广东省清远市四校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·清远期中）已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
由题得直线的斜率为，
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.
2．（2022高二上·清远期中）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】
，
，
，又与有公共点A，
三点共线.
故答案为：D
【分析】利用向量共线去证明三点共线即可解决.
3．（2022高二上·清远期中）在平行六面体中，M为与的交点，若，，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】如图：
根据空间向量的线性运算可知
；
故答案为：C.
【分析】以为基底，计算出.
4．（2022高二上·清远期中）圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由已知可得，圆心到轴的距离，
因为轴与圆相切，所以.
所以，圆的方程为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可求出，即可得到圆的方程.
5．（2022高二上·清远期中）已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由于，所以，则.，解得.
故答案为：C.
【分析】根据，转化为直线方向向量的关系列方程，化简求得.
6．（2022高二上·清远期中）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项， ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面，
故答案为：B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
7．（2022高二上·清远期中）已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1或3 B．4 C．0 D．2
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】因为圆C1：，圆C2：，
所以圆心距，
而两圆半径之和，故两个圆相离，
则这两个圆的公切线有4条.
故答案为：B
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切线的条数.
8．（2022高二上·清远期中）方程表示的曲线是（ ）
A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】方程可化为，
因为，
所以或，
若时，则方程为；
若时，则方程为，
故答案为：D
【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可.
9．（2022高二上·清远期中）在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（ ）
A．的长为
B．直线与AC所成角的余弦值
C．的长为
D．直线与BC所成角的余弦值
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A，，
，
所以，A不符合题意；
对于B，由题意可知：，，
所以，
，
所以，B不符合题意；
对于C，，，
，
所以，C符合题意；
对于D，由B的分析可知：，由题意可知：，
，
所以，D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.
二、多选题
10．（2022高二上·清远期中）已知直线，则（ ）
A．倾斜角为 B．恒过点
C．直线的方向向量为 D．在x轴上的截距为2
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；恒过定点的直线；直线的方向向量
【解析】【解答】由可得，
即直线斜率，所以倾斜角为，A不符合题意；
点代入直线方程，成立，B符合题意；
因为直线斜率，而与原点连线斜率也是，与直线平行，所以是直线的一个方向向量，C符合题意；
令，可得，即在x轴上的截距为，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A，点的坐标代入直线方程可判断B，根据直线斜率判断C，求出直线在轴上截距判断D.
11．（2022高二上·清远期中）(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A．和AC垂直 B．和AA1垂直
C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直
【答案】A,C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，
∴＝0，＝0，，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.
故答案为：AC．
【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，证明＝0，＝0，，即得解.
12．（2022高二上·清远期中）已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆心C到直线l的最大距离是.
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，A符合题意；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，C符合题意；
对于B，设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离的最大值，，圆心C到直线l的最大距离为，B符合题意；
对于D， 时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】首先，改写直线方程形式，判断定点，即可判断AC；当圆内定点为弦的中点时，此时弦长最短，圆心到直线的距离最大；D.利用弦长公式求解.
三、填空题
13．（2022高二上·清远期中）已知空间中非零向量，且，，，则
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可得，
故，
故答案为：.
【分析】将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.
14．（2022高二上·清远期中）半径为，且与直线相切于的圆的标准方程为
【答案】或
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心，圆的半径为，且与直线切与点，圆心与切点的连线所在直线
必然垂直直线，得，
解得或，即圆的标准方程为或，
故答案为：或
【分析】设出圆心坐标，利用两点之间的距离等于半径和两直线垂直斜率乘积为，组成方程组求出圆心坐标即可求出圆的标准方程.
15．（2022高二上·清远期中）若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是
【答案】30－10
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】把圆的方程化为标准方程得：，
则圆心A坐标为，圆的半径，
设圆上一点的坐标为，原点坐标为，
则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，
根据图象可知圆心到原点距离的最小值为圆的半径减去圆心到原点的距离，
求得，
，
则的最小值为，
故答案为：.
【分析】把圆的方程化为标准方程得：，则圆心A坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去圆心到原点的距离，然后平方即为的最小值.
16．（2022高二上·清远期中）已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】根据题意画出圆，以及点B（6，2）的图像如图，
作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，
为点（0，2）到点（6，-2）的距离减圆的半径，
即，
故答案为：．
【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解.
四、解答题
17．（2022高二上·清远期中）已知的三个顶点， 求边所在直线的方程，以及这条边上的垂直平分线所在直线的方程.
【答案】解：法一：由已知，过的直线的两点式方程为，
整理得，即为边所在直线的方程；
法二：由题可知，又由点斜式有，
整理得，即为边所在直线的方程；
由题知，设边的垂直平分线为，
则，可得，
由中点坐标公式，可得中点，即，
又由点斜式有得，整理可得，
即边的垂直平分线所在直线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】利用直线的两点式即得直线的方程，或先求直线的斜率然后利用点斜式即得；利用直线的垂直关系可得垂直平分线的斜率，再利用点斜式结合中点坐标公式即得方程.
18．（2022高二下·成都期中）已知空间三点，，.
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若A，B，C，D四点共面，求的值
【答案】（1）解：由已知，得：
，，
∴，
∴
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
（2）解：由，得：
∵A，B，C，D四点共面
∴存在实数，，使得
∴，即得：
解得：，，∴
【知识点】平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角；共面向量定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求向量夹角公式，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦值，再利用平行四边形的面积公式，进而得出以AB，AC为邻边的平行四边形的面积。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示和四点共面的判断方法，进而得出存在实数，，使得，再利用向量的坐标运算和向量相等的等价关系，进而得出实数x的值。
19．（2022高二上·清远期中）已知曲线C： .
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：与圆C相切，求m的值
【答案】（1）解：由C：，得 ，
由 时，得，∴当时，曲线C表示圆；
（2）解：圆C的圆心坐标为 ，半径为.
∵直线l：与圆C相切，直线l的一般式方程为，
∴，解得： ，满足，
∴.
【知识点】圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）将配方，根据方程表示圆，即可求得答案；
（2）根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得答案.
20．（2022高二上·清远期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，=
（1）求证：；
（2）求点A到平面PBE的距离．
【答案】（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
又∵平面ABCD，∴；
（2）解：在平面ABCD内，过点作AD的垂线EF，交BC于F，
由平面PAD，平面，可得平面PAD平面
又平面PAD平面，平面，
则平面PAD，又，则两两垂直
则以为原点，分别以EP，EA，EF所在的直线为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系，如图
因为，
则，，，
则，，
设平面PBE的一个法向量为，
，取，则，故
设点A到平面PBE的距离为h，则h=，
∴点A到平面PBE的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面垂直性质定理去证明；
（2） 以为原点，分别以EP，EA，EF所在的直线为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系，利用向量的方法去求点A到平面PBE的距离．
21．（2017高二上·汕头月考）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．
（2）解：设M ；N ，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分别计算出过点A与圆C相切的直线的斜率，则所求直线斜率介于这两个斜率之间，即可得出答案。（2）设出点M，N的坐标，设出直线方程，代入圆C的方程中，用k表示，将M，N的坐标代入题目所给的向量等式中，计算出k值，发现直线过圆心，即可得出答案。
22．（2022高二上·清远期中）如图，在棱长为a的正方体中，分别是棱上的动点，且.
（1）求证： ；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值.
【答案】（1）证明：不妨设 ，以C为原点， 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系.
则 ，
， ， ，
则 ，
，故.
（2）解：由（1）知，而 ，
故当取到最大值时，三棱锥的体积取得最大值，
，
当 时，有最大值，即三棱锥的体积取得最大值，
取 为平面的法向量，
，，
设为平面EFB’的法向量，则 ，
即，令，则，所以，
令平面与平面的夹角为，
则，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）不妨设 ， 以C为原点， 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系，求的相关点坐标，求出向量 ， ，计算二者的数量积，即可证明结论；
（2）确定三棱锥的体积取得最大值时m的值，求出平面的法向量， 平面EFB’的法向量 ，根据向量的夹角公式即可求得答案.
1 / 1广东省清远市四校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·清远期中）已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·清远期中）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·清远期中）在平行六面体中，M为与的交点，若，，则与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·清远期中）圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二上·清远期中）已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2022高二上·清远期中）在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高二上·清远期中）已知圆C1：和圆C2：，则这两个圆的公切线的条数为（ ）
A．1或3 B．4 C．0 D．2
8．（2022高二上·清远期中）方程表示的曲线是（ ）
A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆
9．（2022高二上·清远期中）在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.则（ ）
A．的长为
B．直线与AC所成角的余弦值
C．的长为
D．直线与BC所成角的余弦值
二、多选题
10．（2022高二上·清远期中）已知直线，则（ ）
A．倾斜角为 B．恒过点
C．直线的方向向量为 D．在x轴上的截距为2
11．（2022高二上·清远期中）(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A．和AC垂直 B．和AA1垂直
C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直
12．（2022高二上·清远期中）已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆心C到直线l的最大距离是.
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
三、填空题
13．（2022高二上·清远期中）已知空间中非零向量，且，，，则
14．（2022高二上·清远期中）半径为，且与直线相切于的圆的标准方程为
15．（2022高二上·清远期中）若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是
16．（2022高二上·清远期中）已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·清远期中）已知的三个顶点， 求边所在直线的方程，以及这条边上的垂直平分线所在直线的方程.
18．（2022高二下·成都期中）已知空间三点，，.
（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若A，B，C，D四点共面，求的值
19．（2022高二上·清远期中）已知曲线C： .
（1）当m为何值时，曲线C表示圆？
（2）若直线l：与圆C相切，求m的值
20．（2022高二上·清远期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，=
（1）求证：；
（2）求点A到平面PBE的距离．
21．（2017高二上·汕头月考）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
22．（2022高二上·清远期中）如图，在棱长为a的正方体中，分别是棱上的动点，且.
（1）求证： ；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
由题得直线的斜率为，
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】
，
，
，又与有公共点A，
三点共线.
故答案为：D
【分析】利用向量共线去证明三点共线即可解决.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】如图：
根据空间向量的线性运算可知
；
故答案为：C.
【分析】以为基底，计算出.
4．【答案】A
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由已知可得，圆心到轴的距离，
因为轴与圆相切，所以.
所以，圆的方程为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可求出，即可得到圆的方程.
5．【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由于，所以，则.，解得.
故答案为：C.
【分析】根据，转化为直线方向向量的关系列方程，化简求得.
6．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，，由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项， ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面，
故答案为：B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】因为圆C1：，圆C2：，
所以圆心距，
而两圆半径之和，故两个圆相离，
则这两个圆的公切线有4条.
故答案为：B
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程，求出圆心距，由半径之和小于圆心距知两圆相离，即可判断公切线的条数.
8．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】方程可化为，
因为，
所以或，
若时，则方程为；
若时，则方程为，
故答案为：D
【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可.
9．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】对于A，，
，
所以，A不符合题意；
对于B，由题意可知：，，
所以，
，
所以，B不符合题意；
对于C，，，
，
所以，C符合题意；
对于D，由B的分析可知：，由题意可知：，
，
所以，D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用空间向量的运算逐项进行计算即可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；恒过定点的直线；直线的方向向量
【解析】【解答】由可得，
即直线斜率，所以倾斜角为，A不符合题意；
点代入直线方程，成立，B符合题意；
因为直线斜率，而与原点连线斜率也是，与直线平行，所以是直线的一个方向向量，C符合题意；
令，可得，即在x轴上的截距为，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A，点的坐标代入直线方程可判断B，根据直线斜率判断C，求出直线在轴上截距判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，
∴＝0，＝0，，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.
故答案为：AC．
【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，证明＝0，＝0，，即得解.
12．【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，A符合题意；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，C符合题意；
对于B，设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离的最大值，，圆心C到直线l的最大距离为，B符合题意；
对于D， 时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】首先，改写直线方程形式，判断定点，即可判断AC；当圆内定点为弦的中点时，此时弦长最短，圆心到直线的距离最大；D.利用弦长公式求解.
13．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可得，
故，
故答案为：.
【分析】将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.
14．【答案】或
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心，圆的半径为，且与直线切与点，圆心与切点的连线所在直线
必然垂直直线，得，
解得或，即圆的标准方程为或，
故答案为：或
【分析】设出圆心坐标，利用两点之间的距离等于半径和两直线垂直斜率乘积为，组成方程组求出圆心坐标即可求出圆的标准方程.
15．【答案】30－10
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】把圆的方程化为标准方程得：，
则圆心A坐标为，圆的半径，
设圆上一点的坐标为，原点坐标为，
则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，
根据图象可知圆心到原点距离的最小值为圆的半径减去圆心到原点的距离，
求得，
，
则的最小值为，
故答案为：.
【分析】把圆的方程化为标准方程得：，则圆心A坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去圆心到原点的距离，然后平方即为的最小值.
16．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】根据题意画出圆，以及点B（6，2）的图像如图，
作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，
为点（0，2）到点（6，-2）的距离减圆的半径，
即，
故答案为：．
【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解.
17．【答案】解：法一：由已知，过的直线的两点式方程为，
整理得，即为边所在直线的方程；
法二：由题可知，又由点斜式有，
整理得，即为边所在直线的方程；
由题知，设边的垂直平分线为，
则，可得，
由中点坐标公式，可得中点，即，
又由点斜式有得，整理可得，
即边的垂直平分线所在直线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】利用直线的两点式即得直线的方程，或先求直线的斜率然后利用点斜式即得；利用直线的垂直关系可得垂直平分线的斜率，再利用点斜式结合中点坐标公式即得方程.
18．【答案】（1）解：由已知，得：
，，
∴，
∴
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
（2）解：由，得：
∵A，B，C，D四点共面
∴存在实数，，使得
∴，即得：
解得：，，∴
【知识点】平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角；共面向量定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示和数量积求向量夹角公式，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正弦值，再利用平行四边形的面积公式，进而得出以AB，AC为邻边的平行四边形的面积。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示和四点共面的判断方法，进而得出存在实数，，使得，再利用向量的坐标运算和向量相等的等价关系，进而得出实数x的值。
19．【答案】（1）解：由C：，得 ，
由 时，得，∴当时，曲线C表示圆；
（2）解：圆C的圆心坐标为 ，半径为.
∵直线l：与圆C相切，直线l的一般式方程为，
∴，解得： ，满足，
∴.
【知识点】圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）将配方，根据方程表示圆，即可求得答案；
（2）根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得答案.
20．【答案】（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
又∵平面ABCD，∴；
（2）解：在平面ABCD内，过点作AD的垂线EF，交BC于F，
由平面PAD，平面，可得平面PAD平面
又平面PAD平面，平面，
则平面PAD，又，则两两垂直
则以为原点，分别以EP，EA，EF所在的直线为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系，如图
因为，
则，，，
则，，
设平面PBE的一个法向量为，
，取，则，故
设点A到平面PBE的距离为h，则h=，
∴点A到平面PBE的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面垂直性质定理去证明；
（2） 以为原点，分别以EP，EA，EF所在的直线为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系，利用向量的方法去求点A到平面PBE的距离．
21．【答案】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．
（2）解：设M ；N ，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）分别计算出过点A与圆C相切的直线的斜率，则所求直线斜率介于这两个斜率之间，即可得出答案。（2）设出点M，N的坐标，设出直线方程，代入圆C的方程中，用k表示，将M，N的坐标代入题目所给的向量等式中，计算出k值，发现直线过圆心，即可得出答案。
22．【答案】（1）证明：不妨设 ，以C为原点， 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系.
则 ，
， ， ，
则 ，
，故.
（2）解：由（1）知，而 ，
故当取到最大值时，三棱锥的体积取得最大值，
，
当 时，有最大值，即三棱锥的体积取得最大值，
取 为平面的法向量，
，，
设为平面EFB’的法向量，则 ，
即，令，则，所以，
令平面与平面的夹角为，
则，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）不妨设 ， 以C为原点， 为单位正交基底建立如图空间直角坐标系，求的相关点坐标，求出向量 ， ，计算二者的数量积，即可证明结论；
（2）确定三棱锥的体积取得最大值时m的值，求出平面的法向量， 平面EFB’的法向量 ，根据向量的夹角公式即可求得答案.
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