2022-2023学年河南省南阳市卧龙区九年级（上）期中数学试卷（word，含解析）

2022-2023学年河南省南阳市卧龙区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列根式中的最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知，且a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（　　）
A． B．2 C．3 D．8
5．（3分）方程x2+x＝0的根为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1
6．（3分）如图，a∥b∥c，若AC＝5，AE＝15，DF＝12，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．都不对
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0无实数根，则整数k的最小值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
9．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“象”位于（1，﹣2），则“炮”位于点（　　）
A．（﹣4，1 ） B．（﹣3，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2 ）
10．（3分）如图，Rt△ABO的两条直角边AO，BO分别在y轴，x轴上，C，D分别是边AO，AB的中点，连接CD，已知A（0，6），B（4，0），将△ABO绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（0，1） C．（0，5） D．（﹣2，﹣3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式无意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）若，则的值为 　 　．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0有一个根为0，则a＝　 　．
14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　 　．
15．（3分）在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH．其中与⑤相似的三角形是 　 　（只填序）．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．（9分）解方程：（x+1）（x﹣1）＝2x
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次对应A′，B'，C′，且都在格点上．
（1）在图上画出位似中心P；
（2）根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比．
20．（8分）已知y≠0，且x2﹣2xy﹣3y2＝0，求的值．
21．（9分）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是40cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为5m，如图所示，已知小丽同学的身高是1.66m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是6cm，求出旗杆DE的高度．
22．（11分）某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每瓶降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该批发店决定每瓶降价x元（x＜1）．
（1）当x为多少元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？
（2）试说明该批发店每天卖出该款饮料的利润能否达到600元．
23．（11分）如图，∠ABC＝45°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）若AC⊥BC，试求的值．
2022-2023学年河南省南阳市卧龙区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列根式中的最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个进行判断即可．
【解答】解：A.符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.＝2，因此选项B不符合题意；
C.＝，因此选项C不符合题意；
D.＝|m|，因此选项D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，本选项不符合题意；
C、＝＝2，与是同类二次根式，本选项符合题意；
D、与不是同类二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
2﹣＝，故B正确，符合题意；
×＝3，故C错误，不符合题意；
÷＝＝2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）已知，且a＝1，b＝2，c＝4，那么d的值是（　　）
A． B．2 C．3 D．8
【分析】根据比例的性质即可求出d的值．
【解答】解：∵，
∴ad＝bc，
∵a＝1，b＝2，c＝4，
∴1×d＝2×4，
∴d＝8．
故选：D．
5．（3分）方程x2+x＝0的根为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1
【分析】把方程左边进行因式分解x（x+1）＝0，方程就可化为两个一元一次方程x＝0或x+1＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
故选：C．
6．（3分）如图，a∥b∥c，若AC＝5，AE＝15，DF＝12，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝5，AE＝15，
∴CE＝10，
∵DF＝12，
∴＝
解得，BD＝6，
故选：D．
7．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．都不对
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0无实数根，则整数k的最小值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0无实数根，，
∴Δ＝4﹣4（k﹣5）×2＜0，且k﹣5≠0，
解得k＞，
则k的最小整数值是6．
故选：B．
9．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（﹣1，﹣2），“象”位于（1，﹣2），则“炮”位于点（　　）
A．（﹣4，1 ） B．（﹣3，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2 ）
【分析】根据“将”和“象”的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【解答】解：由“将”和“象”的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：
则“炮”位于点（﹣4，1），
故选：A．
10．（3分）如图，Rt△ABO的两条直角边AO，BO分别在y轴，x轴上，C，D分别是边AO，AB的中点，连接CD，已知A（0，6），B（4，0），将△ABO绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（0，1） C．（0，5） D．（﹣2，﹣3）
【分析】先根据三角形中位线的性质求出D的坐标，再求出每次旋转后的坐标，找到规律，计算求解．
【解答】解：∵C，D分别是边AO，AB的中点，
∴CD＝OB＝2，
∴D（2，3），
∴将△ABO绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，D的坐标分别为（0，1），（﹣2，3），（0，5），（2，3），……，
∵2023÷4＝505……3，
∴第2023次旋转结束时，点D的坐标为（0，5），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式无意义，则x的取值范围是 　x＜﹣1　．
【分析】根据二次根式无意义的条件可得x+1＜0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x+1＜0，
解得：x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
12．（3分）若，则的值为 　　．
【分析】根据分比性质进行计算．
【解答】解：∵，
∴＝，
即＝．
故答案为：．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0有一个根为0，则a＝　﹣1　．
【分析】把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0得到a2﹣1＝0和a﹣1≠0，求出即可．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+a2﹣1＝0，
得：a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（3分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　．
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
15．（3分）在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①△ABC；②△ACD；③△ADE；④△AEF；⑤△AGH．其中与⑤相似的三角形是 　①③　（只填序）．
【分析】由∠AHG＝135°，而∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，可判断△ACD与△AGH不相似，△AEF与△AGH不相似，设网格中每个小正方形的边长为1，则AB＝1，GH＝ED＝2，由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，可知＝＝，＝＝，而∠ABC＝∠EDA＝∠AHG＝135°，可证明△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠AHG＝45°+90°＝135°，
∴与△AGH相似的三角形一定有一个钝角为135°，
∵∠ACD≠135°，∠AEF≠135°，
∴△ACD与△AGH不相似，△AEF与△AGH不相似，
设网格中每个小正方形的边长为1，则AB＝1，GH＝ED＝2，
由勾股定理得AH＝CB＝，AD＝2，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠AHG＝135°，
∴△ABC∽△AGH，
∴＝＝，∠EDA＝∠AHG＝135°，
∴△ADE∽△AGH，
故答案为：①③．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）把系数，被开方数分别相乘除即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
＝﹣；
（2）原式＝（6×÷1）
＝
＝3．
17．（8分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：x2﹣4x+4＝1+4
（x﹣2）2＝5
x＝2±
18．（9分）解方程：（x+1）（x﹣1）＝2x
【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝12，
x＝＝±，
所以x1＝+，x2＝﹣．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次对应A′，B'，C′，且都在格点上．
（1）在图上画出位似中心P；
（2）根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比．
【分析】（1）连接AA′、BB′，交于点P，即可得到结论；
（2）求出边长为1和2的正方形的对角线，得到BC与B′C′的长，求出BC与B′C′的比值，根据三角形ABC与三角形A′B′C′相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）点P的坐标为（4，5）；
∵＝＝，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4．
20．（8分）已知y≠0，且x2﹣2xy﹣3y2＝0，求的值．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
【解答】解：∵x2﹣2xy﹣3y2＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）﹣4y2＝0，
∴（x﹣y）2﹣（2y）2＝0，
∴（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）＝0，
∴（x+y）（x﹣3y）＝0，
∴x+y＝0或x﹣3y＝0，
∵y≠0，
∴＝﹣1或＝3，
即的值是﹣1或3．
21．（9分）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是40cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为5m，如图所示，已知小丽同学的身高是1.66m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是6cm，求出旗杆DE的高度．
【分析】先证明△ABC∽△EDC，得出，即，即可求出DE的长度．
【解答】解：∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，即，
解得：DE＝2000，
2000cm＝20m，
答：旗杆DE的高度为20m．
22．（11分）某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每瓶降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该批发店决定每瓶降价x元（x＜1）．
（1）当x为多少元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？
（2）试说明该批发店每天卖出该款饮料的利润能否达到600元．
【分析】（1）当每瓶降价x元时，每瓶的销售利润为（1﹣x）元，每天可售出（300+1000x）瓶，利用总利润＝每瓶的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元，利用总利润＝每瓶的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣71＜0，可得出该方程没有实数根，即该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元．
【解答】解：（1）当每瓶降价x元时，每瓶的销售利润为（1﹣x）元，每天可售出300+100×＝（300+1000x）瓶，
根据题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝400，
整理得：10x2﹣7x+1＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.5．
答：当x为0.2元或0.5元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元．
（2）该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元，理由如下：
根据题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝600，
整理得：10x2﹣7x+3＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×10×3＝﹣71＜0，
∴该方程没有实数根，
即该批发店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元．
23．（11分）如图，∠ABC＝45°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△CPB∽△BPA；
（2）若AC⊥BC，试求的值．
【分析】（1）由三角形内角和定理得出∠ABP+∠BAP＝45°，由∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，推出∠BAP＝∠CBP，即可得出结论；
（2）由AC⊥BC，∠MBN＝45°，得出△ACB是等腰直角三角形，则AB＝BC，由△CPB∽△BPA，得出＝＝＝＝，设PC＝a，则BP＝a，AP＝2a，求出∠APC＝90°，由勾股定理得出AC＝＝＝a，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵∠BPA＝135°，
∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，
∵∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝45°，
∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，
∴∠BAP＝∠CBP，
∵∠BPA＝∠BPC，
∴△CPB∽△BPA；
（2）解：∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵△CPB∽△BPA，
∴＝＝＝＝，
设PC＝a，
则BP＝a，AP＝2a，
∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴AC＝＝＝a，
∴＝＝．