苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 第四章 数列 单元测试 （解析版）

1．数列的首项，且，令，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．已知数列满足，为其前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．数列{Fn}：F1=F2 1，，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前2021项和为（ ）
A．1345 B．1346 C．1347 D．1348
4．若数列满足，，（且），则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（ ）
A． B．1
C． D．
7．等差数列前项和为， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．22 B．26 C．30 D．34
12．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，
13．在数列中，，若，则_________．
14．已知等差数列的前项和为，公差为整数，现有四个等式：①；②；③；④，若其中有且只有一个等式不成立，则_________．
15．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.
16．数列满足，则 __________.
17．设数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和为.
18．已知数列是递增的等差数列，、是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
20．设数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列，已知，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
1．数列的首项，且，令，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】由题意得，结合已知有是首项、公比均为4的等比数列，进而得到，即可求目标式的值.
【详解】
∵，
∴，即且，
∴数列是以4为首项，公比为4的等比数列，故，
由得：，
设数列的前项和为，则，
∴．
故选：C
2．已知数列满足，为其前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知等式中用替换得，两式相减得数列的递推关系，用分类讨论思想求得数列通项公式，然后分组求和．
【详解】
因为 ①，
所以 ②
由②－①得：，
所以数列奇数项与偶数项均成公差为的等差数列
当为奇数时，；
当为偶数时，，
又因为，
所以，得，
所以，
所以．
故选：C．
3．数列{Fn}：F1=F2 1，，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前2021项和为（ ）
A．1345 B．1346 C．1347 D．1348
【答案】D
【分析】根据题意写出数列的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，即可得到所求和．
【详解】
由“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，
可得此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，
即，，，，，，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
因为，
所以，
则数列的前2021项的和为：
．
故答案为：1348．
4．若数列满足，，（且），则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】先由题设求得数列的前几项，然后得到数列的周期，进而求得结果.
【详解】
因为，，（且），
所以，， ，
，，，，
所以数列是周期为的周期数列，
所以，
故选：C.
【点睛】考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；
（2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求的数列的周期，求得，进而求得结果.
5．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】设等差数列首项为，公差为，进而由得,故,再根据二次函数性质即可得当时，取最大值.
【详解】
设等差数列首项为，公差为，
因为,所以,即，，，
二次函数的对称轴为，开口向下，
又∵，∴当时，取最大值.
故选:C.
6．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】A
【分析】依题意得－＝，得数列是以＝为首项，为公差的等差数列，由此根据等差数列的通项公式可得选项.
【详解】
解：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝．
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式，或进行求解；
（2）前n项和法：根据进行求解；
（3）与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列中有，即第n项与第n 1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列中有，即第n项与第n 1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列中，（k、b均为常数，且k≠1，k≠0）.
一般化方法：设，得到 可得出数列 是以k的等比数列，可求出；
②取倒数法：这种方法适用于（k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子；
（7）（b、c为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
7．等差数列前项和为， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化成和的形式，得到二者关系，求得，利用求得结果.
【详解】
，即
故选：C.
【点睛】考查的是有关数列的问题，解题思路如下：
（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；
（2）化简求得数列的某一项；
（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.
8．设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用求通项公式，判断出为等比数列，直接求和.
【详解】
在中，令，得，所以．
由得，两式相减得，
即，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：A．
【点睛】
(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；
(2)数列求和常用方法：
①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．
9．已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由，，列方程求出，进而可求出，列不等式组可求出的取值范围
【详解】
解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以，解得，
故选：D
【点睛】考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质
10．数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题先通过判断数列是等差数列，再根据项数差值和公差直接求解即可.
【详解】
∵，
∴数列是公差为4的等差数列，
∵，
∴，
故选：C.
【点睛】考查等差数列的判断和等差数列的基础运算.
11．设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．22 B．26 C．30 D．34
【答案】C
【分析】由等差数列中，连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知成等差数列，结合等差中项性质即可求.
【详解】
由等差数列的前n项和性质知：成等差数列，
∴由等差中项的性质：，又，
∴，
故选：C
【点睛】考查了等差数列的性质，利用前n项和中连续等间距下标之差成等差数列、等差中项性质求项，
12．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，
【答案】B
【详解】
A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
13．在数列中，，若，则_________．
【答案】8
【详解】
当为偶数时，由 得 解得符合；
当为奇数时，由 得 即
因为函数与的图象只有一个交点，即方程 只有一个根
又,所以由得 由 可知
所以不满足题意，所以.
故答案为：8.
【点睛】本题是一个分段数列，需要先根据奇偶性讨论，再结合大前提得出结果.
14．已知等差数列的前项和为，公差为整数，现有四个等式：①；②；③；④，若其中有且只有一个等式不成立，则_________．
【答案】100
【分析】依题意先得出②不成立，再由①③④求得基本量和，进而可求得.
【详解】
由③得，所以①和③等价，因此②和④中有一个不成立.
若②成立，设数列的公差为，则，这与为整数矛盾，所以②不成立，④成立.
由④得，结合可得，.
所以.
故答案为：100.
【点睛】关键点点睛：依题意先得出②不成立，再由①③④求得基本量和.
15．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时的值为_________.
【答案】8
【分析】求出数列在n的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出.
【详解】
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以取得最小值时的值为8.
故答案为：8.
【点睛】考查数列前n项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断的单调性.
16．数列满足，则 __________.
【答案】
【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；
【详解】
∵①
时，②
①-②得，
时，满足上式，.
故答案为：.
【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.
17．设数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和为.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用证明等于常数，即证得结论；
（2）先利用（1）求得，再求得通项公式，并裂项，进行求和即可.
【详解】
（1）∵，∴，
为常数，又∵，∴，
所以数列是以为首项为公差的等差数列；
（2）由（1）知，∴
∴
∴
，
所以数列的前n项和为.
18．已知数列是递增的等差数列，、是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）解出方程的两根，可出、的值，可求得等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】
（1）方程的两根为、，由题意得，，
设数列的公差为，则，故；
（2）由（1）知＝，则，
可得，
两式相减得
，
因此，.
19．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.
条件：①
②
③
注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
(1)根据求解即可；
(2)选①利用错位相减法求和即可；选②利用裂项相消法求和即可；选③对分奇偶讨论，然后利用并项求和法求和即可.
【详解】
（1）∵在数列中，.
当时，，
当时，，
又也满足，
∴
（2）选择条件①，
∴①
②
①-②得
故.
选择条件②由（1）知：，
∴
∴
选择条件③
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述：.
20．设数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列，已知，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，列方程组解得后可得通项公式；
（2）求出，当时，，，时，和式用错位相减法求解．
【详解】
解：（1）因为是等差数列，是等比数列，公比大于0．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：，解得，，
故，.
（2）数列满足；
当时，；
当时，
令
则，
两式相减得，
，
整理得，
所以，
综上，.
4 / 18