二次函数最值问题 提升练习（含答案）
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二次函数最值问题提升练习
1．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
4．（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
5.（202九上·温州月考）如图1，抛物线与x轴交于点A(3,0)、B(-1,0),
与y轴交于点C,点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF
（1）求该抛物线所对应的函数表达式
（2）如图1，当点F的坐标为（0，-4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由.
6.（2021九上·泗水期中）如图，抛物线(a≠0)经过点A(-1,0)，C(0,-4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC.
求抛物线解析式
平行于x轴的直线y=-14与抛物线分别交于D,E，求线段DE的长.
点P是线段OB上一点（不与B,O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M,连接CM、BM,求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标。
7.（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3,0），与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上。
（1）求抛物线的表达式
（2）抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标
8.（2021九上·历下期末）如图，在平面直角坐标系XOY中，抛物线与x轴交于A,B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C,已知OA=1，OB=4OA,连接BC.
（1）求抛物线的解析式
（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，求的最小值.
9、（2021九上·兴宁期末）如图，抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,n).
求抛物线的解析式
点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点P的坐标.
点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形、如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
10、(2021九上·莱芜期末）如图，已知抛物线于x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
求抛物线的解析式
点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与C、B不重合）.过点D作DF⊥X轴于点F,过点D作DM⊥BC,垂足为M,求线段DM的最大值；
已知点P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标.
答案解析部分
1．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，
∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，
∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
2．（2022·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
令 y=0，则，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，0）
（2）解：设直线BC的解析式为，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，
∴，
∴当时，PQ最大，最大值为
（3）解：存在，点N的坐标为或（-2，1）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：存在，
根据题意得：，则，
如图，当BM=PM时，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，
，解得：，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴点N在y轴上，
∴，
综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或．
3．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
【答案】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：.
（2）解：向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4，0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4，0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）解：①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4，0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
4（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
【答案】（1）解：令 ，得 ，解得： ， ．
∵ 与x轴交于 两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
解得： ；
（2）解：当 时，抛物线为 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值4，此时点 ；
（3）解：由（1）知： 、 、 ，
设点 ，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
故 ，
同理，直线 为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
5（2021九上·温州月考）如图1，抛物线与x轴交于点A(3,0)、B(-1,0),
与y轴交于点C,点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF
（1）求该抛物线所对应的函数表达式
（2）如图1，当点F的坐标为（0，-4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）将A(3,0），B(-1,0）代入中
由题意得
解得
∴抛物线所对应的函数表达为
（2）∵P为抛物线第一象限上的动点
∴设点P坐标为
连接PO,PA
∵=)=
==6
===
∴=+
===
∵a=
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∵0＜3
∴当m=时，△AFP面积的最大值为
（3）过P点作PD⊥X轴，垂足为D
设点P坐标为
则
当△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形时，
①若∠PAF=90°
由题意得Rt△ADP≌Rt△AOF
∴PD=AO=3
∴=3
解得n=0(不合题意，舍去）或n=2
则OF=AD=OA-OD=1
且点F在y轴上
∴点F坐标为（0，-1）
②若∠APF=90°时
过点P分别向x轴，y轴作PR⊥x轴，PQ⊥y轴
易证Rt△PQF≌Rt△PRA
∴PQ=PR
则
解得（舍去）或
当n=时，P点坐标（，）
∴=
∴）
6（2021九上·泗水期中）如图，抛物线(a≠0)经过点A(-1,0)，C(0,4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC.
求抛物线解析式
平行于x轴的直线y=-14与抛物线分别交于D,E，求线段DE的长.
点P是线段OB上一点（不与B,O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M,连接CM、BM,求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标。
【答案】
将A(-1,0)，C(0,4)代入(a≠0)中
由题意得
解得
∴抛物线所对应的函数表达为
联立
由题意得
=-14
解得
∴DE=-=9
线段DE的长为9
设点P的横坐标为m
∵PM⊥x轴，交抛物线于点M
∴M点坐标为(m,)
设直线BC的解析式为
将C(0,4)，B(4,0)代入中
解得k=-1,b=4
∴y=-x+4
令PM与直线BC相交于点E
则
∴ME=（）=
∴=·EM·OB=×）×4=）
=
∵＜0
抛物线开口向下，有最大值
当m=2时，△BCM面积的最大值为2，点M(2,4)
7（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3,0），与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上。
求抛物线的表达式
抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值；
抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
8（2021九上·历下期末）如图，在平面直角坐标系XOY中，抛物线与x轴交于A,B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C,已知OA=1，OB=4OA,连接BC.
求抛物线的解析式
如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当时，求点P的坐标；
如图2，点N为线段OC上一点，求的最小值.
【答案】
已知OA=1，OB=4OA,
由题意可知A（-1，0），B(4,0)
将其代入抛物线中
∵
解得a=1，b=-3
∴
过P点作PM//y轴交BC于点M
已知点P是BC下方抛物线上一动点，
设P(m,）
由B（4，0),C（0，-4)求得BC所在直线的解析式为y=x-4
∴M(m,m-4)
∴PM=
∴×)×4=-2+4-4)=-2+8
∵
∴-2+8=8
解得m=2
此时P(2,-8)
(3）过N点向BC作垂线，垂足记为点E
∵tan∠OCB==1
∴∠OCB=45°
∴Rt△NEC为等腰直角三角形
∴=NE
当A,N，E共线时，满足具有最小值
即点A到BC的距离
∵
∴
解得=5
9（2021九上·兴宁期末）如图，抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,n).
求抛物线的解析式
点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点P的坐标.
点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形、如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
（3）存在，点D的坐标为或或或
10.(2021九上·莱芜期末）如图，已知抛物线于x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
（1）求抛物线的解析式
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与C、B不重合）.过点D作DF⊥X轴于点F,过点D作DM⊥BC,垂足为M,求线段DM的最大值；
（3）已知点P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标.
【答案】
P点坐标为 或或或
1．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
4．（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
5.（202九上·温州月考）如图1，抛物线与x轴交于点A(3,0)、B(-1,0),
与y轴交于点C,点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF
（1）求该抛物线所对应的函数表达式
（2）如图1，当点F的坐标为（0，-4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由.
6.（2021九上·泗水期中）如图，抛物线(a≠0)经过点A(-1,0)，C(0,-4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC.
求抛物线解析式
平行于x轴的直线y=-14与抛物线分别交于D,E，求线段DE的长.
点P是线段OB上一点（不与B,O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M,连接CM、BM,求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标。
7.（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3,0），与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上。
（1）求抛物线的表达式
（2）抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标
8.（2021九上·历下期末）如图，在平面直角坐标系XOY中，抛物线与x轴交于A,B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C,已知OA=1，OB=4OA,连接BC.
（1）求抛物线的解析式
（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，求的最小值.
9、（2021九上·兴宁期末）如图，抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,n).
求抛物线的解析式
点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点P的坐标.
点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形、如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
10、(2021九上·莱芜期末）如图，已知抛物线于x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
求抛物线的解析式
点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与C、B不重合）.过点D作DF⊥X轴于点F,过点D作DM⊥BC,垂足为M,求线段DM的最大值；
已知点P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标.
答案解析部分
1．（2022·日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）解：如图，
连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，
∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，
∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
2．（2022·朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
令 y=0，则，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，0）
（2）解：设直线BC的解析式为，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，
∴，
∴当时，PQ最大，最大值为
（3）解：存在，点N的坐标为或（-2，1）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：存在，
根据题意得：，则，
如图，当BM=PM时，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，
，解得：，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴点N在y轴上，
∴，
综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或．
3．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
【答案】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：.
（2）解：向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4，0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4，0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）解：①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4，0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
4（2022九上·舟山期中）已知抛物线与x轴交于两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．
（1）若，求a的值；
（2）若，过点P作直线垂直于x轴，交于点Q，求线段的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线交y轴于点M，直线交y轴于点N，求的值．
【答案】（1）解：令 ，得 ，解得： ， ．
∵ 与x轴交于 两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
解得： ；
（2）解：当 时，抛物线为 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值4，此时点 ；
（3）解：由（1）知： 、 、 ，
设点 ，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
故 ，
同理，直线 为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
5（2021九上·温州月考）如图1，抛物线与x轴交于点A(3,0)、B(-1,0),
与y轴交于点C,点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF
（1）求该抛物线所对应的函数表达式
（2）如图1，当点F的坐标为（0，-4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）将A(3,0），B(-1,0）代入中
由题意得
解得
∴抛物线所对应的函数表达为
（2）∵P为抛物线第一象限上的动点
∴设点P坐标为
连接PO,PA
∵=)=
==6
===
∴=+
===
∵a=
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∵0＜3
∴当m=时，△AFP面积的最大值为
（3）过P点作PD⊥X轴，垂足为D
设点P坐标为
则
当△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形时，
①若∠PAF=90°
由题意得Rt△ADP≌Rt△AOF
∴PD=AO=3
∴=3
解得n=0(不合题意，舍去）或n=2
则OF=AD=OA-OD=1
且点F在y轴上
∴点F坐标为（0，-1）
②若∠APF=90°时
过点P分别向x轴，y轴作PR⊥x轴，PQ⊥y轴
易证Rt△PQF≌Rt△PRA
∴PQ=PR
则
解得（舍去）或
当n=时，P点坐标（，）
∴=
∴）
6（2021九上·泗水期中）如图，抛物线(a≠0)经过点A(-1,0)，C(0,4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC.
求抛物线解析式
平行于x轴的直线y=-14与抛物线分别交于D,E，求线段DE的长.
点P是线段OB上一点（不与B,O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M,连接CM、BM,求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标。
【答案】
将A(-1,0)，C(0,4)代入(a≠0)中
由题意得
解得
∴抛物线所对应的函数表达为
联立
由题意得
=-14
解得
∴DE=-=9
线段DE的长为9
设点P的横坐标为m
∵PM⊥x轴，交抛物线于点M
∴M点坐标为(m,)
设直线BC的解析式为
将C(0,4)，B(4,0)代入中
解得k=-1,b=4
∴y=-x+4
令PM与直线BC相交于点E
则
∴ME=（）=
∴=·EM·OB=×）×4=）
=
∵＜0
抛物线开口向下，有最大值
当m=2时，△BCM面积的最大值为2，点M(2,4)
7（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3,0），与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上。
求抛物线的表达式
抛物线的对称轴上有一动点P,求△PAD周长的最小值；
抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
8（2021九上·历下期末）如图，在平面直角坐标系XOY中，抛物线与x轴交于A,B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C,已知OA=1，OB=4OA,连接BC.
求抛物线的解析式
如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当时，求点P的坐标；
如图2，点N为线段OC上一点，求的最小值.
【答案】
已知OA=1，OB=4OA,
由题意可知A（-1，0），B(4,0)
将其代入抛物线中
∵
解得a=1，b=-3
∴
过P点作PM//y轴交BC于点M
已知点P是BC下方抛物线上一动点，
设P(m,）
由B（4，0),C（0，-4)求得BC所在直线的解析式为y=x-4
∴M(m,m-4)
∴PM=
∴×)×4=-2+4-4)=-2+8
∵
∴-2+8=8
解得m=2
此时P(2,-8)
(3）过N点向BC作垂线，垂足记为点E
∵tan∠OCB==1
∴∠OCB=45°
∴Rt△NEC为等腰直角三角形
∴=NE
当A,N，E共线时，满足具有最小值
即点A到BC的距离
∵
∴
解得=5
9（2021九上·兴宁期末）如图，抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,n).
求抛物线的解析式
点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE最大时点P的坐标.
点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形、如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）
（3）存在，点D的坐标为或或或
10.(2021九上·莱芜期末）如图，已知抛物线于x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
（1）求抛物线的解析式
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与C、B不重合）.过点D作DF⊥X轴于点F,过点D作DM⊥BC,垂足为M,求线段DM的最大值；
（3）已知点P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标.
【答案】
P点坐标为 或或或