 故选A
8．(陕西卷)复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
解析: 复数=，选C．
9．（四川卷）复数的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2
解析:复数=,所以它的虚部为－2，选D.
10．（天津卷）是虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
解析:是虚数单位，，选A.
11．（浙江卷）已知
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：，由、是实数，得
∴，故选择C。
二、填空题（共4题）
12．（湖北卷）设为实数，且，则 。
解：，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
13．(上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
解：已知；
14．(上海卷)若复数满足（为虚数单位），其中则。
解析：若复数满足（为虚数单位）为纯虚数，其中，则m=2，z=3i，。
15．(重庆卷)复数的值是_________.
解析：复数=。
三．解答题（共1题）
16．（上海春） 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
解：[解法一] ，
.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
[解法二] 设
，
得
，
以下解法同[解法一].
课件16张PPT。复 数 高三备课组 一.基本知识概要： 1、虚数单位i：i2= –1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i ； i具有周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i, i4n=1（n N）. 一.基本知识概要： 2、复数的代数形式：z=a+bi（a,b R）， a叫实部，b叫虚部.掌握复数（集C）的分类： N Z Q R C 一.基本知识概要： 3、复数相等：设a,b,c,d R，则a+bi=c+di a=c,b=d；a+bi=0 a=b=0；
利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 一.基本知识概要： 4、共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi和a–bi（a,b R）； 一.基本知识概要： 5、复数的模：
，
两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 一.基本知识概要： 6、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。 一.基本知识概要： 6、复平面、实轴、虚轴：对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 。 7、掌握复数的和、差、积、商运算法则：
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；(a+bi)÷(c+di)= i
（实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）.
复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 二.例题 ： 例1 计算：
（1） ；
（2） . 二.例题 ： 例2 （05春季上海）已知z是复数，z+2i、
均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 二.例题 ： 例3 设复数z=lg(m2–2m–2)+( m2+3m+2)i，试求实数m取何值时，（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限. 二.例题 ： 例4 设z C，求满足z+ R且|z–2|=2的复数z. 二.例题 ： 例5 已知z1= x2+ ，z2=（x2+a）i对于任意x R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围. 三.课堂小结： 1、理解并掌握复数的有关概念；
2、掌握并会运用复数的运算法则. 四.作业： 优化设计
