数学人教A版（2019）必修第二册6.2.1向量的加法运算（共31张ppt）

(共31张PPT)
6.2.1向量的加法运算
第 6章平面向量及其应用
人教A版2019必修第二册
学习目标
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法、减法运算及其运算规律
2.理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？
什么叫零向量和单位向量？
向量：既有方向又有大小的量.
平行向量：方向相同或相反的向量.
相等向量：方向相同并且长度相等的向量
向量的大小：有向线段的长度.
向量的方向：有向线段的方向.
零向量：长度为零的向量叫零向量；
复习回顾
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量.
　　我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．向量是否能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用．
创设情境
位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．
下面先学习向量的加法．
A
B
C
位移的合成可以看作向量的加法
位移 可以看作位移 与 的合成
问题1 我们先来看一个与位移有关的问题．如图，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？
探究新知
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
三角形法则：
首尾依次相连，
起点指向终点
向量加法的多边形法则：
所有向量首尾依次相连，
第一个向量的起点指向
最后一个向量的终点
总结规律
问题2 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
B
O
A
a
b
C
a+b
向量加法的平行四边形法则
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为起点的向量 (OC是□OACB的对角线)，就是向量a与b的和．
O
作法：
起点相同，作平行四边形
同一起点，其对角线为和
向量加法的平行四边形法则
a + b
b
b
a
b
a
三角形法则:
平行四边形法则:
A
C
B
a + b
B
O
A
C
a + b
b
首尾相接首尾连
起点相同连对角
一致. 平行四边形法则中利用了相等向量的平移.
思考：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
对于零向量与任一向量　．我们规定
a
注：向量的加法运算结果还是向量
例1、如图，已知向量 ，求做向量 。
三角形法则
作法1：在平面内任取一点O，
作法2：在平面内任取一点O，
以OA、OB为邻边做□OACB，
平行四边形法则
例1、如图，已知向量 ，求做向量 。
A
B
C
(1) 同向
(2)反向
A
B
C
探究1：如果向量 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量 吗？
1.不共线
O·
A
B
探究2：结合例1，探索 的关系。
2.共线
(1)同向
(2)反向
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a,b方向相同时等号成立.
探究3 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．
向量加法的运算律
交换律:
结合律:
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图
所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。
A
D
B
C
答：船实际航行速度约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角约为68 。
A
D
B
C
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。
课堂练习
(1)
(2)
(3)
(4)
规律总结：n个首尾相接的向量相加，
其和向量为首向量的起点指向末向量的终点.
4、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.
A
B
C
D
P
×
√
×
随堂检测
A
北
1.如图所示，为了调运急需物资，一艘船从江的南岸点A出发，以 km/h 的速度垂直于对岸的方向航行，同时江水的速度为5km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示).
船实际航行速度的大小约为10km/h，方向与江水速度间的夹角约为60 .
D
C
A
B
探索规律：
规律总结：n个首尾相接的向量相加，其和向量是
首向量的起点指向末向量的终点(三角形法则的推广)
1
结合律
交换律
4、河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 ，求小船的实际航行速度.
∴小船的实际航行速度为20km/h，沿北偏东30°的方向航行.
解：设 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作
5、在四边形ABCD中， ，则
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
D
解析：由 知，A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
6、如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则 等于( )
B
7、已知向量 表示“向东航行3km”， 表示“向南航行3km”，则
表示_______________________.
向东南航行
解析：根据题意由于向量 表示“向东航行3km”，向量 表示“向南航行3km”，那么可知 表示向东南航行
三角形法则
向量加法实际应用
向量的加法运算
平行四边形法则
三角形法则
向量加法的运算律
课堂小结