2021-2022学年黑龙江省绥化市绥棱县绥中乡学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年黑龙江省绥化市绥棱县绥中乡学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、单选题（共30分）
1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2y+5yx2＝8x2y B．2x 3x＝6x
C．（3x3）3＝9x9 D．（﹣x）3 （﹣3x）＝﹣3x4
4．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'；根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
5．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）
A．8 B．6 C．5 D．3
8．如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：
①PM＝PN；②AM＝AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM＝90°．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
10．为了让更多的人接种新冠疫苗，某药厂疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后由于原料短缺，以原速度的一半生产，结果比原计划延期3天完成任务．设五天后每天生产x万支疫苗，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共30分）
11．在疫情泛滥期间，口罩已经变成硬通货，其中，N95口罩尤其火爆，N95口罩对直径为0.0000003米（即0.3微米）的颗粒物过滤效果会大于等于95%，0.0000003用科学记数法表示为 　 　．
12．因式分解：（x﹣y）2﹣x+y＝　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，3），若在第一象限中找一点C，使得△AOC≌△OAB，则C点的坐标为 　 　．
14．若分式的值为0，则x＝　 　．
15．如果10m＝12，10n＝3，那么10m﹣n＝　 　．
16．如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是　 　度．
17．若9a2+Nab+25b2是完全平方式，则N的值为　 　．
18．将正三角形、正方形、正五边形按照如图所示的位置摆放，如果∠3＝33°，那么∠1+
∠2＝　 　．
19．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝21，则DE＝　 　．
20．观察下列各式：；；；；…，则a1+a2+a3+…+a200＝　 　．
三、解答题（共60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣3．
22．（6分）解分式方程．
23．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
24．（7分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
25．（8分）阅读材料：已知，求的值
解：由得，＝3，则有x+＝3，由此可得，＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7；
所以，．
请理解上述材料后求：已知＝a，用a的代数式表示的值．
26．（8分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，∠DBF＝∠CAE，求证：CD＝FE．
27．（8分）宇宾服装销售公司准备从广州录辰服装厂购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，公司根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少是多少件？
28．（10分）如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）∠BMC＝∠ANC；
（3）△CMN是等边三角形．
2021-2022学年黑龙江省绥化市绥棱县绥中乡学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
2．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2y+5yx2＝8x2y B．2x 3x＝6x
C．（3x3）3＝9x9 D．（﹣x）3 （﹣3x）＝﹣3x4
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：A、3x2y+5yx2＝8x2y，本选项计算正确，符合题意；
B、2x 3x＝6x2，故本选项计算错误，不符合题意；
C、（3x3）3＝27x9，故本选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣x）3 （﹣3x）＝3x4，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'；根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'C'D'，其判定的依据是（　　）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：D．
5．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把各个分式化简，只有D不能化简．
【解答】解：∵A：＝﹣，
B：＝，
C：＝﹣，
故选：D．
6．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
A、∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，AC＝BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）
A．8 B．6 C．5 D．3
【分析】过点P作PC⊥MN，垂足为C，根据垂直定义可得∠PCO＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OPC＝30°，然后在Rt△OPC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OC＝6，再利用等腰三角形的三线合一性质可得MC＝1，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥MN，垂足为C，
∴∠PCO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝90°﹣∠AOB＝30°，
∵OP＝12，
∴OC＝OP＝6，
∵PM＝PN，PC⊥MN，
∴MC＝MN＝1，
∴OM＝OC﹣MC＝6﹣1＝5，
故选：C．
8．如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：
①PM＝PN；②AM＝AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM＝90°．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由角平分线的性质可判断①；直接利用全等三角形的判定与性质定理可判断②③；利用全等三角形的性质定理可得∠APM＝∠APN，由∠PAN+∠APN＝90°，等量代换可得结果，可判断④．
【解答】解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∴PM＝PN，故①正确
在Rt△APM和Rt△APN中
，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），故③正确，
∴AM＝AN，故②正确，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠PAN+∠APM＝90°，故④正确，
终上所述：正确的有4个．
故选：A．
9．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】用代数式表示左图、右图阴影部分的面积即可．
【解答】解：左图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
右图中阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，因此面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．
由于左图与右图阴影部分的面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
10．为了让更多的人接种新冠疫苗，某药厂疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后由于原料短缺，以原速度的一半生产，结果比原计划延期3天完成任务．设五天后每天生产x万支疫苗，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设五天后每天生产x万支疫苗，则前五天每天生产2x万支疫苗，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划延期3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设五天后每天生产x万支疫苗，则前五天每天生产2x万支疫苗，
依题意得：＝﹣3，
即＝﹣3．
故选：A．
二、填空题（共30分）
11．在疫情泛滥期间，口罩已经变成硬通货，其中，N95口罩尤其火爆，N95口罩对直径为0.0000003米（即0.3微米）的颗粒物过滤效果会大于等于95%，0.0000003用科学记数法表示为 　3×10﹣7　．
【分析】根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即可求解．
【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．
故答案为：3×10﹣7．
12．因式分解：（x﹣y）2﹣x+y＝　（x﹣y）（x﹣y﹣1）　．
【分析】首先提取公因式（x﹣y），进而得出答案．
【解答】解：（x﹣y）2﹣x+y
＝（x﹣y）2﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）．
故答案为：（x﹣y）（x﹣y﹣1）．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，3），若在第一象限中找一点C，使得△AOC≌△OAB，则C点的坐标为 　（2，3）　．
【分析】由题意可知OA为两三角形的公共边，由条件可知△AOC≌△ОAB，再由全等三角形的性质可求得AC＝OB，可求得C点坐标．
【解答】解：根据题意C点在第一象限内，且△AOC≌△OAB
如图，
又已知△OAB 和△AOC有已知公共边AO，
∴C（2，3）．
故答案为：（2，3）．
14．若分式的值为0，则x＝　﹣3　．
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣3＝0，且（x﹣3）（x+2）≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|x|﹣3＝0，且（x﹣3）（x+2）≠0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
15．如果10m＝12，10n＝3，那么10m﹣n＝　4　．
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：当10m＝12，10n＝3时，
10m﹣n
＝10m÷10n
＝12÷3
＝4．
故答案为：4．
16．如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则∠BDF的度数是　144　度．
【分析】根据正五边形的性质和它的内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
17．若9a2+Nab+25b2是完全平方式，则N的值为　±30．　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定N的值．
【解答】解：∵9a2+Nab+25b2是完全平方式，
∴N＝±2×3×5，
解得m＝±30．
故答案为：±30．
18．将正三角形、正方形、正五边形按照如图所示的位置摆放，如果∠3＝33°，那么∠1+
∠2＝　69°　．
【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
【解答】解：∵∠3＝33°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣33°＝87°，
∴∠5+∠6＝180°﹣87°＝93°，
∵∠5＝180°﹣∠2﹣108°＝72°﹣∠2 ①，
∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝93°，
即∠1+∠2＝69°．
故答案为：69°．
19．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝21，则DE＝　3　．
【分析】过D作DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE，
∵S△ABC＝21，AB＝8，BC＝6，
∴×BC×DF+×AB×DE＝21，
∴×6×DE+×8×DE＝21，
∴DE＝3，
故答案为：3．
20．观察下列各式：；；；；…，则a1+a2+a3+…+a200＝　　．
【分析】直接利用已知算式得出规律，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+...+（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝×（1﹣）
＝．
故答案为：．
三、解答题（共60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
当a＝﹣3时，原式＝＝．
22．（6分）解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣x（x﹣1）＝3，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（x﹣1）＝6≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
23．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．
（1）尺规作图：在∠ACB的内部作∠ACD，使∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ACD＝∠B即可；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义得到∠ACD的度数，然后根据三角形外角性质计算∠BDC的度数．
【解答】解：（1）如图，∠ACD为所作；
（2）∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝40°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°+40°＝100°．
24．（7分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）描点、连线即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示即为所求图形．
（2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（3）．
25．（8分）阅读材料：已知，求的值
解：由得，＝3，则有x+＝3，由此可得，＝x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7；
所以，．
请理解上述材料后求：已知＝a，用a的代数式表示的值．
【分析】由＝a，可得＝，进而得到x+＝﹣1，再根据＝x2++1＝﹣2+1＝﹣1，整体代入即可得到的值．
【解答】解：由＝a，可得＝，
则有x+＝﹣1，
由此可得，＝x2++1＝﹣2+1＝﹣1＝﹣1＝，
所以，＝．
26．（8分）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，∠DBF＝∠CAE，求证：CD＝FE．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，即可利用AAS证明△AEM≌△BFM，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质得出∠BFM＝90°，再根据平角的定义得到∠BFD＝90°，进而得出∠AEC＝∠BFD，即可利用ASA证明△ACE≌△BDF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，再根据线段的和差即可得解．
【解答】（1）解：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，
在△AEM和△BFM中，
，
∴△AEM≌△BFM（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝5，
∴BF＝5；
（2）证明：∵BF∥AE，
∴∠AEC＝∠BFM，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BFM＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD，
由（1）知AE＝BF，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴CE＝DF，
∴DF﹣CF＝CE﹣CF，
即CD＝FE．
27．（8分）宇宾服装销售公司准备从广州录辰服装厂购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，公司根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少是多少件？
【分析】（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x﹣50）元，根据关键语句“用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍”可列方程求解；
（2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装（2m+4）件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润≥7160元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案．
【解答】解：（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x﹣50）元，
由题意得：＝×2，
解得：x＝200，
经检验x＝200是原分式方程的解，
则：x﹣50＝200﹣50＝150．
答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元；
（2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装（2m+4）件，由题意得：
（260﹣200）m+（190﹣150）（2m+4）≥7160，
解得：m≥50．
答：该公司本次购进甲种服装至少是50件．
28．（10分）如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）∠BMC＝∠ANC；
（3）△CMN是等边三角形．
【分析】（1）根据证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）∵∠ACB＝∠ACE＝60°，
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形．