苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.3 等比数列【同步教案】（解析版）

1.等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an-a1qn-1
2.等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与 也都是等比数列，公比分别为pq和.
3.等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ Sn＝
等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
求等比数列前n项和
例题1
等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
例题2
已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
训练1
已知数列、满足，，，则数列的前项和为．
A． B． C． D．
训练2
在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
等比数列的应用
例题1
在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58
A．34 B．35 C．36 D．37
例题2
中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ）
A． B． C． D．
训练1
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．96里 B．48里
C．192里 D．24里
训练2
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏
一、单选题
1．等比数列的前项之积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前37项和为（ ）
A．1040 B．1014
C．1004 D．1024
3．设数列的每一项都不为零，且对任意满足，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，下列正确命题的个数是（　　）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N*，总存在m∈N*使得an＝Sm．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2022个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
二、填空题
9．已知公比为的等比数列中，，则该数列前项的和______．
10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，数列的“差数列”的通项公式为，则数列的前项和___________.
11．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：
①时，；
②；
③当时，数列是递增数列；
④对任意，存在，使得数列成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
12．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________.
三、解答题
13．设为数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求.
14．已知数列是正项等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
15．已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，是数列的前项和，求.
1.等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an-a1qn-1
2.等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与 也都是等比数列，公比分别为pq和.
3.等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ Sn＝
等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
求等比数列前n项和
例题1
等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出等比数列的通项，利用定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
依题意得等比数列{an}的通项，所以，
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，
所以数列的前n项和为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用定义得到数列是首项为，公比为的等比数列是解题关键.，
例题2
已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义对3个条件一一判断即可.
【详解】
已知函数，定义域为.
若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；
若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；
若选③，则，，是常数，
则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.
故选：D.
【点睛】方法点睛：判断数列是不是等比数列的常用方法：定义法，等比中项法，通项公式法等.
训练1
已知数列、满足，，，则数列的前项和为．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列、等比数列定义求出数列、的通项公式，进而求出的通项公式，根据定义判断其为等比数列，运用等比数列求和公式求解即可.
【详解】
解：因为，
∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，
由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.
故选：C.
【点睛】等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列．
训练2
在递减等比数列中，是其前项和，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接列方程组求出和公比，然后由前项和公式得结论．
【详解】
则，解得或，∵是递减数列，则，
∴，（舍去）．
∴，．
故选：A．
【点睛】考查求等比数列的前项和，解题方法是基本量法，即求出首项和公比，然后直接直接由公式计算．
等比数列的应用
例题1
在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】D
【分析】假设第轮感染人数为，根据条件构造等比数列并写出其通项公式，根据题意列出关于的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数.
【详解】
设第轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，
所以，解得，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.
例题2
中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题先判断每天走的里数是以为公比的等比数列，再根据求出，最后运用通项公式即可解题.
【详解】
解：由题意可知，每天走的里数是以为公比的等比数列，
由题意可得，，
故，
∴.
故选：C.
【点睛】考查等比数列的前项和公式与等比数列的通项公式在实际问题中的应用.
训练1
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A．96里 B．48里
C．192里 D．24里
【答案】A
【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.
【详解】
由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,
设该数列为,其前项和为
则有,解得,
故,
故选:A.
【点睛】考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.
训练2
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏
【答案】D
【分析】设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．
【详解】
设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，
所以，解得，
即塔的顶层共有3盏灯，故选D．
【点睛】考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用．
一、单选题
1．等比数列的前项之积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质直接求解即可.
【详解】
由等比数列的性质可得，，所以，则.
故选：A
2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前37项和为（ ）
A．1040 B．1014
C．1004 D．1024
【答案】B
【分析】
没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前项和为，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前项总个数为，由此可计算出第10行的最后一个数为第36个数，从而可求出前37项和
【详解】
没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为，
以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前项和为．每一行的个数为1，2，3，4，…，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前项总个数为．
当时，，去掉两端“1”，可得，
则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，
所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10，
所以该数列的前37项和为．
故选：B
3．设数列的每一项都不为零，且对任意满足，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据条件判断出是等比数列，然后根据等比中项的性质求解出的值.
【详解】
在中，令，则．
由可知，即是首项为1、公比为的等比数列．
于是．
故选：B．
4．设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，下列正确命题的个数是（　　）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N*，总存在m∈N*使得an＝Sm．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
对①②③④一一验证：
对于①：取an＝0验证；
对于②：假设存在等比数列，利用Sn＝am，求公比q即可，判断②错误；
对于③：根据Sn＝am直接验证；
对于④：取数列an＝2﹣n，进行验证.
【详解】
解：对于①：取an＝0，则Sn＝0，满足题设．∴①正确，
对于②：假设存在，a1＝a，公比为q．当q＝1时，an＝a，Sn＝na，n≥2时不存在正整数m，使得Sn＝am；
当q≠1时，，，要使Sn＝am，则需，
即1＝qn+qm﹣1﹣qm，则q为有理数．由于q≠1，我们有：1+q+…+qn﹣1＝qm﹣1，由高次方程有理数根的判别法，
此方程无有理数根．∴②错误．
对于③：由题意，对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则存在正整数p使得Sn﹣1＝ap（n≥2），
则an＝Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap（n≥2）．∴③正确．
对于④：取数列an＝n，易知不存在m，使得 ．∴④错误，
故选：C．
【点睛】
（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.
（2）对数列类的辨析题，可以通过取特殊数列来判断.
5．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，可利用公式求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的值.
【详解】
由已知条件可得，解得或.
设等比数列的公比为.
①当，时，由，解得，
，解得；
②当，时，由，解得，
，解得.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：已知、、求等比数列的基本量，利用公式计算较为方便，但需要注意分和两种情况讨论.
6．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2022个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知后一个三角形的面积是前一个的，则这些三角形的面积形成一个等比数列，根据通项公式，求出第2022项即可.
【详解】
观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，
设第个三角形的面积为，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以第2022个三角形的面积为.
故选：D
7．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的性质得出，由前项和的定义得，从而可求得公比和首项，再由前项和公式计算．
【详解】
是等比数列，公比为，由，得，
又，所以，，所以，由解得，
所以，，，
所以．
故选：C．
【点睛】考查求等比数列的前项和，解题关键是由等比数列性质求得，然后可用基本量法求得首项，公比，再由前项和公式得结论．
8．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
【答案】B
【分析】运用等比数列的性质，成等比数列.
【详解】
由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
二、填空题
9．已知公比为的等比数列中，，则该数列前项的和______．
【答案】
【分析】设等比数列的首项为，公比， 则，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，故，由此可解得结果.
【详解】
设等比数列的首项为，公比，前项和为．
由题知，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，
故其前项的和为，
解得．
故答案为：.
10．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，数列的“差数列”的通项公式为，则数列的前项和___________.
【答案】
【分析】根据“差数列”的通项公式，用累加法可求出的通项公式.再根据公式法可求出数列的前n项和.
【详解】
因为，则当时，
满足上式，所以.
则
故答案为：.
【点睛】方法点睛：通过累加法可求出形如 形式的递推式的的通项公式.
11．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：
①时，；
②；
③当时，数列是递增数列；
④对任意，存在，使得数列成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【分析】
①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；
【详解】
解：①当时，，则，
即，则，
则，，
则；故①正确．
②因为，，所以，，
即，故②正确；
③当时，不妨设，
则由，，
得，
则，
则，故数列是递增数列错误；故③错误．
④设，
则，
，
，即
存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；
故答案为：①②④
12．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足下面条件，，，.给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④成立最大的自然数等于198.其中正确的结论是__________.
【答案】①④
【分析】
由得，且得，①；②；③；④，，即可判断各项正误.
【详解】
①：由，得，即，又且，
∴，即，故正确；
②：由且，知：，即，故错误；
③：且，知：，故错误；
④：
，故正确.
故答案为：①④.
【点睛】关键点点睛：应用已知条件证明、，再结合等比中项及单调性，判断各项的正误.
三、解答题
13．设为数列的前项和，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）将代入整理，同除以得证；（2）利用错位相减法求和分组求和
【详解】
（1）由题意整理得，同除以
又，故数列为以首项为3，公比为2的等比数列
（2）由（1）
设其前n项和为
两式作差得
故
所以
14．已知数列是正项等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设正项等比数列的公比为，进而得，解方程即可得；
（2）由题知，再根据错位相减法求和即可得答案.
【详解】
解：（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，，
所以，即，解得或（舍）
所以
（2）由（1）知
所以 ①，
②，
所以①-②得
所以
15．已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，是数列的前项和，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据等差的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出数列的和.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，是与的等差中项，
则；
，，
即，
，，
；
（2），
所以，
，
两式相减可得，
，
化简得，.
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