2022-2023学年河北省石家庄十七中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄十七中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共15小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
图中几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上；长为，，的三条线段能围成一个三角形，其中必然事件有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
若的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定
如图，四边形内接于，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
在一个不透明的口袋中，装有个红球，个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
如图，点，，，在上，，点是弧的中点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，是的切线，切点是，直线交于，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 平面上任意三点确定一个圆 B. 任意一个三角形一定有一个外接圆
C. 三角形的内心是它的三边中垂线的交点 D. 任意一个圆有且只有一个内接三角形
根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，使，，三点在同一直线上，则点运动的路径长为( )
A. B. C. D.
如图，是的直径，是弦不是直径，于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. ∽
如图，，，分别切于点，，若的半径为，的长为，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正，母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是．( )
A.
B.
C.
D.
在单位长度为米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为米，圆心角为的弧多次复制并首尾连接而成，现有一点从为坐标原点出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第秒时点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是______．
如图，学校操场上有一棵与地面垂直的树，数学小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成，第二次是阳光与地面成，两次测量的影长相差米，则树高为______米．
如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是______，的最小值是______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
解方程；
计算．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
由个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，画出从三个方向看所得到的视图．
若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积是______．
本小题分
邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京年冬奥会，中国邮政发行了一套展现雪上运动的纪念邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
现将四枚邮票背面朝上充分混匀，嘉琪随机从中抽出一枚，记录抽到邮票的标号后放回并再次充分混匀，再从中抽出一枚记录标号，又放回嘉琪抽取了次，结果统计如下：
标号
次数
上述试验中，嘉琪摸取到“高山滑雪”的频率是______；嘉琪下一次抽取邮票，抽到“高山滑雪”邮票的概率是______；
在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
求证：直线与相切．
若，，求的长．
本小题分
如图，已知矩形，，，是矩形边上的一点且满足，点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长的速度运动，运动时间为秒．
求点的坐标；
当时，求的值；
以为圆心，为半径的圆随点的运动而变化，当圆与四边形的边或边所在的直线相切时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图所示：几何体的主视图是：．
故选：．
找到从正面看得到的图形即可，看到的棱用实线表示；实际存在，没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．
此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
2.【答案】
【解析】解：在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故不符合题意；
抛掷枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故不符合题意；
长为，，的三条线段能围成一个三角形是必然事件，故符合题意．
故选：．
在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件；例如对于，弱队战胜强队，属于随机事件，接下来试着对其他事件进行分析判断即可．
本题考查了必然事件的定义，解决本题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】
解：点到圆心的距离为，小于的半径，
点在内．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：四边形内接于，，
．
故选C．
根据圆内接四边形对角互补解答．
本题考查了圆周角定理，知道圆内接四边形对角互补是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从中任意摸出一个球，摸到红球的概率．
故选：．
直接利用概率公式计算．
本题考查了概率公式，随机事件的概率等于随机事件的所占有的结果数除以总的结果数．
6.【答案】
【解析】解：连接，
，点是弧的中点，
．
与是同弧所对的圆心角和圆周角，
．
故选：．
连接，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理可得，然后利用切线的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，任何一个三角形都有一个外接圆，
不正确，不符合题意；B正确，符合题意；
三角形的外心是它的三边中垂线的交点，
不正确，不符合题意；
任意一个圆有无数个内接三角形，
不正确，不符合题意；
故选：．
由不在同一条直线上的三个点确定一个圆，任何一个三角形都有一个外接圆，得出不正确，B正确；三角形的外心是它的三边中垂线的交点，得出不正确；任意一个圆有无数个内接三角形，得出不正确；即可得出结果．
本题考查了三角形的外接圆与外心、三角形的内心，三角形的外心特征，熟记不在同一条直线上的三个点确定一个圆是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图的选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线，也考查了三角形的外心．
【解答】
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
由旋转得，，
，，三点在同一直线上，
，
点运动的路径是以点为圆心、半径为且圆心角为的的一段弧，
，
点运动的路径长为，
故选：．
先根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求得，再求得，则点运动的路径是以点为圆心、半径为且圆心角为的的一段弧，根据弧长公式求出这段弧的长即可得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、旋转的性质、弧长公式等知识，通过探究得到点运动的路径是以点为圆心、半径为且圆心角为的的一段弧是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是的直径，是弦不是直径，于点，
，，故A、B错误；
不是圆心角，
，故C错误；
，，
∽，故D正确．
故选：．
根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：连接，
、是的切线，
，；
由勾股定理得：，
；
、、、均为的切线，
，，
，
，
即的周长为．
故选：．
由切线的性质得出；进而证明，问题即可解决．
本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断．
13.【答案】
【解析】解：设的半径是米，
，
米，
，
，
，
的半径是米．
故选：．
设的半径是米，由垂径定理，勾股定理，列出关于的方程，即可求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．
14.【答案】
【解析】解：根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长得：
，
解得，
则展开的半个侧面的圆心角是，
如图，，
根据勾股定理得：．
答：小猫经过的最短路程是．
故选：．
根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长进行计算可求圆心角；根据两点之间，线段最短．首先要展开圆锥的半个侧面，再连接，发现是直角边是和的直角三角形的斜边，根据勾股定理计算即可求解．
此题考查平面展开中的最短路径问题，注意弄清圆锥的侧面展开图扇形中的各个量和圆锥的各个量之间的对应关系．
15.【答案】
【解析】解：的长为：，
秒，
如图，作于，与交于点．
在中，，，
，
，
，
第秒时点纵坐标为；
第秒时点纵坐标为；
第秒时点纵坐标为；
第秒时点纵坐标为；
第秒时点纵坐标为；
，
点的纵坐标以，，，四个数为一个周期依次循环，
，
故在第秒时点的纵坐标为，
故选：．
根据题意和图形，可以求得的长，然后由图可知，每走两个弧为一个循环，然后即可得到在第秒时点的纵坐标，本题得以解决．
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点纵坐标的规律：以，，，四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
16.【答案】
【解析】解：，，，
，
的外接圆的圆心在其斜边的中点处，
其外接圆的半径为．
故答案：．
首先根据勾股定理，得其斜边是，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是．
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
17.【答案】
【解析】解：如图：
由题意得：
米，，，，
是的一个外角，
，
，
米，
在中，米，
树高为米，
故答案为：．
根据题意可得：米，，，，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，，
，
是边的中点，
，
，
由折叠得，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：，．
由是边的中点，求得，根据勾股定理求得，再根据两点之间线段最短得，则，即可求得的最小值是，得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用、两点之间线段最短等知识，求出的长并且根据两点之间线段最短列不等式是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，，
方程的解为，；
．
【解析】开平方，解两个方程；
利用特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握平方根的定义和特殊角的三角函数值．
20.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积是：．
故答案为：．
直接利用三视图的画法，结合其表面积求法得出答案．
此题主要考查了三视图以及几何体的表面积，正确掌握三视图的画法是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：由图表中数据，嘉琪摸取到“高山滑雪”的频率是：，
嘉琪下一次抽取邮票，抽到“高山滑雪”邮票的概率是：；
故答案为：，；
越野滑雪、高山滑雪、冬季两项、自由滑雪分别用、、、表示，
根据题意画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，
则恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，是切点，
，
即，
，
，，
又，
，
，
又，，
≌，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：设半径为，则，在中由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
∽，
，
即，
解得．
【解析】根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得≌，进而得到即可；
根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．
本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
23.【答案】解：，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为；
如图：
当在左侧时，
，，
，
，
，
秒；
当在右侧时，
，，
，
，
，
秒；
综上所述，的值为或；
当与相切时，如图：
此时与重合，
，
秒；
当与相切时，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
秒；
当与相切时，如图，
设，则，，
，
解得，
，，
秒，
综上所述，的值为或或．
【解析】根据，，，可得是等腰直角三角形，即得点的坐标为；
分两种情况：当在左侧时，由，，得，，故秒；当在右侧时，，秒；
分三种情况：当与相切时，与重合，秒；当与相切时，由，，得是等腰直角三角形，可得，秒；当与相切时，设，有，可解得，秒．
本题考查圆的综合应用，涉及等腰直角三角形，含角的直角三角形的三边关系，圆的切线等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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