第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（含答案）

第三章 圆锥曲线的方程单元检测
一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线：的两条渐近线夹角（锐角）为，则
A． B． C． D．
6．已知椭圆：，直线过的一个焦点，则的离心率为
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．或
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、多选题
9．方程所表示的曲线可能是（ ）．
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
12．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形 B．
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
三、填空题
13．F1，F2是双曲线的两个焦点，若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离是_____________
14．已知点在焦点为、的椭圆上，则______．
15．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为 ______．
16．已知抛物线的焦点为，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，则__________.
四、解答题
17．已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
求双曲线的方程；
以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.
18．已知直线与抛物线交于两点.
（1）若，求的值
（2）若，求的值
19．已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点．
（1）当时，求弦长；
（2）当时，求的面积．
20．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线经过点与椭圆相交于、两点，与抛物线相交于、两点.求的最大值.
21．在平面直角坐标系中，
①已知点，直线：，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为．②已知点，是圆：上一个动点，线段的垂直平分线交于．③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足．
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹的方程；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（2）点，若直线：交于，两点，求的面积．
22．已知椭圆的左 右焦点分别为，，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于A，两点，过点A作直线的垂线，垂足为，求证：直线过定点.
答案
1．C
2．C
3．C
4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
9．ACD
10．ACD
11．ACD
12．ACD
13．13
14．8
15．
16．
17．由已知椭圆
得双曲线的焦点为，即，
由等轴双曲线的性质及，
则
所求双曲线的方程为
当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为，
故此时不满足题意;
当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，
联立方程组得
①
点在所在的直线上，即 ②.
联立①②两式，解得，
经检验，直线方程即为所求.
18.设
（1）
，解得：
由韦达定理得
∴
代入解得
（2）∵ ∴
∴
由（1）知
∴
∴或
经检验，时不符合题意，∴.
19．（1）因为，所以直线的方程为．
设，，联立整理得，
则，，从而，
故弦长．
（2）因为为椭圆的右焦点，所以，
所以点到直线的距离．联立，
则，，从而，，
故弦长．
故的面积．
20（1）由抛物线方程为，得其焦点，
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，.
故①
又椭圆经过点②
由①②消去并整理，得，，解得：，或（舍去），
从而.故椭圆的方程为.
（2）当直线垂直于轴时，
则.
当直线与轴不垂直，设其斜率为，则直线的方程为：.
联立，得：.
.
∴方程有两个不等的实数根.设.
则.
所以，
.
由，得，.
，∴方程有两个不等的实数根.设.
，
由抛物线的定义，得.
.
综上，当直线垂直于轴时，取得最大值.
21.（1）若选①，设，根据题意得，，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
若选②，由得 ，
由题意得，
所以，
所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，
且，故
所以动点P的轨迹C的方程为；
若选③，设，故
因为，所以即，
将其代入得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）由 得，
解得，
设，由弦长公式得
，
又点到直线的距离
，
所以的面积为.
22．22.（1）解：由椭圆定义知：，
所以，又，则，
所以椭圆方程为.
（2）证明：当直线不与x轴平行时，
设直线的方程为，，，，
由消去，整理得：，
所以①，②，
又，所以直线BN的方程为，
即③，
又，
所以④，
将① ②式代入④式化简得：⑤，
⑤代入③化简得直线的方程为，
故直线过定点.
当直线平行x轴时，交点A，为长轴两个端点，则直线BN为x轴，经过点.
综上：直线过定点.