圆锥曲线[上学期]

圆锥曲线点的轨迹探求
总第 课时 授课类型：新授课 授课时间：06年12月 日
教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能
够准确地把握这类问题.
教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.
教学过程：
一、复习引入
求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.
求轨迹基本方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。
二、讲授新课
直接法 根据动点所满足的几何条件,直接写出其坐标所满足的代数方程.
例1、点P到定点和定直线的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.
答案：或
练习1：已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点，到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差是2，求这条曲线的方程。
定义法（待定系数法）
如果根据题设条件和平面曲线的定义，能够确定曲线及其位置（或者某些特征），可用某些字母设出曲线方程的形式，然后根据条件来确定这些字母系数，进而求出曲线的方程。
例2、设椭圆与双曲线有共同的焦点，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的两倍，试求椭圆与双曲线的交点轨迹方程。（资料P151 例4）
答案：或
练习2： ABC中，A为动点，B、C为定点，，且满足条件
，求动点A的轨迹方程。（资料P130 例2）
转移法（相关点法、代入法、间接法）
所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线,所得方程即为所求.
例3、如图所示，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程.
（资料P150 例3）
分析：点的运动依赖于点R（AB中点即PQ的中点）的运动；
R为弦AB中点，故有，又，建立
关系式，可得R点轨迹方程；从而点R为PQ中点，即可
得Q点轨迹方程.（）
练习3：《导练》P167 练功房 4t
参数法
动点的运动依赖于某一参数(角度、斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方程,再化为普通方程.（设参用参消参议参）
例4、过原点与抛物线交于两点的直线，求线段的中点轨迹方程.
分析：由分析可知直线斜率一定存在，故可设直线方程为：与抛物线方程联立，由韦达定理及中点坐标公式，消参，即可得。但是易忽视直线与抛物线有两交点，由判别式挖掘范围.（资料P151 例5）
练习4：设过点A（1，0）的直线与抛物线交于不同的两点P，Q，求PQ中点M的轨迹方程.或
交轨法
所求轨迹是由两条动曲线（包括直线）的交点所得；恰当地引入一个参数，
写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程.
例5、椭圆与轴的交点为与轴平行的直线交椭圆于两点，试求和交点所描绘的曲线方程.（资料P150 例1）
练习5：已知的一边固定，顶点A在平行于底边且距底边为定值的直线上移动，求的垂心的轨迹方程.
三、课堂小结
通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的轨迹问题的出发点是找出约束动点变动的几何条件或者找出影响动点变动的因素。抓住这两点，就抓住了问题的本质。
四、课后作业
1、 线段AB长为3，端点A，B分别在x轴与y轴上滑动，点分AB成2：1，则点P的
轨迹方程.
2、 抛物线的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去顶点外的动点,O为顶点，连接FP并延长至Q,使|FP| = |PQ|,OQ与AP交于M,求点M的轨迹.
3、 过抛物线的焦点的直线与这条抛物线
相交于A、B两点，O为坐标原点，求的
重心G的轨迹方程
4、一动圆过点F（－3，0）且与已知圆相切，求动圆圆心P的轨迹方程。
五、教学后记
x
O
y
A
M
Q
F
PAGE
1双曲线的标准方程及其性质
总第 课时 授课类型：复习课 授课日期：06年 月 日
教学目标：（1）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单性性质
（2）了解双曲线的初步应用.
教学重难点：理解掌握双曲线的定义、标准方程和性质,能根据条件利用待定系数法、定义求双曲线方程。
教学过程：
一、知识点梳理
1 ( http: / / www. / wxc / ) 双曲线定义：
:双曲线的（第一）定义：平面内与两定点的距离之差的绝对值是常数2a的点的轨迹。注意2a=时，轨迹分别是以为端点，线段的延长线和反向延长线（两条射线）；当2a＞时，轨迹不存在.
:双曲线的（第二）定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 ( http: / / www. / wxc / )这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线 ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / )双曲线标准方程的两种形式：
①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）
②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）
3.双曲线图像中线段的几何特征：双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x
⑸准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为
⑹焦半径：，（点P在双曲线的右支上）；
，（点P在双曲线的右支上）；
当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略） ( http: / / www. / wxc / )
⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ( http: / / www. / wxc / )
⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是
二、典型例题
考点1：求双曲线的标准方程
1. 已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．
2. 双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆交于A(4,1),若点A的切线与双曲线的一条渐进线平行，求双曲线的方程.
考点2：双曲线的定义和几何性质的运用
3. 给定椭圆，求和这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，求出相应四边形各顶点的坐标.
4. 已知P为双曲线上的点，为其两个焦点，且△的面积是，求∠的大小.
5. 设P为双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求|PA|+|PF|的最小值；
考点3：直线和双曲线的问题
6. 已知双曲线（a>0，b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线的方程;
(2)直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.
三、课堂小结：（1）双曲线的标准方程待定系数法
（2）双曲线定义及性质的应用.
四、课后作业
1. 双曲线的离心率，则的取值范围是 （ ）
2. 与圆及圆 都外切的圆的圆心轨迹方程为………….
3. 如果分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且，则的周长是___28________．
4. 过双曲线的右焦点作双曲线在第一、第三象限的渐仅线的垂线，垂足为， 与双曲线的左、右支的交点分别为．
（1）求证：在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围.
5. 是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程为，（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．
五、教学后记：抛物线
总第 课时 课型：复习课 授课日期：06年 月 日
教学目的：1．理解掌握抛物线的定义、标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线方程．掌握抛物线的几何性质．了解抛物线的一些实际应用．
2．培养学生的运算和分析问题、解决问题的思维能力．
教学重难点：计算能力的培养和性质的及时运用
课前热身：
1．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
2． AB是抛物线的一条焦点弦，若抛物线为y2＝x，｜AB｜＝4，则AB的中点C到直线x＋＝0的距离为（　　）
A． B． C． D．3
3．动圆M经过点A(3，0)且与直线l:x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____．
考点一、求抛物线的标准方程
例1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
练习：设抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，为抛物线上任一点，若点至直线的距离的最小值为1，求这抛物线的方程。
考点二 以抛物线为背景的求值问题
例2、已知抛物线上有一点的横坐标为-9，且点到抛物线焦点的距离为10，求点到轴的距离。
练习：过抛物线的焦点的一条直线和抛物线交于，求证：（1）；
（2）若的倾斜角为，则；
（3）为常数。
考点三、 直线与抛物线位置关系题型
例3、A、B是抛物线上的两点，满足（O为坐标原点），求证：（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB经过一个定点.
练习：（中点弦问题）1、过点Q（4，1）作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线方程。
2、练习册的练功房第四题。
作业：1、过抛物线y2=8x上一点P(2, －4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）1条或3条
2、若抛物线的顶点是双曲线x2－=1的中心，且准线与双曲线的右准线重合，则抛物线的焦点坐标为
3、抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，且|AB|＝4，则焦点到AB的距离为
4、若AB为抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是
5、抛物线y=4x2 上的点到直线y=4x－5的最近距离是
6、直线x－2y－2=0与抛物线x=2y2交于A、B两点，F是抛物线的焦点，则△ABF的面积为
7、已知抛物线y2=6x过点P(4, 2)的弦的两个端点作点P被平分，求这条弦所在直线方程
8、抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，此抛物线的内接正三角形的一个顶点与抛物线的顶点重合，已知该正三角形的高为12，求抛物线上到焦点的距离等于5的点的坐标
9、抛物线y2=2px有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边的方程为y=2x，斜边长为5，求此抛物线的方程。
小结：1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay．
2．涉及抛物线的焦半径，焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线定义转化为点到准线之距离，这样就可以使问题简单化．
3．抛物线的定义及标准方程是基本的考查内容，直线和抛物线的位置关系更是高考中的热点问题．
教学后记：直线与圆锥曲线的位置关系
总第 课时 课型：复习课 授课日期：06年 月 日
教学目的：
掌握直线与圆锥曲线的位置关系并能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些问题.掌握解几的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力.
教学重难点：掌握解几的基本思想和方法，应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些问题.
高考要求：直线与圆锥曲线的关系是命题的重点，将直线方程与曲线方程联立构成方程组是解题的基本思路，在产生关于x（或y）的一元二次方程后，利用根与系数的关系来解决所涉及的基本内容.
一、知识梳理：
（1）本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.
（2）涉及的弦长公式
当直线的斜率存在时，弦长
当k存在且非零时，其中是交点坐标.
二、课前热身：
1.过点（2，4）作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是
A.（－∞，0） B.（1，＋∞）
C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
4.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则△OAB的重心的横坐标为____________.
5.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是____________.
三、考点分析：
考点一、直线与圆锥曲线的位置关系
例1.（05重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且l与的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.
练习：演兵场 12
考点二、中点弦问题
例2. （资料162 例2）
过点，作直线与椭圆交于A、B两点，若线段AB的中点恰为P点，求AB所在直线的方程和线段AB的长度.
练习：练功房 2
选讲：（2003年福州市模拟题）已知抛物线C：y2=4（x－1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.
（1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；
（2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围.
考点三、对称问题：
例3.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.
剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=－ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，
而直线BC与抛物线有两交点，
∴Δ＞0，即可求得k的范围.
评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“Δ＞0”.
思考讨论
将直线BC设为x=－ky+m.好！若直线BC的方程设为y=－x+m，本题运算量增大，同学们不妨一试.
练习：已知双曲线，双曲线上是否存在两点关于直线y=2x对称？
考点四、圆锥曲线的综合问题
例4.（164、11）已知抛物线y2=－x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点.
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值.
例5. 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B.
（1）若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围；
（2）若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程.
练习：中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y－1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.
课堂小结：
1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.
2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.
3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式
d=＝.
再结合韦达定理解决.焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.
课后作业：
1.AB为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为___________；若AB的倾斜角为α，则|AB|=____________.
2.已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是
A.（0，1） B.（0，5）
C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5）
3.已知双曲线x2－＝1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为____________.
教学后记：圆锥曲线的综合问题
教学目标：
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 ( http: / / www. / wxc / )
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 ( http: / / www. / wxc / )
(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 ( http: / / www. / wxc / )
(4)了解圆锥曲线的初步应用 ( http: / / www. / wxc / )
基础知识：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 ( http: / / www. / wxc / )有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口 ( http: / / www. / wxc / )
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识 ( http: / / www. / wxc / )
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题 ( http: / / www. / wxc / )在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号 ( http: / / www. / wxc / )
（4）见导练大课堂168页知识库
题型讲解 ( http: / / www. / wxc / )
考点一、定点与定值问题：
例1如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点 ( http: / / www. / wxc / )
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小 ( http: / / www. / wxc / )
点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力 ( http: / / www. / wxc / )
考点二、最值问题
例2已知椭圆的右焦点为F，点A（1，1）若P为椭圆上一动点，
（1）求的最小值
（2）求的最小值
（3）求的最大值
考点三、参数的范围问题
例3 已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B ( http: / / www. / wxc / )（如图）
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当=λ时，求λ的最大值 ( http: / / www. / wxc / )
点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用 ( http: / / www. / wxc / )解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想 ( http: / / www. / wxc / )本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题 ( http: / / www. / wxc / )
考点四、圆锥曲线的实际应用问题
例4 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4 ( http: / / www. / wxc / )5 m，隧道全长2 ( http: / / www. / wxc / )5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 ( http: / / www. / wxc / )
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高 ( http: / / www. / wxc / )本题结果均精确到0 ( http: / / www. / wxc / )1 m）
（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11，4 ( http: / / www. / wxc / )5），
椭圆方程为+=1 ( http: / / www. / wxc / )
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得
a=，此时l=2a=≈33 ( http: / / www. / wxc / )3 ( http: / / www. / wxc / )
因此隧道的拱宽约为33 ( http: / / www. / wxc / )3 m ( http: / / www. / wxc / )
（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1 ( http: / / www. / wxc / )
因为+≥，
即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥ ( http: / / www. / wxc / )
当S取最小值时，有==，
得a=11，b= ( http: / / www. / wxc / )
此时l=2a=22≈31 ( http: / / www. / wxc / )1，h=b≈6 ( http: / / www. / wxc / )4 ( http: / / www. / wxc / )
故当拱高约为6 ( http: / / www. / wxc / )4 m、拱宽约为31 ( http: / / www. / wxc / )1 m时，土方工程量最小 ( http: / / www. / wxc / )
解法二：由椭圆方程+=1，得+=1 ( http: / / www. / wxc / )
于是b2=· ( http: / / www. / wxc / )
a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121，
即ab≥99，当S取最小值时，
有a2－121= ( http: / / www. / wxc / )
得a=11，b=，以下同解法一 ( http: / / www. / wxc / )
小结:
在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：
1 ( http: / / www. / wxc / )客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决 ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / )四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一 ( http: / / www. / wxc / )
3 ( http: / / www. / wxc / )注意用好以下数学思想、方法：
①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想 ( http: / / www. / wxc / )
除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法 ( http: / / www. / wxc / )在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力 ( http: / / www. / wxc / )
4 ( http: / / www. / wxc / )求轨迹方程的主要方法有: 直接法、定义法、代入法、参数法 ( http: / / www. / wxc / )
5 ( http: / / www. / wxc / )求出轨迹方程后要注意检验, 以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根 ( http: / / www. / wxc / )
6 ( http: / / www. / wxc / )向量的坐标形式及应用是解析法的重要补充, 应注意把二者有机地结合起来 ( http: / / www. / wxc / )
作业：
1 ( http: / / www. / wxc / )若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为
A ( http: / / www. / wxc / )1 B ( http: / / www. / wxc / )－1 C ( http: / / www. / wxc / )－ D ( http: / / www. / wxc / )以上都不对
答案：C ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / )以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
A ( http: / / www. / wxc / ) B ( http: / / www. / wxc / ) C ( http: / / www. / wxc / ) D ( http: / / www. / wxc / )
答案：D ( http: / / www. / wxc / )解析：
3 ( http: / / www. / wxc / )设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________ ( http: / / www. / wxc / )
答案：+y2=1 ( http: / / www. / wxc / )
4 ( http: / / www. / wxc / )（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件 ( http: / / www. / wxc / )
5 ( http: / / www. / wxc / ) 设为坐标原点, 为直线上动点, , , 求点的轨迹方程 ( http: / / www. / wxc / )
6 ( http: / / www. / wxc / ) 半径为R的圆过原点O, 圆与x轴的另一个交点为A, 构造平行四边形OABC, 其中BC为圆在x轴上方的一条切线, C为切点, 当圆心运动时, 求B点的轨迹方程 ( http: / / www. / wxc / )
教学后记：
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1椭圆
总第 课时 授课类型：复习课 授课时间：06年 月 日
教学目标 ( http: / / www. / wxc / )
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程
知识点归纳 ( http: / / www. / wxc / )
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（02.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e；
（2）,；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，
3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式
和 ( http: / / www. / wxc / )其中 ( http: / / www. / wxc / )
椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是 ( http: / / www. / wxc / )焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半） ( http: / / www. / wxc / )范围：，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c ，
焦半径：，.
4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元：；
题型讲解 ( http: / / www. / wxc / )
考点1：求椭圆的标准方程；
例1 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.
例2设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
考点2：研究椭圆的性质：
例3如下图，设E：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ. 求证：△PF1F2的面积S=b2tanθ.
例3已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项
考点3：直线与椭圆的问题：
例5 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使＋＝. (1) 求椭圆的离心率;(2) 若＝15, 求这个椭圆的方程.
课堂小结：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ==e.
（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.
（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.
（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.
（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.
（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
作业 ( http: / / www. / wxc / )
1. P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ ）
A B C D 16
答案: B ( http: / / www. / wxc / )解析: 设,列方程求解.
2. 椭圆内有一点P(1,-1),F为右焦点,椭圆上有一点M,使最小,则点M为( )
A C D
答案: A ( http: / / www. / wxc / )解析: 等于M到右准线的距离.
3.椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当
为钝角时,点P横坐标的取值范围是 __________.
答案：.
4.点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.
5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
6.直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
教学后记：