第三单元----一元一次方程与二元一次方程

第三单元 方 程
第1讲 一元一次方程
考点1：方程的概念及等式的性质
⒈方程：含有未知数的等式叫做方程。
⒉要判断某式是否是方程，要抓住两点：⑴是否是等式；⑵是否含有未知数。
⒊方程的解的判断：要判断一个数（或一组数）是不是某一方程的解，应看两点⑴其是否是未知数的值；⑵将其分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它是方程的解；若左边不等于右边，则它不是方程的解。
⒋方程的解的应用：将方程的解代入原方程，方程的左边等于右边。利用该点可帮助我们求方程中的某些字母系数的值。
⒌只含有一个未知数，并且未知数的指数为1(次)，系数不为0的方程就叫做一元一次方程，对于一元一次方程，要抓住“一元”和“一次”两个关键元素，一元一次方程的一般式：ax+b=0(a,b为常数，且a≠0)
⒍等式的基本性质及其应用：等式的性质是解方程的主要依据，只有正确理解和掌握了该性质，才能为解方程做好准备，⑴等式的两边同时加上或减去同一个代数式所得结果仍是等式，⑵等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。
解方程就是等式性质的总体应用。首先利用等式的性质1将方程ax+b=0(a变形为ax=-b,然后再运用等式的性质2由ax=-b变为x=-.运用等式性质时，必须注意：⑴“两同”，即“同时”和“同一个”。等式性质的适用范围是等式，如代数式等一切非等式的式子不能应用，如x+1＞5的两边乘以-2得-2x-2＞-10是不成立的。
【例1】用适当的数或代数式填空，使所得的结果仍是等式，并说明变形的依据。⑴若3x+5=8,则3x=8-( )；
⑵若-2a=,则a=( ).
考点2：一元一次方程的解法
【例3】方程2x-6=0的解为＿
【例4】解方程。
考点3：一元一次方程与代数式求值等知识的综合
【例5】方程3x+6=0的解的相反数是￣＿。
考点4：一元一次方程的实际应用
⒈列方程解决实际问题的一般步骤：
⑴审：审题，分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系，要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；⑵设：设未知数，一般求什么，就设什么，如由几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，有时直接设不容易的话，可采用间接设；⑶列：根据相等关系列出方程；⑷解：选择合适的解法解所列出的方程，求出未知数的值；⑸验：检验所求得的解是否符合题意；⑹答：写出答案。
⒉列方程解决实际问题时列出方程的三种常用方法：⑴等量分析法：找出题中的相等关系，分析相等关系的左、右两边；⑵图示法：根据题意，画出示意图，利用图形分析量之间的关系；⑶列表法：将题目中的数量列在表格中，从而分析列出方程。
【例6】某工厂计划招聘A、B两个工种的工人共120人，A、B两个工种的工人月工资分别为800元和1000元。
⑴若某工厂每月支付的工人工资为110000元，那么A、B两个工种的工人各招聘多少人？设招聘A工种的工人x人，根据题设完成下列表格，并列方程求解。
⑵若要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种的工人多少人时，可使工厂每月支付的工人工资最少？
答：⑴A、B两工种工人分别招聘50人和70人。
⑵当招聘A工种的工人40人时，工厂每月支付的工人工资最少。
【例7】一个长方体水箱从里面量长、宽、高分别为40cm、30cm和30cm，箱中水面高10cm,放进一个棱长为20cm的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？
答：放入铁块后，水面高15cm。
第2讲 二元一次方程组
考点⒈二元一次方程（组）及其相关概念
⒈二元一次方程：⑴概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。⑵特征：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数为1；③是整式方程。⑶一般形式：ax+by+c=0(.
⒉二元一次方程的解：⑴概念：适合一个一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。⑵特点：二元一次方程的每个节都包括两个未知数的值，是一对数值，而不是一个数值。
⒊二元一次方程组：⑴概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。⑵注意事项：方程组中的各方程中，相同字母必须代表同一数量；二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起构成，如也叫做二元一次方程组；二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
⒋二元一次方程组的解：⑴概念：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。⑵方程组的解满足方程中的每一个方程，且要用大括号“{”表示，如方程组的解为.⑶方程组的解的检验：检验一组数是否是某个二元一次方程组的解，可将这组数据分别代入方程组中的每个方程，若这组数据满足其中的所有方程，那么这组数值就是原方程组的解；若这组数值不满足其中的某个或任何一个方程，那么这组数值就不是原方程组的解。
【例1】 若方程组的解是，那么|a-b|=＿＿
解：1
【例2】 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A.1/5x2+y=28 B.4xy=7 C.4x-2y=-2y+1 D.x-1=y
解：D
考点2：二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思路是消元，把多元方程组转化成一元方程，通常解法有代入消元法和加减消元法。
1.代入消元法的一般步骤是：⑴变：选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay+b的形式；⑵代：将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变为一元一次方程；⑶解：解这个一元一次方程，求出x或y的值；⑷再代：将已求出的x祸y的值代入方程组中任一个方程，求出另一个未知数；⑸联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。
⒉加减消元法解二元一次方程组的一般步骤为：
⑴在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可以直接相减（或相加），消去一个未知数；⑵在二元一次方程组中，若不存在⑴中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数得到一个一元一次方程；⑶解这个一元一次方程；⑷将求去的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程，求出另一个未知数；⑸用“”联立了个未知数的值，就是二元一次方程组的解。
【例3】用代入消元法界方程组：
⑴ ⑵【例4】用代入消元法解方程组：
答：
考点3:二元一次方程与一次函数的综合
⒈二元一次方程与一次函数的区别和联系：⑴区别：二元一次方程有两个未知数，一次函数有两个变量；二元一次方程是用一个等式来表示两个未知数之间的关系，而一次函数是一个等式或用列表或图像来表示两个变量之间的关系。⑵联系：以二元一次方程的解为坐标，在直角坐标系中分别描出相应的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；在一次函数的图象上任取一个点，它的坐标都适合相应的二元一次方程，即是方程的解。
⒉在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是先应的两个一次函数的交点。
⒊利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解的步骤：⑴将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式的形式；⑵在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；⑶确定两个图象的交点坐标，即可得到二元一次方程组的解，在画图象时，要注意准确，这是得到更准确“近似解”的基础。
⒋用待定系数法求一次函数的表达式时，往往需要列关于狂系数的二元一次方程组来求解。
【例5】在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货返回。设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示。
根据图象信息，解答下列各题：
⑴这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
⑵求返程中y与x之间的函数表达式；
⑶求着辆汽车从甲地出发4h时与的距离。
【例6】已知直线y=kx+b经过两点A（1,2），B（2，-2），求直线的表达式。
答：直线的表达式为y=-4x+6.
考点4：二元一次方程组的综合应用
【例7】若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为＿。
答：k=
考点5：列二元一次方程组解决实际问题
列二元一次方程组解决实际的一般步骤与列一元一次方程的步骤类似，其步骤为：⑴审：审题，分析题目中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；⑵找：找出能够表达实际问题全部含义的两个相等关系；⑶设：设出两个未知数；⑷列：感觉相等关系列出方程组；⑸解：解这个方程组，求出未知数的值；⑹验：检验所求得的解是否符合题意，符合题意的即为实际问题的解；⑺答：写出答案（包括单位名称）。
【例8】某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动，下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元。”
小芳：“我们学校八年级师生在中国客运公司租了4辆60座和2辆45座客车到韶山参观，一天的租金共计5000元”
小明：“我们九年级师租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”
共计以上对话，解答下列问题：
⑴平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
⑵按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
答：⑴60座的租金900元45座的租金700元
⑵共需租金5200元
【例9】某车间有100人，每人每分钟可以生产螺栓16个或螺母18个，如果一个螺栓配两个螺母，试问应怎样分配人力，才能使1分钟生产的螺栓与螺母恰好配套？
答：应分配36人生产螺栓，64人生产螺母才能使1分钟生产的螺栓与螺母恰好配套。
第二讲 实弹演习
一、选择题
1.二元一次方程x-2y=1有无数个解，下列四组值中不是该方程的解的是 （ ）
A. B. C.
2.已知,是二元一次方程组的解，则a-b的值为（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
3.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需要更换的新型节能灯有 （ ）
A.54盏 B.55盏 C.56盏 D.57盏
4.甲仓库与乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨.若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（ ）
A. B.
C.
二、填空题
5.方程组的解是＿＿＿
6.一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原价
的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫
的原销售价为＿＿＿元
7.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。 甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了＿＿＿＿朵.
三、解答题
⒈已知 是关于x,y的二元一次方程的解，求
(a+1)(a-1)+7的值.
2.学校组织各班开展“阳光体育”活动.某班体育委员第一次到商店
购买了5个毽子和8根跳绳，花费34元；第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳个多少元.