苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3等差数列前n项和 第一课时【同步作业】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3等差数列前n项和 第一课时【同步作业】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 606.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 09:04:42 | ||
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文档简介
4.2.3等差数列前n项和（1）
一、单选题
1．（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．72 B．36 C．18 D．16
3．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
4．设为等差数列的前 n 项和，若，且，则（ ）
A．42 B．56 C．64 D．8
5．在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
6．已知等差数列的前17项和，则（ ）
A．3 B．6 C．17 D．51
7．设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
二、多选题
9．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
三、填空题
13．设数列的前项和为．如果，，，那么，，，中最小的为________．
14．在等差数列中，已知，，则____
15．已知数列满足，，则__________．
四、解答题
17．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
18．已知等差数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设，求前项和．
4.2.3等差数列前n项和（1）答案
一、单选题
1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知数列1，4，7，…，，为等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解即可
【详解】
易知数列1，4，7，…，，为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为，
所以原式，
故选：C．
2．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．72 B．36 C．18 D．16
【答案】D
【分析】
根据计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：D
3．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
【答案】B
【分析】
首先根据韦达定理可得，由等差数列公式以及等差数列的性质可得： ，即可得解.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系，可得，
则，
故选：B．
4．设为等差数列的前 n 项和，若，且，则（ ）
A．42 B．56 C．64 D．8
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差，进而根据公式列方程求解得，再求解即可.
【详解】
设等差数列的公差，∵，且，
∴，解得.
则.
故选：C
5．在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】D
【分析】
由等差数列的前项和，可看成关于的二次函数，结合二次函数图象的对称性即可求解.
【详解】
解：由题意，等差数列的前项和，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得，
故选：D．
6．已知等差数列的前17项和，则（ ）
A．3 B．6 C．17 D．51
【答案】A
【分析】
由题可得，由此可求出答案.
【详解】
因为，所以，解得，
．
故选：A.
7．设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
移项后变形，利用等差数列的性质得，再由等差数列前项和公式可得结论．
【详解】
设数列的公差为，，整理可得，即．又∵，∴．∵，∴．∴．
故选：B．
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【分析】
根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】
由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
二、多选题
9．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题意可得，根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式计算，逐一判断选项即可.
【详解】
因为是等差数列，设公差为，
由，得，即，故A正确；
又，故B正确；
若d>0，是单调递增数列，，
所以当n<10时，当n>10时，所以或最小，符合题意；
若d<0，是单调递减数列，，
所以当n<10时，当n>10时，所以或最大，符合题意，
所以无法判断公差的取值，故C错误；
又，即，故D正确.
故选：ABD
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
【答案】AD
【分析】
利用等差数列定义判断，利用等差数列片段和性质判断，利用奇偶项和的性质判断.
【详解】
对于A，，数列是等差数列，故正确；
对于B，，，是等差数列，故错误；
对于C，，，
所以，故错误；
对于D，，，
所以，故正确；
故选：AD.
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.
12．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
【答案】AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A正确；选项不正确；
，
所以，故选项C不正确；
当时，，即，故选项D正确；
故选：AD
三、填空题
13．设数列的前项和为．如果，，，那么，，，中最小的为________．
【答案】
【分析】
由题意可得数列是首项为，公差为2的等差数列， 从而可求出，则可求得，，，的值，进而可得答案
【详解】
∵数列的前项和为，，，，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列．
∴，，，．
∴，，，．
∴，，，中最小的为．
故答案为：
14．在等差数列中，已知，，则____
【答案】
【分析】
根据已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程即可求解.
【详解】
因为等差数列中，已知，，，
所以，即，
所以，
解得：或（舍）
当时，可得，
故答案为：.
15．已知数列满足，，则__________．
【答案】45
【详解】
,
.
16．某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，只能使一人满意，其余18人都要上楼或下楼．假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人不满意度之和为．为使最小，电梯应停在第______层．
【答案】14
【分析】
设停在第层，则向下走的有人，向上走的有人，求出即得解.
【详解】
设停在第层，则向下走的有人，向上走的有人，
则所有人不满意度之和为，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时最小．
故答案为：14
四、解答题
17．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】
（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】
（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
18．已知等差数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设，求前项和．
【答案】（1），．（2）
【分析】
（1）根据等差数列的性质，可求得，从而求出公差，由此可写出通项公式以及前项和；
（2）写出数列的通项公式，利用并项求和的方法，求其前项和.
【详解】
解：（1）由得．
又因为，所以，
所以，．
（2）．
．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，通项公式及前项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于中档题.
1 / 11
一、单选题
1．（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．72 B．36 C．18 D．16
3．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
4．设为等差数列的前 n 项和，若，且，则（ ）
A．42 B．56 C．64 D．8
5．在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
6．已知等差数列的前17项和，则（ ）
A．3 B．6 C．17 D．51
7．设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
二、多选题
9．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
三、填空题
13．设数列的前项和为．如果，，，那么，，，中最小的为________．
14．在等差数列中，已知，，则____
15．已知数列满足，，则__________．
四、解答题
17．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
18．已知等差数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设，求前项和．
4.2.3等差数列前n项和（1）答案
一、单选题
1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知数列1，4，7，…，，为等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解即可
【详解】
易知数列1，4，7，…，，为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为，
所以原式，
故选：C．
2．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．72 B．36 C．18 D．16
【答案】D
【分析】
根据计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：D
3．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．8 B．52
C．45 D．72
【答案】B
【分析】
首先根据韦达定理可得，由等差数列公式以及等差数列的性质可得： ，即可得解.
【详解】
由一元二次方程根与系数的关系，可得，
则，
故选：B．
4．设为等差数列的前 n 项和，若，且，则（ ）
A．42 B．56 C．64 D．8
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差，进而根据公式列方程求解得，再求解即可.
【详解】
设等差数列的公差，∵，且，
∴，解得.
则.
故选：C
5．在各项不全为零的等差数列中，是其前项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】D
【分析】
由等差数列的前项和，可看成关于的二次函数，结合二次函数图象的对称性即可求解.
【详解】
解：由题意，等差数列的前项和，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得，
故选：D．
6．已知等差数列的前17项和，则（ ）
A．3 B．6 C．17 D．51
【答案】A
【分析】
由题可得，由此可求出答案.
【详解】
因为，所以，解得，
．
故选：A.
7．设是公差不为零的等差数列，且，则的前6项的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
移项后变形，利用等差数列的性质得，再由等差数列前项和公式可得结论．
【详解】
设数列的公差为，，整理可得，即．又∵，∴．∵，∴．∴．
故选：B．
8．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【分析】
根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】
由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
二、多选题
9．已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
由题意可得，根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式计算，逐一判断选项即可.
【详解】
因为是等差数列，设公差为，
由，得，即，故A正确；
又，故B正确；
若d>0，是单调递增数列，，
所以当n<10时，当n>10时，所以或最小，符合题意；
若d<0，是单调递减数列，，
所以当n<10时，当n>10时，所以或最大，符合题意，
所以无法判断公差的取值，故C错误；
又，即，故D正确.
故选：ABD
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
【答案】AD
【分析】
利用等差数列定义判断，利用等差数列片段和性质判断，利用奇偶项和的性质判断.
【详解】
对于A，，数列是等差数列，故正确；
对于B，，，是等差数列，故错误；
对于C，，，
所以，故错误；
对于D，，，
所以，故正确；
故选：AD.
11．设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.
【详解】
因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.
12．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
【答案】AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A正确；选项不正确；
，
所以，故选项C不正确；
当时，，即，故选项D正确；
故选：AD
三、填空题
13．设数列的前项和为．如果，，，那么，，，中最小的为________．
【答案】
【分析】
由题意可得数列是首项为，公差为2的等差数列， 从而可求出，则可求得，，，的值，进而可得答案
【详解】
∵数列的前项和为，，，，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列．
∴，，，．
∴，，，．
∴，，，中最小的为．
故答案为：
14．在等差数列中，已知，，则____
【答案】
【分析】
根据已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程即可求解.
【详解】
因为等差数列中，已知，，，
所以，即，
所以，
解得：或（舍）
当时，可得，
故答案为：.
15．已知数列满足，，则__________．
【答案】45
【详解】
,
.
16．某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，只能使一人满意，其余18人都要上楼或下楼．假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2，所有人不满意度之和为．为使最小，电梯应停在第______层．
【答案】14
【分析】
设停在第层，则向下走的有人，向上走的有人，求出即得解.
【详解】
设停在第层，则向下走的有人，向上走的有人，
则所有人不满意度之和为，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时最小．
故答案为：14
四、解答题
17．已知在各项均为正数的数列中，前项和满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】
（1）根据数列和与通项关系整理化简即可求证；
（2）先求通项再求得，结合等差求和公式即可求解．
【详解】
（1）由，得．
当时，，
整理得．
因为，
所以，即数列为等差数列．
（2）因为，
所以，解得．
所以，
所以．
因为，所以为等差数列．
又，所以．
18．已知等差数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设，求前项和．
【答案】（1），．（2）
【分析】
（1）根据等差数列的性质，可求得，从而求出公差，由此可写出通项公式以及前项和；
（2）写出数列的通项公式，利用并项求和的方法，求其前项和.
【详解】
解：（1）由得．
又因为，所以，
所以，．
（2）．
．
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，通项公式及前项和公式，考查了并项求和的数列求和方法，属于中档题.
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