苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《4.2.3等差数列的前n项和》学案 (含答案)

§4.2.3 等差数列的前n项和
目标要求
1、借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．
2、借助教材掌握的关系．
3、掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．
4、能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：等差数列的前n项和公式、性质及其应用；
难点：利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝_____________ Sn＝_________________
在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
【课前预习思考】
　求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝____n2＋________n.
【课前预习思考】
　等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列选项错误的是 ( )
A.公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．
B.数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．
C.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．
D.在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1.
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝ (　　 )
A．－20 B．－40 C．－60 D．－80
题3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝ (　 　)
A.85 B．170 C．75 D．150
题4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________．
【课堂题组训练】
类型一　等差数列前n项和的计算(数学运算)
题5．已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12.
题6．已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d.
题7．已知a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.
题8.等差数列的前n项和为Sn，若a14＝－8，S9＝－9，则S18＝(　 　)
A.－162　　　 B．－1　　　 C．3　　　 D．－81
题9．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于________．
题10．(1)已知a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
类型二　等差数列前n项和的性质(数学运算)
题11.在等差数列{an}中．
(1)若a4＝2，求S7；
(2)若S5＝3，S10＝7，求S15；
(3)若S10＝100，S100＝10，求S110.
题12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝ (　　 )
A．18 B．17 C．16 D．15
题13．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
题14．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则的值为__________．
类型三　等差数列前n项和的应用(数学运算)
角度1　等差数列前n项和的最值　
题15.在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
题16. 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝125.则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
角度2　等差数列前n项和的实际应用　
题17.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
题18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
题19．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于________．(盈利额＝总收入－总成本)
题20．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
【课堂检测达标】
题21．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　 　)
A．－n2＋　　 B．－n2－ C．n2＋　　　 D．n2－
题22．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 (　 　)
A．12 B．13 C．14 D．15
题23．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为 (　 　)
A．765 B．763 C．665 D．663
题24．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
题25．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________．
§4.2.3 等差数列的前n项和答案
目标要求
1、借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．
2、借助教材掌握的关系．
3、掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．
4、能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：等差数列的前n项和公式、性质及其应用；
难点：利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
【课前预习思考】
　求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Sn＝；若已知首项、公差和项数，则选用公式Sn＝na1＋d.
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝ n2＋ n.
【课前预习思考】
　等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
提示：不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列选项错误的是 ( )
A.公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．
B.数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．
C.若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．
D.在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1.
【答案】ABD
【解析】A×.不管公差是不是零，都可应用公式求和．
B×.因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和．
C√.等差数列的前n项和是关于n的缺常数项的二次函数，Sn＝n2＋2n＋1中有常数项，故不是等差数列．
D×.当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd.
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝ (　　 )
A．－20 B．－40 C．－60 D．－80
【解析】选D.由等差数列前n项和公式得，S10＝10×1＋×10×9×(－2)＝－80.
题3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝ (　 　)
A.85 B．170 C．75 D．150
【解析】选A.S17＝×17×(2＋8)＝85.
题4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________．
【解析】S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.
答案：2
【课堂题组训练】
类型一　等差数列前n项和的计算(数学运算)
题5．已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12.
【解析】因为Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0.
解得n＝12或n＝－5(舍去).所以a12＝＋(12－1)×＝－4.
题6．已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d.
【解析】由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
题7．已知a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.
【解析】由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2.故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6.
【解题策略提醒】
　等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
题8.等差数列的前n项和为Sn，若a14＝－8，S9＝－9，则S18＝(　 　)
A.－162　　　 B．－1　　　 C．3　　　 D．－81
【解析】选D.设等差数列的公差为d，因为a14＝－8，S9＝－9，所以
化简得所以所以S18＝18a1＋153d＝－81.
题9．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于________．
【解析】由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2 500.
答案：2 500
题10．(1)已知a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
【解析】(1)因为a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－.又Sn＝na1＋d＝－5，
所以n＋×＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍).
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.
类型二　等差数列前n项和的性质(数学运算)
题11.在等差数列{an}中．
(1)若a4＝2，求S7；
(2)若S5＝3，S10＝7，求S15；
(3)若S10＝100，S100＝10，求S110.
四步 内容
理解题意 条件：a4，S5，S10，S100结论：S7，S15，S110
思路探求 (1)利用a1＋a7＝2a4；(2)根据S5，S10－S5，S15－S10成等差数列求S15；(3)根据所给条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d可得S110，也可利用S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100成等差数列求解，也可以设Sn的关系式，利用方程组求解．
书写表达 (1)S7＝×7×(a1＋a7)＝×7×2a4＝7a4＝7×2＝14. (2)数列S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即3，7－3，S15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S15－7，解得S15＝12. (3)方法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d. 由已知得①×10－②，整理得d＝－，代入①得a1＝.所以S110＝110a1＋d＝110×＋×＝110故此数列的前110项和为－110.方法二：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10＋×D＝S100＝10，解得D＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120. 所以S110＝－120＋S100＝－110.方法三：因为数列{an}是等差数列，故其前n项和Sn可设为Sn＝An2＋Bn. 由S10＝100，S100＝10，得解得A＝－，B＝，故Sn＝－n2＋n，故S110＝－×1102＋×110＝－110.
题后反思 等差数列前n项和具有“片段和”性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列，在解决单纯的前n项和问题时有简化运算的功效．
【解题策略提醒】
　等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
题12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝ (　　 )
A．18 B．17 C．16 D．15
【解析】选A.设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，
(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
题13．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
【解析】因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75.
答案：75
题14．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则的值为__________．
【解析】＝＝＝＝＝.
答案：
类型三　等差数列前n项和的应用(数学运算)
角度1　等差数列前n项和的最值　
题15.在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；
(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．
【解析】(1)由题意得解得a1＝－9，d＝3，所以an＝3n－12.
(2)方法一：Sn＝＝(3n2－21n)＝－，所以当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
方法二：设Sn最小，则即解得3≤n≤4，
又n∈N＋，所以当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18.
题16. 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝125.则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
【解析】S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，
即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n.设Sn最大，则解得27≤n≤28，
即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378.
【解题策略提醒】
　求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．
(2)邻项变号法
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值．
角度2　等差数列前n项和的实际应用　
题17.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n项和．
【解析】设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，…，
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．
由题知，20个月贷款还清．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).
【解题策略提醒】
　应用等差数列解决实际问题的一般思路
题18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选A.设等差数列的公差为d，因为a4＋a6＝－6，所以2a5＝－6，所以a5＝－3.
又因为a1＝－11，所以－3＝－11＋4d，所以d＝2.
所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值．
题19．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于________．(盈利额＝总收入－总成本)
【解析】设每年的运营成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且a1＝3，d＝2.
所以n年后总运营成本Sn＝n2＋2n，因此，年平均盈利额为：＝－n－＋18≤－2＋18＝10，当且仅当n＝4时等号成立．
答案：4
题20．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
【解析】由S17＝S9，得25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，
方法一：Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二：因为a1＝25＞0，d＝－2<0，由得即12≤n≤13.
又n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值169.
【课堂检测达标】
题21．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(　 　)
A．－n2＋　　 B．－n2－ C．n2＋　　　 D．n2－
【解析】选A.因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1，所以Sn＝＝－n2＋.
题22．若等差数列{an}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 (　 　)
A．12 B．13 C．14 D．15
【解析】选B.因为S5＝5a3＝25，所以a3＝5.所以d＝a3－a2＝5－3＝2，所以a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
题23．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为 (　 　)
A．765 B．763 C．665 D．663
【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为{an}．
因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以符合题意的数共14个，
故S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
题24．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
【解析】数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
题25．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝________．
【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，
即＋＝0，解得m＝4.经检验，m＝4符合题意．
答案：4
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