苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.1等差数列的概念【同步作业】(解析版)

4.2.1等差数列的概念
一、单选题
1．已知是等差数列，且，则的值是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
2．若等差数列和的公差均为，则下列数列中不为等差数列的是（ ）
A．（为常数） B．
C． D．
3．数列满足“对任意正整数，都有”的充要条件是（ ）
A．是等差数列 B．与都是等差数列
C．是等差数列 D．与都是等差数列且公差相等
4．下面数列中，是等差数列的有(　　)
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正项数列满足，则（　　）
A． B．10 C． D．9
7．设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是　　
A． B． C． D．
8．在等差数列中，已知，则　　
A．9 B．8 C．81 D．63
9．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
10．数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知数列满足，，则______.
12．已知数列为等差数列，若=8,,则的值为_______________
三、解答题
13．已知成等差数列,求证：,,也成等差数列.
4.2.1等差数列的概念答案
1．已知是等差数列，且，则的值是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质直接求解.
【详解】
是等差数列，且，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，属于基础题.
2．若等差数列和的公差均为，则下列数列中不为等差数列的是（ ）
A．（为常数） B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项.
【详解】
数列和是公差均为的等差数列，则，，.
对于A选项，，数列（为常数）是等差数列；
对于B选项，，数列是等差数列；
对于C选项，，
所以，数列是等差数列；
对于D选项，，不是常数，所以，数列不是等差数列.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
3．数列满足“对任意正整数，都有”的充要条件是（ ）
A．是等差数列 B．与都是等差数列
C．是等差数列 D．与都是等差数列且公差相等
【答案】D
【分析】
将变形为和，根据等差数列的定义即可得出与都是等差数列且公差相等，反过来，利用等差数列的定义得到，变形即可得出，从而得到“”的充要条件是“与都是等差数列且公差相等”.
【详解】
由
得：
即数列与均为等差数列且公差相等，
故 “”是“与都是等差数列且公差相等”的充分条件
反之，与都是等差数列且公差相等
必有成立
变形得：
故“与都是等差数列且公差相等”是“”的必要条件
综上，“”的充要条件是“与都是等差数列且公差相等”
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的判断，考查了充分必要条件的判断，属于中等题.
4．下面数列中，是等差数列的有(　　)
①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④，，，，…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据等差数列的定义判断即可.
【详解】
①是以4为首项，以1为公差的等差数列；②后一项减前一项不是常数，所以不是等差数列；③是常数列，所以是等差数列；④是以为首项，以为公差的等差数列.
故答案为C.
【点睛】
本题考查等差数列的判断，属于基础题.
5．已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
设数列的公差为d，
选项A,B,C,都不满足同一常数，所以三个选项都是错误的；
对于选项D，,
所以数列必为等差数列.
故选D
【点睛】
本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6．已知正项数列满足，则（　　）
A． B．10 C． D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解a10即可．
【详解】
正项数列{an}满足a1=1，an-an+1=an an+1，
可得=1，所以{}是等差数列，首项为1，公差为1，
所以，=10，所以a10=．
故选A．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化以及计算能力．
7．设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，由题意可得不等式组，解不等式组可得答案．
【详解】
解：设等差数列的公差为d，
由题意可得，
解不等式组可得．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式及性质，涉及不等式组的解法，属基础题．
8．在等差数列中，已知，则　　
A．9 B．8 C．81 D．63
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的下标性质，可得，从而可得结果．
【详解】
由等差数列的性质得，
，
，
得，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题. 等差数列中，若则．
9．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【解析】
在等差数列中，若，则，解得，故选B.
10．数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，可知当时，数列单调递增，不符合题意；当时，对任意，都有成立，得出，即可求出实数的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案.
【详解】
解：由题可知，，对任意，都有成立，
当时，可知数列单调递增，不符合题意；
当时，若对任意，都有成立，
则，即，解得：，
，
此时，数列在上递减，上递增，或在上递减，上递增，
故符合题意，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.
11．已知数列满足，，则______.
【答案】
【分析】
分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得结果.
【详解】
由题意可知，对任意的，，故数列是公差为的等差数列，
所以，.
故答案为：.
12．已知数列为等差数列，若=8,,则的值为_______________
【答案】32
【解析】
【分析】
利用等差数列性质求解即可
【详解】
由等差数列性质知2，解=32
故答案为32
【点睛】
本题考查等差数列的性质，准确计算是关键，是基础题
13．已知成等差数列,求证：,,也成等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】
利用等差中项的原理，得到,并代入到后面的式子中进行计算,再利用等差中项的原理证明，，是等差数列.
【详解】
解：由已知得,
所以,
,
所以 ,
,
即,
故，，是等差数列.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质,主要是等差中项,以及简单的代数式运算.
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