苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3等差数列前n项和 第二课时【同步作业】(解析版)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3等差数列前n项和 第二课时【同步作业】(解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 643.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 09:09:54 | ||
图片预览
文档简介
4.2.3等差数列前n项和（2）
一、单选题
1．若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．9
2．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
4．等差数列中，表示其前n项和，若，，则（ ）
A．-80 B．120 C．30 D．111
5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
6．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
8．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
10．（多选）已知等差数列的公差，前项和是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
12．设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．时，n的最小值为13
三、填空题
13．在等差数列中，，，求____
14．设等差数列的前项和为，，，，则______．
15．设Sn为等差数列{an}前n项和，若{an}前2019项中的奇数项和为2020，则S2019＝________．
16．已知数列的前4项和等于4，设前n项和为，且时，，则____．
四、解答题
17．设是等差数列的前项和，，______．
从①，②，③中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值．
18．已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
4.2.3等差数列前n项和（2）答案
一、单选题
1．若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．9
【答案】B
【分析】
结合等差数列的定义求得，由求得正确结论.
【详解】
因为，，
所以数列是以－18为首项，3为公差的等差数列，
所以．
，
所以当或7时，数列的前项和最小．
故选：B
2．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质以及前n项和公式即可求解.
【详解】
，
故选：A.
3．已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可得，由，可求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
解：根据等差数列的性质可得．
∵，∴或．
若，显然不成立，∴．
∴，解得．
故选：C．
4．等差数列中，表示其前n项和，若，，则（ ）
A．-80 B．120 C．30 D．111
【答案】C
【分析】
根据等差数列的片段和性质求解即可.
【详解】
解：因为等差数列中，表示其前n项和，
所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得
故选：C
5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【分析】
由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.
【详解】
由等差数列的性质，知，又，∴和异号．
∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，
，，
∴当时的最大值为20．
故选：C.
6．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据与通项的关系，可得两个数列之间公差的倍数关系，即可得到答案；
【详解】
由等差数列的性质，知为等差数列．又，
所以，则数列的公差为数列的公差的2倍，
而的公差为，所以数列的公差为4，
故选：D．
7．等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列下标和性质可知，再分析的关系即可得到结果.
【详解】
因为为等差数列，所以，所以为定值，
又因为，
所以，所以为定值，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的运用，其中涉及到等差数列前项和的应用，难度一般.已知等差数列的前n项和为，则有.
8．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把转化为，然后借助于已知得答案.
【详解】
等差数列、前项和分别为，，由，
得．
故选：.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题.
二、多选题
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．
【详解】
，，经验证对于也成立，所以，故A正确；
当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；
因为当时，，所以，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
10．（多选）已知等差数列的公差，前项和是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
【答案】AD
【分析】
对于A，数列是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列的单调性，故B错误；
对于C，数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误；
对于D，数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为，所以数列是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列是等差数列，所以．因此可以把看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故B错误．
对于C，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误．
对于D，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
故选：AD．
11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
【答案】BC
【分析】
根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.
【详解】
对于A,若，则，
那么.故A不正确；
对于B,中若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为，
所以使的最大的为15.故B正确；
对于C,中若，，
则，，则中最大.故C正确；
对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.
故选：BC
12．设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．时，n的最小值为13
【答案】ACD
【分析】
根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.
【详解】
由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确；
又，所以，B错误；
而，A正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．在等差数列中，，，求____
【答案】
【分析】
利用等差数列等距离片段和的性质求即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质有，
∴.
故答案为：
14．设等差数列的前项和为，，，，则______．
【答案】15
【分析】
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用求得，进而根据等差数列性质可知，求得．
【详解】
因为，所以．
又，所以．
故答案为：15
15．设Sn为等差数列{an}前n项和，若{an}前2019项中的奇数项和为2020，则S2019＝________．
【答案】4038
【分析】
利用等差数列的前n项和公式直接求出，再套公式求出S2019.
【详解】
用表示{an}前2019项中的奇数项和，
则有，
所以，
所以.
故答案为：4038.
16．已知数列的前4项和等于4，设前n项和为，且时，，则____．
【答案】25
【分析】
根据代入，得出为等差数列，再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
当时，，
即，
即.
所以是公差为的等差数列，由
所以，即.
故答案为：25
四、解答题
17．设是等差数列的前项和，，______．
从①，②，③中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】
若选条件①，（1）由题意可得，解方程组求出，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）可知数列是递增数列，且，从而可求得的最值，
若选条件②，（1）可得数列的公差为，再由可求得，从而可求得其通项公式，（2）由，可得，从而可求出的最值，
若选条件③，（1）由可得，再结合，可求出公差，从而可求得通项公式，（2）由（1）知，是递减数列，令，得，从而可求出的最值
【详解】
方案一 选条件①．
（1）设等差数列的公差为．
由题设知，解得，
∴．
（2）由（1），知数列是递增数列，且，
∴的最小值为，无最大值．
方案二 选条件②．
（1）设等差数列的公差为．
由题设知．
∵，∴．
∴．
（2）由（1）知，是递减数列．
令，可得，
故的最大值为，无最小值．
方案三 选条件③．
（1）设等差数列的公差为．
由，得，∴，
∴．
（2）由（1）知，是递减数列，
令，得，
故的最大值为，无最小值．
18．已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
1 / 13
一、单选题
1．若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．9
2．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
4．等差数列中，表示其前n项和，若，，则（ ）
A．-80 B．120 C．30 D．111
5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
6．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
8．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
10．（多选）已知等差数列的公差，前项和是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
12．设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．时，n的最小值为13
三、填空题
13．在等差数列中，，，求____
14．设等差数列的前项和为，，，，则______．
15．设Sn为等差数列{an}前n项和，若{an}前2019项中的奇数项和为2020，则S2019＝________．
16．已知数列的前4项和等于4，设前n项和为，且时，，则____．
四、解答题
17．设是等差数列的前项和，，______．
从①，②，③中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值．
18．已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
4.2.3等差数列前n项和（2）答案
一、单选题
1．若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．9
【答案】B
【分析】
结合等差数列的定义求得，由求得正确结论.
【详解】
因为，，
所以数列是以－18为首项，3为公差的等差数列，
所以．
，
所以当或7时，数列的前项和最小．
故选：B
2．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质以及前n项和公式即可求解.
【详解】
，
故选：A.
3．已知等差数列的前项和为．若，且，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可得，由，可求得，再根据，即可求得答案.
【详解】
解：根据等差数列的性质可得．
∵，∴或．
若，显然不成立，∴．
∴，解得．
故选：C．
4．等差数列中，表示其前n项和，若，，则（ ）
A．-80 B．120 C．30 D．111
【答案】C
【分析】
根据等差数列的片段和性质求解即可.
【详解】
解：因为等差数列中，表示其前n项和，
所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得
故选：C
5．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【分析】
由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.
【详解】
由等差数列的性质，知，又，∴和异号．
∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，
，，
∴当时的最大值为20．
故选：C.
6．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
根据与通项的关系，可得两个数列之间公差的倍数关系，即可得到答案；
【详解】
由等差数列的性质，知为等差数列．又，
所以，则数列的公差为数列的公差的2倍，
而的公差为，所以数列的公差为4，
故选：D．
7．等差数列的前n项和为，当首项和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等差数列下标和性质可知，再分析的关系即可得到结果.
【详解】
因为为等差数列，所以，所以为定值，
又因为，
所以，所以为定值，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的运用，其中涉及到等差数列前项和的应用，难度一般.已知等差数列的前n项和为，则有.
8．若两个等差数列的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把转化为，然后借助于已知得答案.
【详解】
等差数列、前项和分别为，，由，
得．
故选：.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题.
二、多选题
9．已知数列的前项和为，则（ ）
A． B．时，的最大值为17
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据数列的求和公式可得通项公式，可判断AB，根据求和公式和分类讨论即可求出含绝对值的前项和．
【详解】
，，经验证对于也成立，所以，故A正确；
当时，，当时，当时，，所以时，的最大值为16，故B错误；
因为当时，，所以，故C正确；
，故D错误，
故选：AC．
10．（多选）已知等差数列的公差，前项和是，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
【答案】AD
【分析】
对于A，数列是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列的单调性，故B错误；
对于C，数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误；
对于D，数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为，所以数列是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列是等差数列，所以．因此可以把看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故B错误．
对于C，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误．
对于D，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
故选：AD．
11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
【答案】BC
【分析】
根据等差数列的基本量运算计算可判断A，再由求和公式，利用下标性质可判断CD，再由可判断D.
【详解】
对于A,若，则，
那么.故A不正确；
对于B,中若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为，
所以使的最大的为15.故B正确；
对于C,中若，，
则，，则中最大.故C正确；
对于D，中若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.
故选：BC
12．设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．时，n的最小值为13
【答案】ACD
【分析】
根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.
【详解】
由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确；
又，所以，B错误；
而，A正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．在等差数列中，，，求____
【答案】
【分析】
利用等差数列等距离片段和的性质求即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质有，
∴.
故答案为：
14．设等差数列的前项和为，，，，则______．
【答案】15
【分析】
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用求得，进而根据等差数列性质可知，求得．
【详解】
因为，所以．
又，所以．
故答案为：15
15．设Sn为等差数列{an}前n项和，若{an}前2019项中的奇数项和为2020，则S2019＝________．
【答案】4038
【分析】
利用等差数列的前n项和公式直接求出，再套公式求出S2019.
【详解】
用表示{an}前2019项中的奇数项和，
则有，
所以，
所以.
故答案为：4038.
16．已知数列的前4项和等于4，设前n项和为，且时，，则____．
【答案】25
【分析】
根据代入，得出为等差数列，再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
当时，，
即，
即.
所以是公差为的等差数列，由
所以，即.
故答案为：25
四、解答题
17．设是等差数列的前项和，，______．
从①，②，③中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】
若选条件①，（1）由题意可得，解方程组求出，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）可知数列是递增数列，且，从而可求得的最值，
若选条件②，（1）可得数列的公差为，再由可求得，从而可求得其通项公式，（2）由，可得，从而可求出的最值，
若选条件③，（1）由可得，再结合，可求出公差，从而可求得通项公式，（2）由（1）知，是递减数列，令，得，从而可求出的最值
【详解】
方案一 选条件①．
（1）设等差数列的公差为．
由题设知，解得，
∴．
（2）由（1），知数列是递增数列，且，
∴的最小值为，无最大值．
方案二 选条件②．
（1）设等差数列的公差为．
由题设知．
∵，∴．
∴．
（2）由（1）知，是递减数列．
令，可得，
故的最大值为，无最小值．
方案三 选条件③．
（1）设等差数列的公差为．
由，得，∴，
∴．
（2）由（1）知，是递减数列，
令，得，
故的最大值为，无最小值．
18．已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
1 / 13