苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《4.2.1-4.2.2等差数列的概念与通项公式》学案 (含答案)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《4.2.1-4.2.2等差数列的概念与通项公式》学案 (含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 114.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:57:09 | ||
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文档简介
§4.2.1~§4.2.2 等差数列的概念、通项公式
目标要求
1、借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．
2、借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．
3、会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．
4、能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：利用等差数列的通项公式解决相关的问题；
难点：利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的定义
(1)条件：①从第_____项起．
②每一项与它的__________的差都等于___________常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的________，常用______表示．
【课前预习思考】
(1)为什么强调“从第2项起”？
(2)如何理解“每一项与前一项的差”？
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论：_______叫作a与b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝_______．
【课前预习思考】
等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？
3．等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
____________＝d(n∈N*) an＝____________(n∈N*)
【课前预习思考】
(1)怎样从函数角度认识等差数列？
(2)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
B.等差数列{an}的单调性与公差d有关．
C.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
D.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝ ( )
A.4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
题3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
题4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
【课堂题组训练】
类型一 等差中项的应用(数学运算)
题5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 ( )
A．26 B．29 C．39 D．52
题6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ( )
A.a＝－b B．a＝3b C.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
题7．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
题8.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
类型二 等差数列的通项公式及其应用(数学运算)
题9.(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
题10．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
题11．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
类型三 等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
题12.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
题13.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，试判断数列{an}是否是等差数列．
题14.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
题15.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
类型四 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)
题16.已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
题17．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
题18．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
【课堂检测达标】
题19．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
题20．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 ( )
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
题21．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 ( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
题22．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
题22．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．
§4.2.1~§4.2.2 等差数列的概念、通项公式答案
目标要求
1、借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．
2、借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．
3、会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．
4、能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：利用等差数列的通项公式解决相关的问题；
难点：利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的定义
(1)条件：①从第 2 项起．
②每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个 常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的 公差 ，常用 d 表示．
【课前预习思考】
(1)为什么强调“从第2项起”？
提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)如何理解“每一项与前一项的差”？
提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论： A 叫作a与b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝ a＋b ．
【课前预习思考】
等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？
提示：2A＝a＋b A－a＝b－A A＝.
3．等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
__an＋1－an ＝d(n∈N*) an＝ a1＋(n－1)d (n∈N*)
【课前预习思考】
(1)怎样从函数角度认识等差数列？
提示：若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
(2)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
提示：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
B.等差数列{an}的单调性与公差d有关．
C.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
D.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
【答案】BCD
【解析】A×.
若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
B√.当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
C√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
D√.若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝ ( )
A.4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
【解析】选C.an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.
题3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
【解析】(－3)－(－6)＝3，故d＝3.
答案：3
题4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
【解析】因为三内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
答案：60°
【课堂题组训练】
类型一 等差中项的应用(数学运算)
题5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 ( )
A．26 B．29 C．39 D．52
【解析】选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39.
题6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ( )
A.a＝－b B．a＝3b C.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
【解析】选C.由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
所以＝，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
题7．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
【解析】由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
答案：3
【解题策略提醒】
等差中项的应用方法
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).
题8.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
【解析】因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1.又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5.
所以该数列为－1，1，3，5，7.
类型二 等差数列的通项公式及其应用(数学运算)
题9.(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
四步 内容
理解题意 条件：等差数列的任意两项结论：求通项公式
思路探求 设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
书写表达 设等差数列的首项为a1，公差为d，(1)因为a4＝7，a10＝25，则得所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通项公式an＝3n－5(n∈N*).(2)方法一：由得解得a1＝，d＝－，所以a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.方法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，所以a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
题后反思 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷
【解题策略提醒】
基本量法求通项公式
根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
题10．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
【解析】选A.设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
题11．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，
(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
类型三 等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
题12.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【思路导引】要判断数列是否为等差数列，要先求－的表达式，再求出数列的通项公式．
【解析】(1)数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，所以an＝.
题13.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，试判断数列{an}是否是等差数列．
【解析】当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．
【解题策略提醒】
等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
题14.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
【解析】(定义法)因为bn＋1＝＝＝，
所以bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*).
又b1＝＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(等差中项法)因为bn＝，所以bn＋1＝＝＝.
所以bn＋2＝＝＝.
所以bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，所以数列{bn}是等差数列．
题15.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n－1，n∈N*.
类型四 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)
题16.已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
【思路导引】设法说明－是常数．
【解析】因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2).
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
【解题策略提醒】
(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养．
题17．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
【解析】(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)因为an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，所以＝＋1(n≥2，且n∈N*)，
即－＝1(n≥2，且n∈N*)，所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，所以an＝·2n.
题18．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
所以{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时an是等差数列，公差为2.当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，所以{an}的通项公式为an＝
【课堂检测达标】
题19．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
【解析】选B.设{an}的公差为d，根据题意知：
a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.
题20．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 ( )
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
【解析】选C.|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|，所以n＝9时，|an|最小．
题21．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 ( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
【解析】选A.由题意知an＝2n＋1，所以an＋1－an＝2.
题22．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
【解析】＝＝＝.
答案：
题22．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．
【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则3a＝9，所以a＝3.所以这三个数分别为3－d，3，3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d＝－1.所以这三个数分别为4，3，2.
答案：4，3，2
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目标要求
1、借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．
2、借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．
3、会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．
4、能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：利用等差数列的通项公式解决相关的问题；
难点：利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的定义
(1)条件：①从第_____项起．
②每一项与它的__________的差都等于___________常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的________，常用______表示．
【课前预习思考】
(1)为什么强调“从第2项起”？
(2)如何理解“每一项与前一项的差”？
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论：_______叫作a与b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝_______．
【课前预习思考】
等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？
3．等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
____________＝d(n∈N*) an＝____________(n∈N*)
【课前预习思考】
(1)怎样从函数角度认识等差数列？
(2)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
B.等差数列{an}的单调性与公差d有关．
C.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
D.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝ ( )
A.4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
题3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
题4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
【课堂题组训练】
类型一 等差中项的应用(数学运算)
题5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 ( )
A．26 B．29 C．39 D．52
题6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ( )
A.a＝－b B．a＝3b C.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
题7．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
题8.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
类型二 等差数列的通项公式及其应用(数学运算)
题9.(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
题10．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
题11．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
类型三 等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
题12.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
题13.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，试判断数列{an}是否是等差数列．
题14.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
题15.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
类型四 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)
题16.已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
题17．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
题18．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
【课堂检测达标】
题19．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
题20．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 ( )
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
题21．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 ( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
题22．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
题22．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．
§4.2.1~§4.2.2 等差数列的概念、通项公式答案
目标要求
1、借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．
2、借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．
3、会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．
4、能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：利用等差数列的通项公式解决相关的问题；
难点：利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等差数列的定义
(1)条件：①从第 2 项起．
②每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个 常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的 公差 ，常用 d 表示．
【课前预习思考】
(1)为什么强调“从第2项起”？
提示：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；
②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)如何理解“每一项与前一项的差”？
提示：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论： A 叫作a与b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝ a＋b ．
【课前预习思考】
等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？
提示：2A＝a＋b A－a＝b－A A＝.
3．等差数列的通项公式
递推公式 通项公式
__an＋1－an ＝d(n∈N*) an＝ a1＋(n－1)d (n∈N*)
【课前预习思考】
(1)怎样从函数角度认识等差数列？
提示：若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
(2)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
提示：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
B.等差数列{an}的单调性与公差d有关．
C.根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
D.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
【答案】BCD
【解析】A×.
若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
B√.当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
C√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．
D√.若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
题2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝ ( )
A.4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
【解析】选C.an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.
题3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
【解析】(－3)－(－6)＝3，故d＝3.
答案：3
题4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
【解析】因为三内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
答案：60°
【课堂题组训练】
类型一 等差中项的应用(数学运算)
题5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 ( )
A．26 B．29 C．39 D．52
【解析】选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39.
题6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ( )
A.a＝－b B．a＝3b C.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
【解析】选C.由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
所以＝，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
题7．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．
【解析】由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
答案：3
【解题策略提醒】
等差中项的应用方法
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).
题8.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
【解析】因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，所以b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，所以a＝＝1.又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5.
所以该数列为－1，1，3，5，7.
类型二 等差数列的通项公式及其应用(数学运算)
题9.(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
四步 内容
理解题意 条件：等差数列的任意两项结论：求通项公式
思路探求 设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
书写表达 设等差数列的首项为a1，公差为d，(1)因为a4＝7，a10＝25，则得所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通项公式an＝3n－5(n∈N*).(2)方法一：由得解得a1＝，d＝－，所以a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.方法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，所以a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
题后反思 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷
【解题策略提醒】
基本量法求通项公式
根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
题10．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
【解析】选A.设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
题11．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，
(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
类型三 等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
题12.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【思路导引】要判断数列是否为等差数列，要先求－的表达式，再求出数列的通项公式．
【解析】(1)数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，所以an＝.
题13.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，试判断数列{an}是否是等差数列．
【解析】当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．
【解题策略提醒】
等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
题14.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
【解析】(定义法)因为bn＋1＝＝＝，
所以bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*).
又b1＝＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(等差中项法)因为bn＝，所以bn＋1＝＝＝.
所以bn＋2＝＝＝.
所以bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，所以数列{bn}是等差数列．
题15.已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n－1，n∈N*.
类型四 等差数列的证明与递推公式(数学运算、逻辑推理)
题16.已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
【思路导引】设法说明－是常数．
【解析】因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2).
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
【解题策略提醒】
(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．
(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养．
题17．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*).
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式an.
【解析】(1)a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20.
(2)因为an＝2an－1＋2n(n≥2，且n∈N*)，所以＝＋1(n≥2，且n∈N*)，
即－＝1(n≥2，且n∈N*)，所以数列是首项为＝，公差d＝1的等差数列．
(3)由(2)，得＝＋(n－1)×1＝n－，所以an＝·2n.
题18．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
所以{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时an是等差数列，公差为2.当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，所以{an}的通项公式为an＝
【课堂检测达标】
题19．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ( )
A．－1 B．0 C．1 D．6
【解析】选B.设{an}的公差为d，根据题意知：
a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.
题20．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 ( )
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
【解析】选C.|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|，所以n＝9时，|an|最小．
题21．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 ( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
【解析】选A.由题意知an＝2n＋1，所以an＋1－an＝2.
题22．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
【解析】＝＝＝.
答案：
题22．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．
【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则3a＝9，所以a＝3.所以这三个数分别为3－d，3，3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，所以d＝－1.所以这三个数分别为4，3，2.
答案：4，3，2
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