苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2 等差数列【同步教案】（解析版）

1.等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
2.等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an，有an=1+这就是等差数列{an}的通项公式，其中为1首项，d为公差
3.等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
4.等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
5.等差数列前n项和的性质
若数列{an}是首项1，公差为d的等差数列，则它具有下列性质
①d>0{an}是递增数列，d=0{an}是常数列，d<0{an}是递减数列
②若m+n=2k（m，n，k*），则am+an=2ak
③若m+n-p+q（m，n，p，q*），则am+an=ap+aq
④若{an}是有穷等差数列，则a1+an=a2+an-1=...=ai+an+1-i=...
⑤数列{n+b}（，b是常数）是公差为d的等差数列
⑥下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m...(k,m*)组成的公差为md的等差数列
⑦若数列{an}也是等差数列，则数列{anbn}，{kanbn}（k为非零常数）也是等差数列
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
等差数列的应用
例题1
一个等差数列的前项是，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ）
A． B．
C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和
训练1
已知等差数列有无穷项，且每一项均为自然数，若75，99，235为中的项，则下列自然数中一定是中的项的是
A．2017 B．2019 C．2021 D．2023
训练2
《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
利用等差数列性质计算
例题1
等差数列的前n项和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则
A．21 B．24 C．25 D．26
例题2
在等差数列中，若，则的值为
A． B． C． D．
训练1
设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
训练2
等差数列、的前项和分别为和，若，则
A． B． C． D．
求等差数列前n项和的最值问题
例题1
已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
例题2
设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为
A．6 B．7 C．8 D．13
训练1
已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（　　）
A．4041 B．4039 C．2021 D．2020
训练2
已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）
A．1 B． C． D．
一、单选题
1．南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次等（即等差）降之．上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未得者，亦依等次更给．”意思是皇帝赏赐十人黄金，将十人分成十个不同的等级，每个等级的人与他下一等级的人分得的黄金之差相同，已知上三等级的三人共分得黄金4斤，下四等级的四人共分得黄金3斤，则中间三等级的三人共分得黄金（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
2．对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
3．已知是公差不为零的等差数列，且，则（ ）
A． B． C．9 D．5
4．在数列中，，则（ ）
A．121 B．144 C．169 D．196
5．设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在函数的图像上有点列，若数列是等比数列，数列是等差数列，则函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何 ”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在等差数列中，若，，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
二、多选题
9．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（ ）
A．最小 B． C． D．
10．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列的前n项和
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
11．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（　　）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
12．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
三、填空题
13．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是第___________项.
14．在等差数列中，，（、），则的值为______.
15．已知等差数列的前项和为，若，则______．
16．已知数列的前项和为，，，则___________.
四、解答题
17．设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
18．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
19．已知数列，，．
（1）求、、、；
（2）归纳猜想通项公式，并证明你的猜想．
20．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值.
1.等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
2.等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an，有an=1+这就是等差数列{an}的通项公式，其中为1首项，d为公差
3.等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
4.等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
5.等差数列前n项和的性质
若数列{an}是首项1，公差为d的等差数列，则它具有下列性质
①d>0{an}是递增数列，d=0{an}是常数列，d<0{an}是递减数列
②若m+n=2k（m，n，k*），则am+an=2ak
③若m+n-p+q（m，n，p，q*），则am+an=ap+aq
④若{an}是有穷等差数列，则a1+an=a2+an-1=...=ai+an+1-i=...
⑤数列{n+b}（，b是常数）是公差为d的等差数列
⑥下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m...(k,m*)组成的公差为md的等差数列
⑦若数列{an}也是等差数列，则数列{anbn}，{kanbn}（k为非零常数）也是等差数列
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
等差数列的应用
例题1
一个等差数列的前项是，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质，得到，再根据，即可求出结果.
【详解】
∵等差数列的前项是，，，，
∴，解得．
又．∴，∴．
故选：C．
【点睛】考查等差数列的简单应用.
例题2
已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ）
A． B．
C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，整理，即可得出结果.
【详解】
因为无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，且数列也是等差数列，
所以，即，
整理得，即，
即和中有一个等于零，或两者都为零；因此ACD都不正确；
故选：B．
【点睛】考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可.
训练1
已知等差数列有无穷项，且每一项均为自然数，若75，99，235为中的项，则下列自然数中一定是中的项的是
A．2017 B．2019 C．2021 D．2023
【答案】B
【详解】
因为数列是等差数列，而75，99，235，是数列中的三项，故得到每两项的差一定是公差的整数倍，99-75=24，235-75=160，235-99=136.即24，160，136，均是公差的整数倍，可求这三个的最大公约数8，故得到公差为8.首项为3，2019-3=2016，2016是8的252倍，而其它选项减去3之后均不是8的倍数.故答案为2019.
故答案为B．
【点睛】考查的是等差数列的性质和应用．
训练2
《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ）
A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸
【答案】B
【分析】从冬至日起各节气日影长设为，可得为等差数列，根据已知结合前项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.
【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为，
是其前项和，则尺，
所以尺，由题知，
所以，所以公差，
所以尺。
故选:B.
【点睛】考查等差数列应用问题，考查等差数列的前项和与通项公式的基本量运算.
利用等差数列性质计算
例题1
等差数列的前n项和为Sn，若a4，a10是方程的两根，则
A．21 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.
【详解】
因为是方程的两根，所以，
又由，故选D.
【点睛】考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键.
例题2
在等差数列中，若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果.
【详解】
因为，所以，
因此，选A.
【点睛】考查等差数列性质，考查等价转化求解能力.
训练1
设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】
由S10＝0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解．
【详解】
解：在等差数列{an}中，由S10＝0，得，
则．
又∵，可知数列{an}为递增数列，则．
又．
∴当n＝10时，0，
当n＝11时，，
∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．
故选C．
【点睛】考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质．
训练2
等差数列、的前项和分别为和，若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列性质可知所求结果为，根据，代入得到结果.
【详解】
由等差数列性质可知：
又
本题正确选项：
【点睛】考查等差数列性质的应用，关键是熟练掌握的性质，从而求解得到结果.
求等差数列前n项和的最值问题
例题1
已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最小值
【答案】C
【分析】
根据推导出，，，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，，，当时，，
所以，，B选项正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点到该项的各项和为最大（小）；
（2）借助二次函数的图象及性质求最值.
例题2
设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为
A．6 B．7 C．8 D．13
【答案】B
【详解】
分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.
详解：根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.
【点睛】考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.
训练1
已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（　　）
A．4041 B．4039 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】
由于等差数列的前项和存在最大值，则首项，公差；又可得；再根据等差数列的性质和前项和公式即可求出结果．
【详解】
∵等差数列存在最大值且，
∴首项，公差，即等差数列为递减数列，
∴，
∵，
所以
∴，
.
所以满足的最大正整数的值为.
故选：B．
【点睛】考查等差数列的性质及其前n项和的性质.
训练2
已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.
【详解】
因为等差数列的前项和有最大值，故可得
因为，故可得，
整理得，即，
又因为，
故可得.
又因为，，
故取得最小正值时n等于.
故选：D.
【点睛】考查等差数列的性质，以及前项和的性质，属综合中档题.
一、单选题
1．南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次等（即等差）降之．上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未得者，亦依等次更给．”意思是皇帝赏赐十人黄金，将十人分成十个不同的等级，每个等级的人与他下一等级的人分得的黄金之差相同，已知上三等级的三人共分得黄金4斤，下四等级的四人共分得黄金3斤，则中间三等级的三人共分得黄金（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
【答案】B
【分析】题意说明这十人分得的黄金重量成等差数列，设分得黄金最多的一等人分得黄金斤，公差为，列出方程组解之，然后计算即得．
【详解】
由题可知，这十人分得的黄金重量成等差数列，设分得黄金最多的一等人分得黄金斤，公差为，则即解得，故，即中间三等级的三人共分得黄金斤．
故选：B．
2．对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
【答案】D
【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项
【详解】
由题意知，如图，
可得：，解得，，解得，
故选：D．
3．已知是公差不为零的等差数列，且，则（ ）
A． B． C．9 D．5
【答案】B
【分析】根据等差数列下标和性质可得，然后利用下标和性质将转化为的若干倍，则结果可求.
【详解】
因为，所以，
又因为公差，所以，所以，
所以，
所以，
故选：B.
4．在数列中，，则（ ）
A．121 B．144 C．169 D．196
【答案】C
【分析】由题知为等差数列，进而根据得,再根据等差数列通项公式得,最后计算即可.
【详解】
解：由得：，
所以数列为等差数列，所以，
因为
所以，解得，
所以，．
故选：C
【点睛】考查等差数列的定义，通项公式求解.
5．设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设易得且，利用等差数列前n项和公式，由求d，即可求.
【详解】
由题意知：即，且，
∴，故，
∴.
故选：A
6．在函数的图像上有点列，若数列是等比数列，数列是等差数列，则函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把点列代入函数解析式，根据{xn}是等比数列，可知为常数进而可求得的结果为一个与n无关的常数，可判断出{yn}是等差数列．
【详解】
对于A，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，
因此＝这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于B，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，
因此＝这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于C，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，
因此＝＝，这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；
对于D，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，
因此＝为常数，故{yn}是等差数列；
故选：D．
【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
7．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何 ”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意数列、都是等差数列，从而得到数列是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.
【详解】
根据题意数列是首项为2，公差为3的等差数列， ，
数列是首项为2，公差为5的等差数列，，
数列与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，，
对于A， ， ，错误；
对于B， ，，错误；
对于C， ，，正确；
对于D， ，，错误.
故选：C.
【点睛】考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列、都是等差数列得到数列的通项公式.
8．在等差数列中，若，，则（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【答案】C
【分析】利用等差数列性质，若，则及等差中项公式可求.
【详解】
因为 ，由等差中项公式，得，
同理，得，
．
故选：C．
【点睛】考查等差数列性质与等差中项公式.
（1）如果为等差数列，若，则 ．
（2）为等差数列，则有.
二、多选题
9．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（ ）
A．最小 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
【详解】
设等差数列数列的公差为.
由有，即
所以,则选项D正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小值，故A错误.
选项B. ,故B正确.
选项C. ,所以，故C正确.
故选：BCD
【点睛】等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件得到，即，然后由等差数列的性质和前项和公式判断,属于中档题.
10．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列的前n项和
C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列
【答案】ABD
【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
数列的前n项和，故B正确.
对选项C，因为，所以，故C错误.
对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.
故选：ABD
【点睛】考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式.
11．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（　　）
A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则
C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为
【答案】AB
【分析】
对于A，利用化简可得答案；
对于B，利用化简可得答案；
对于C，利用化简可得答案；
对于D，根据可得答案.
【详解】
对于A，因为为等差数列，所以，
即，所以，
化简得，所以，故A正确；
对于B，因为为等差数列，所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，
化简得，所以或，故C不正确；
对于D，因为，且，所以，
所以，
所以，
所以也为等差数列，且公差为，故D不正确.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
12．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】BCD
【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
【点睛】考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立.
三、填空题
13．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是第___________项.
【答案】5
【分析】
利用配凑法将题目所给递推公式转化为，即证得为首项为，公差为的等差数列，由此求得的表达式，进而求得的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当时有最小值．
【详解】
由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，
，则，
其对称轴，所以的最小的一项是第项.
故答案为：5.
【点睛】关键点点睛：利用配凑法将题目所给递推公式转化成等差数列是解题的关键．
14．在等差数列中，，（、），则的值为______.
【答案】0
【分析】基本量代换，由，求出公差d，直接用通项公式求出.
【详解】
设的公差为d，则有
∴ ，
故答案为：0
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
15．已知等差数列的前项和为，若，则______．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件得，进而根据求解即可.
【详解】
解：由等差数列的性质得，
因为，所以，
所以
故答案为：
16．已知数列的前项和为，，，则___________.
【答案】174
【分析】先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可.
【详解】
因为，，所以，即.
又①，
则②，
由②-①，得，
所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以-2为首项，2为公差的等差数列，所以，，
所以，，
所以.
故答案为：174.
四、解答题
17．设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）设的公差为，由等差数列数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程组即可求解.
（2）由的通项公式可知当时，，再分别求出的前几项即可求解.
【详解】
（1）设的公差为，
则，解得：
所以的通项公式．
（2）由知当时，，
当时，，故当时，．
因为，，，，，
所以，，，，，
所以当时，是的最大项．
18．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
【详解】
（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
19．已知数列，，．
（1）求、、、；
（2）归纳猜想通项公式，并证明你的猜想．
【答案】（1）；；；；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）由与的关系，我们从依次代入整数值，即可求出，，，；
（2）由，，，，的值与的关系，归纳推理出数列的通项公式； 由可得，故为等差数列，从而可求出，进而得证
【详解】
（1）
（2）猜想：
证明如下：因为，
所以，
即，
又，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．
所以
所以．
20．在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值.
【答案】(1) 25－n (2) 8或9
【分析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通项公式，即可得到前n项和的通项sn；把sn代入得到，讨论求出各项和的最大值时n的取值．
【详解】
解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，
∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，
∴＝，
∴当n≤8时， >0；
当n＝9时，＝0；
当n>9时， <0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.
【点睛】考查灵活运用等比数列等比中项性质的能力，掌握等比数列的通项公式，会进行数列的求和的公式.
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