高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（2）
一．选择题：(4*10=40)
１、 是直线和直线垂直的（ ）
充分条件 必要条件 充要条件 既非充分也非必要条件
２、已知直线与过点的直线交于点，则分有向线段的比为 （ ）
3、直线在轴、轴上的截距分别是和，直线的方程是，若直线到的角是，则的值为 （ ）
和
4、若方程仅表示一条直线，则的取值范围是（ ）
５．已知，双曲线上一点M到F（7,0）的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则｜ON｜＝（ ）
、 、 、 、
6、已知 是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上的点，当的面积最大，则有（ ）
7、已知圆锥曲线的离心率e为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )
1 2 3 4
8、双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为，则的取值范围是（ ）
9、. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线和直线的距离相等，则动点所在曲线形状为 （ ）
A B
C D
10、过椭圆左焦点且倾斜角为60°的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率等于 （ ）
11、已知向量，与的夹角为，则直线
与圆的位置是（ ）
相切 相交 相离 随的值而定
12、已知点在双曲线的右支上，是双曲线两个焦点，则△的内切圆的圆心的横坐标是（ ）
填空题：(4*5=20)
13、与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 。
14、圆锥曲线的一个焦点是，相应的准线方程为，且曲线经过点，则曲线的形状是 。
15、13、Ｅ，Ｆ是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点Ｐ在上，则角的最大值是 。
16、正三角形中，的中点，则以为焦点且过的双曲线的离心率是 。
三、解答题：(5*8=40)
17、直线经过两条直线：和的交点，且分这两条直线与轴围成的面积为两部分，求直线的一般式方程。
18、设直线与圆交于两点，且关于
直线对称，求不等式组表示平面区域的面积。
19、如果探照灯的轴截面是抛物线（如图），表示平行于对称轴的光线经抛物线上的点的反射情况，设点的纵坐标为，当取何值时，从入射点到反射点的光线路程最短？
20、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。
21、设抛物线，若椭圆的左焦点和相应的准线分别与抛物线的焦点和准线重合。椭圆的短轴的一个端点为，且线段的中点到定点的距离的最小值为，试求实数的值以及此时的椭圆方程。
22、已知椭圆与射线y＝（x交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C。
（1）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值。
（2）求三角形ABC的面积最大值。
直线与圆锥曲线（2）参考答案
选择题：
1、A 2、C 3、B 4、D 5、B 6、A
7、C 8、B 9、C 10、D 11、C 12、B
填空题：
13、 14、椭圆
15、 16、
解答题：
17：解:由
得两直线交点的坐标 ，
又由题意知S1：S2=2：3或3：2
所以 由A （－4,0），B（6,0） 根据定比分点公式得
M(0,0)或M（2,0），所以所求直线的方程就是经过P和M两点的直线方程
所以所求直线的一般式方程是
18： 解：由题意直线与圆交于两点，且关于直线对称，则与两直线垂直，可求出，又不等式组所表示的平面区域应用线线规划去求，易得面积为
19、解:设，则直线方程为：，由
得，当且仅当
当入射点，反射点时最短。
20、解：由＝得，所以椭圆方程设为
设直线，由 得：
设，则是方程的两个根
由韦达定理得 所以
＝
当且仅当时，即轴时取等号
所以，所求椭圆方程为
21、解：已知焦点，准线，设椭圆半焦距为，半短轴长为，
椭圆中心，又即
①当即时，此时
②当时，即，此时由于，所以无最小值。
所以，所求此时椭圆方程为。
22、解：（！）由题意得，设的斜率为，则的斜率为－
所以 代入得，又
同理
为定值
设方程为 得
得
到的距离为
所以
当时，即时“＝”成立，此时成立。
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（8）
一、选择题
1.（2004年全国·理7）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ）
A． B． C． D．4
2（2004年全国·理8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
3.（2004年全国·理4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2004年全国·文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
5.（2004年全国·理8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6.（2004年全国·理9）已知平面上直线l的方向向量e=点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O′和A′，则e，其中=（ ）
A． B． C．2 D．－2
7.（2004年全国·理1）设集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.（2004年全国·理4）圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.（2004年全国·理7）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
10.（2004年全国理3）过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11.（2004年全国文7）已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（ ）
A． B． C ． D．
二、填空题
12.（2004年全国·理14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .
13.（2004年全国文16）设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 .
14.（2004年全国·理16）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .
15.（2004年湖南高考·文史类第15题）F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________.
16.（2004年湖南高考·理工类第16题）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 .
三、解答题
17.已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为.
（１） 求证：直线必过定点;
（２）分别以和为直径作圆，求两圆相交弦中点的轨迹方程．
18设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点. 四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．
19.椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．
20.已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围．
.
直线与圆锥曲线（8）参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.C 4.B 5.B 6. D 7. B 8.D 9.C 10.A 11.A
二、填空题
12.x2 + y2 = 4 13.1 14. 15.2 16.
三、解答题
17.解：（１）由题可知，设，，直线AB的方程为，
则
（1）—（2）得，即，代入方程，解得
同理可得：的坐标为.
直线的斜率为，方程为，
整理得,
显然，不论为何值，均满足方程，
所以直线恒过定点 .
（２）过作准线的垂线，垂足分别为. 由抛物线的性质不难知道：准线为圆与圆的公切线.
设两圆的相交弦交公切线于点，则由平面几何的知识可知：为的中点. 所以
，
即 .
又因为公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为
,
所以，公共弦所在直线的方程为 ,
即 ,
所以公共弦恒过原点.
根据平面几何的知识知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形，即在以为直径的圆上．
18.解：以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设 N的坐标为，则切线DC的方程为：，
由此可得
AC的方程为
BD的方程为
将两式相乘得：，
即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）．
19.解：（１）设椭圆的方程为，则由
，椭圆方程为．
（２）因为在椭圆上，故
．
由平面几何知识，即，所以． 记，设且，则
，
所以在上单调递减，于是，当时原式取最大值，当时，原式取最小值．
20. 解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，=2c=4,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得
4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线(1)
一、选择题
1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
2.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
3. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
(A) (B) (C) (D)1
4. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
5. （山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
6. (全国卷Ⅰ)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.（湖南卷）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为( ）
A．30o B．45o C．60o D．90o
9. （福建卷）已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）
A． B． C． D．5
10. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
二、填空题
11.已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,
②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.
12.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.
13.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.
三、解答题
14.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
15.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.
16.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.
17.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.
18.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
19. 已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
20.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
直线与圆锥曲线(1) 参考答案
一、选择题
1.. C 2. B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9. C 10.B
二、填空题
11.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.
答案：②③④
12.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.
答案：18或50
13.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).
即kAB=8.
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：8x－y－15=0
三、解答题
14.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）?
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
15.解：(1)如图，设双曲线方程为=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.
所以所求双曲线方程为=1.
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有
，∴kl=
∴l的方程为y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x2－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.
16.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.
(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.
设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m2+2km=2. ②
把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,
由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).
17.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，
P(x1,y1),Q(x2,y2)
由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,
Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,
由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①
又22,
将m+n=2,代入得m·n= ②
由①、②式得m=,n=或m=,n=
故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1.
18.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
19.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
20.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得
①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0
(k≠0)
即k=y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为
y－y0=－(x－4)(k≠0) ③
将③代入椭圆方程=1,得
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0.(当k=0时也成立)
(以下同解法一).
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线(3)
一．选择题
1．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．设椭圆＝1的长轴两端点为M、N，异于M、N的点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为（ ）
A．－ B．－ C． D．
3．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是（ ）
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b的值为（ ）
A．－ B． C．± D．±2
5．曲线y＝x2－｜x｜－12与x轴相交，则两交点间的距离为（ ）
A．8 B．0 C．7 D．1
二．填空题
6．一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，则这个三角形的面积是_____．
7．已知(4，2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_____．
8．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若｜AB｜＝7，则此直线的方程为______．
9．已知双曲线x2－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______．
三．解答题
10、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
1、 已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
12、如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
13、(2004年北京春卷18) 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标；
（III）求BC所在直线的方程．
14、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若，求直线PQ的方程；
（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明．
15、(2004年全国卷Ⅳ21)设椭圆的两个焦点是与(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP1与直线PF2垂直. (Ⅰ)求实数m的取值范围; (Ⅱ)设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q , 若求直线PF2的方程.
16、(2004年湖北卷)直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值．若不存在，说明理由．
17．求过点(0，2)的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程．
18．已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1，点A(3，0)，B(0，3)，求C与线段AB有两个不同交点的充要条件(用m的取值范围表示)．
19．如图8—4，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r) (b＞r＞0)．
图8—4
(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(Ⅱ)直线y＝k1x交椭圆于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2＞0)；直线y＝k2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4＞0)．
求证：；
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|＝|OQ|．
(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力．
20.已知双曲线x2－＝1与点P(1，2)，过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点
(1)求直线AB的方程．
(2)若Q(1，1)，证明不存在以Q为中点的弦．
21.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x＋y－1＝0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．
22.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
23.以椭圆＝1(a＞1)的短轴的一个端点B(0，1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在．如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形?如果不存在，请说明理由．
24.已知椭圆的一个焦点F1(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足：，e，成等比数列．
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝－
平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
直线与圆锥曲线(3)参考答案
一．选择题
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A
二．填空题
6.48 7.x＋2y－8＝0 8.y＝±(x＋2) 9.6
三．解答题
10.解:由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0,
由方程组,消去y,
得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0) ,
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4, 点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8 .
11.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线 1C .
当l的斜率存在时， 设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ①
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程 ① 有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,
故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程 ①有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程 ①无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 , ∴2(x1－x2)=y1－y1 , 即kAB==2
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.
(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 (－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
(3)解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得 , ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y0(－)=0(k≠0) 即k=y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为y－y0=－(x－4)(k≠0) ③ ,
将③代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解析得k=y0.(当k=0时也成立)
(以下同解析法一).
13.解: （I）由点A（2，8）在抛物线上，有, 解得. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
设点M的坐标为，则 解得
所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．
设BC所成直线的方程为
由消x得 所以
由（II）的结论得 , 解得 ,因此BC所在直线的方程为 即 .
14.解:（1）由题意，可设椭圆的方程为．由已知得
解得. 所以椭圆的方程为，离心率．
（2）〖解〗由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为．由方程组
得
依题意，得．
设，则 ， ① ． ②
由直线PQ的方程得．于是
． ③
∵，∴． ④
由①、②、③、④得，从而．
所以直线PQ的方程为或
（3）证明：．由已知得方程组
注意，解得 因，
故 ．
而，所以.
15.解:(Ⅰ) 由题设有m>0， .设点P的坐标为由得
, 化简得 ① 将①与联立,解得 由m>0. 得m≥1. 所以m的取值范围是m≥1.
(Ⅱ)准线L的方程为设点Q的坐标为则
② 将代入②,化简得
由题设得 无解,
将代入②,化简得 由题设得 解得m=2.
从而得到PF2的方程,
16.解:（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得．…………① 依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，得
，
，
，
． 解得的取值范围为．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得
， ．………………②
假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得
．即．
整理得 ．……………………③
把②式及代入③式化简得 ．
解得或（舍去）．
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
17.解:设直线方程为y＝kx＋2，
把它代入x2＋2y2＝2
整理得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0
要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即
k＜－，
设直线与椭圆两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标为C(x，y)，则
x＝
y＝
从参数方程 (k＜－或k＞)
消去k得 x2＋2(y－1)2＝2
且｜x｜＜，0＜y＜．
综上，所求轨迹方程为，其中，
18.解:线段AB所在直线方程为x＋y＝3，与方程y＝－x2＋mx－1消去y得：
x2－(m＋1)x＋4＝0
曲线C与线段AB有两个交点的充要条件是该方程在[0，3］上有两个不同解，
令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则
19.解(1) 椭圆方程为．
焦点坐标为F1(－)，F2()，
离心率e＝．
(Ⅱ)【证明】将直线CD的方程y＝k1x代入椭圆方程，得
b2x2＋a2(k1x－r)2＝a2b2，
整理得(b2＋a2k12)x2－2k1a2rx＋(a2r2－a2b2)＝0．
根据韦达定理，得x1＋x2＝
所以 ①
将直线GH的方程y＝k2x代入椭圆方程，同理可得
． ②
由①，②得．
所以结论成立．
(Ⅲ)【证明】设点P(p，0)，点Q(q，0)．
由C，P，H共线，得，解得p＝．
由D，Q，G共线，同理可得q＝．
由变形得
－，
即－．
所以|p|＝|q|，即|OP|＝|OQ|．
所以结论成立．
20.解(1)设过P(1，2)点的直线为y－2＝k(x－1)代入双曲线方程得
(2－k2)x2＋(2k2－4k)x－(k2－4k＋6)＝0
由AB中点为P(1，2)
∴ x1＋x2＝＝2，解得k＝1，
又k＝1时，使Δ＝16＞0，从而直线AB方程为x－y＋1＝0
(2)【证明】按同样方法求得k＝2，而k＝2使此时Δ＜0，所以直线CD不存在
21.解:设椭圆方程＝1(a＞b＞0)
∵e＝ ∴a2＝4b2，即a＝2b
∴椭圆方程为＝1
把直线方程代入化简得5x2－8x＋4－4b2＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝(4－4b2)
∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝(1－4b2)
由于OM⊥ON ∴x1x2＋y1y2＝0
解得b2＝，a2＝
所以椭圆方程为x2＋y2＝1．
22.解:设B、C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC方程为x＝－ky＋m代入y2＝4x得，
y2＋4ky－4m＝0，
设B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，则
y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m
∵点M(x0，y0)在直线l上，
∴－2k＝k(2k2＋m)＋3，
∴m＝－
又BC与抛物线交于不同两点，
∴Δ＝16k2＋16m＞0，
把m代入化简得 ＜0
即＜0，
解得－1＜k＜0．
23.解:由题意可知：直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴．故可设BC边所在直线方程为y＝kx＋1(不妨设k＜0，则BA边所在直线方程为y＝－x＋1．
∵ 消去y得：
(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0
解得x1＝0，x2＝－
∴｜BC｜＝｜x1－x2｜＝
用－代替上式中的k得｜AB｜＝
由｜BC｜＝｜BA｜，得｜k｜(a2＋k2)＝1＋a2k2
注意到k＜0得
(k＋1)[k2＋(a2－1)k＋1］＝0 ①
当(a2－1)2－4＜0即1＜a＜时，①有惟一解k＝－1；
当a＝时，①有惟一解k＝－1；
当a＞时，①有三个不同的解．
综上所述：当1＜a≤时，只能作出一个三角形；当a＞时，能作出三个三角形．
24.解:依题意e＝．
(1)∵－c＝
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为y＝－．
∴椭圆中心在原点，所求方程为x2＋y2＝1
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x＝－平分，∴直线l的斜率
存在．设直线l：y＝kx＋m
由 消去y，整理得
(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0
即m2－k2－9＜0 ①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)
∴，
∴m＝ ②
把②代入①式中得
－(k2＋9)＜0
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角α∈(，)∪(，)
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（4）
一．选择题
1已知椭圆的离心率,则实数的值为（ ）
A,3 B,3或 C, D,或
2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为（ ）
A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲
线的准线方程是（ ）
A, B, C, D,
4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是（ ）
A,(0,0) B, C, D,
5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段
BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是（ ）
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线
二．填空题
6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离
为,则此椭圆的方程为 .
7与方程的图形关于对称的图形的方程是 .
8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,
且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .
9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,
则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .
三．解答题
10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,
且满足,.
(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;
(II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E,
使得是等边三角形,求的值.
11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,
O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲
线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.
(I)求证:; (II)设,直线与双曲线C的左,右两分
支分别相交于点D,E,求的值.
12已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A,
B在双曲线上.
(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只
有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.
直线与圆锥曲线（4）参考答案
一．选择题
1 B. 2 C. 3 A. 4 B. 5 D.
二．填空题
6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,
,所以所求的椭圆方程为.
7设点P是所求曲线上任一点,它关于对称的点在上,
有,即.
8设点P,M,有,,得,
而,于是得点M的轨迹方程是.
9由条件可得或,设P代入可知交点的轨迹是两个圆.
三．解答题
10解:(I) 设点M,由,得P
由,得所以.又点Q在轴的正半轴上,得.
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(II)设直线:,其中,代入,整理得 ①
设A,B,,
=,有AB的中点为,
AB的垂直平分线方程为,令,,有E
由为正三角形,E到直线AB的距离为,知.
由,解得,所以.
11(I)证明:直线的方程为:
由,得P,又成等差数列,
得A(,0),有,
于是,,因此.
(II)由,得,:
由,消去,整理得 ①
设D,E,由已知有,且,是方程①的两个根.
,,,解得或.
又,得=,因此.
12解:(I),,设则
,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹
方程为和()
(II)直线:,:,D(1,4),椭圆Q:
①若过点或D,由,D两点既在直线上,又在椭圆Q上,但不在的轨迹上,
知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.
②若不过,D两点().则与必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,
所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与Q有且只有一个公共点,
把代入椭圆的方程并整理得
由,得.
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线(5)
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.如果三点在同一条直线上，那么的值是（ ）
A.-6 B.-7 C.-8 D.-9
2．有5辆6吨的汽车和4辆4吨的汽车，要运送最多货物，完成这项运输任务的线性目标函数是（ ）
A． B． C． D．
3.曲线与曲线一定有（ ）
A.相等的长轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.相同的准线
4.将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（ ）
A. B. C. D.
5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是（ ）
6.双曲线的渐近线为,且过点,则此双曲线的共轭双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7．已知直线相切，则三条边长分别为的三角形 （ ）
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
8.一动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必过定点（ ）
A. B. C. D.
9.已知,直线：，直线：
，与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
10．椭圆的两个焦点三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11.已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则式子
的值一定等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于M、N两点，
MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上，则此抛物线方程为__________________.
14. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则
的值是 .
15.若直线沿轴负方向平移3个单位，再沿轴正方向平移一个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率为.
16.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距
离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：
双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确
的结果填在下面空格内.
_____________________________________________________________________________.
三、解答题（共74分）
17.（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为和，直线是椭圆的一条准线.
（1）求椭圆的方程；
（2）又设在此椭圆上，且，求的值.
18．（本小题满分12分）已知圆，
（1）若为圆上任一点，，求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值.
19．（本小题满分12分）已知点、，为坐标原点.
（1）若点在线段上，且，求的面积；
（2）若原点关于直线的对称点为，延长到，且.已知直线：经过点，求直线的倾斜角.
20．（本小题满分12分）如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为8.
（1）求该抛物线方程； P
（2）如果过的直线交抛物线于、两点， A
且，求直线倾斜角的取值范围. O F
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题
满分5分，第2小题满分7分.
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要
求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱
宽是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设
计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的
土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.）
22．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第
3小题满分6分.
在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点.已知，且
点的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存
在，说明理由：若存在，求的取值范围.
直线与圆锥曲线(5) 参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
B
B
A
B
B
D
B
B
B
D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．或 14． 15． 16．
三、解答题（74分）
17．（1）； （2）。
18．（1），；（2），；（3）
19．（1）解：设，则，因为，故
；
（2）
20.（1）解：设点到抛物线的准线：的距离为，由抛物线的定义知，（1分）
（3分）
抛物线的方程为.（4分）
（2）解法一：由（1）得，设直线的方程为，显然，把直线方程代入抛物线，得，
即,(10分)
直线斜率的取值范围为,
所以，直线倾斜角的取值范围为.(12分)
21．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（2）[解一]
由椭圆方程，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程，得 于是
得以下同解一.
22．[解]（1）
设得
所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.
（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（6）
一. 选择题
1. 直线绕原点按逆时针方向旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ）
A. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，不过圆心
C. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点
2. 直线l过点P（0，2），且被圆截得弦长为2，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，定圆半径为a，圆心为（b，c），则直线与直线的交点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（，0），B（0，），若点M（x，y）满足，则M点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 直线
5. 直线：过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8. 与直线平行的抛物线的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
二. 填空题
10. 已知P（）为椭圆上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点Q在F1P上，且，若，则实数_________
11. 若动圆M恒过定点B（－2，0），且和定圆C：外切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____________（M为圆心）
12. 双曲线上一点P到左、右焦点的距离之比为1：2，则点P到右准线的距离是______________
13. 设抛物线的顶点坐标为（2，0），准线方程为，则它的焦点坐标为_______
14. 对任意实数k，直线与椭圆恒有公共点，则_______
三. 解答题
15. 过点P（3，－1）引双曲线的弦AB，使其在点P被平分，求此弦所在直线的方程。
16. 直线与双曲线相交于A、B两点
（1）当k为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上；
（2）当k为何值时，A、B两点在双曲线的两支上；
（3）当k为何值时，以A、B为直径的圆过坐标原点。
17. 设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为（），当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。
直线与圆锥曲线（6）参考答案
一. 选择题
1. C 2. D
3. C（如图可知，圆心在第二象限，且a、b、c满足，取c＝1，a＝2，b＝－3，解方程组，，选C）
4. A 5. D 6. C
7. D（设双曲线方程，设，则相减得，，又，又，，又）
8. D 9. B
二. 填空题
10. 11. 12. 6
13. （5，0） 14. [-4,4]
三. 解答题
15. （用代点法较简便）
16. 由消去y，得
当时，由且
（1）当交点A、B在同一支上，则
或，又
（2）A、B在双曲线两支上时，，
（3）……
17. （1）设l方程为，即代入椭圆方程
得
设，，则，
，（）
P为AB中点，设
<1>
<2>
得：
又，
即
（2）点P轨迹为
当时，
当时，
高二数学同步测试
直线与圆锥曲线（7）
一．选择题
1. 直线到直线的角是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于x、y的二次方程的轨迹存在，则它一定表示（ ）
A. 椭圆与圆 B. 椭圆或双曲线
C. 抛物线 D. 双曲线
3. 椭圆上有一点P到左准线的距离是2.5，那么P点到右焦点的距离是（ ）
A. 8 B. 12.5 C. 4.5 D.
4. 双曲线的两条准线三等分焦距，则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线和圆上最近两点间的距离是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线的实轴长为4，AB为左焦点的弦，，为右焦点，则的周长是（ ）
A. 14 B. 11 C. 5 D.7
7. 已知A、B是抛物线上两个点，O为坐标原点，若且抛物线的焦点恰为的垂心，则直线AB的方程是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
8. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_________。
9. 中心在原点，一个焦点是，一条渐近线是直线的双曲线方程是______
三．解答题
10. 如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
11. （2003年北京春季高考文史类）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹。
12. 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由。
13. 抛物线y＝x2上不存在关于直线y＝m(x－3)对称的两点，求m的范围。
14. 已知⊙C的圆心在抛物线x2＝2py(p>0)上运动，且⊙C过A（0，p）点，若MN为⊙C在x轴上截得的弦，设|AM|＝l1，|AN|＝l2，求式子
15. 已知抛物线y＝(t2＋t＋1)x2－2(a＋t)2x＋t2＋3at＋b，对任意实数t，抛物线总过定点P（1，0），求抛物线与x轴交点的横坐标的取值范围。
16. 如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若ΔAMN为锐角三角形，|AN|＝3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
直线与圆锥曲线（七）参考答案
一．选择题
1. C 2. D 3. A 4. D
5. D
提示：圆心（3，0）到抛物线上任一点的距离：
6. A 7. C
二．填空题
8.
9.
提示：由题意可设双曲线方程为
即
再由焦点坐标为，解得
三．解答题
10. 解法一：设AB两点为（）
由知点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
方程：
法二：设OA的斜率为k，
设
化简代入即可得方程。
法三：由法二得AB方程，令y＝0，得x＝4p
故AB过定点（4p，0），又
?11.解：设动点P的坐标为（x，y）
?12. 解：假设存在同时满足题中两条件的双曲线。
（1）若双曲线焦点在x轴上
设动点P的坐标为（x，y）
此时存在双曲线方程为
?13.解：若m＝0，曲线y＝x2上没有关于直线y＝0对称的两点
若l与抛物线有两交点，则
?
?14.解：根据题意，⊙C方程可设为
15.解：∵抛物线过P（1，0）
这个关于t的方程的解集是R
设抛物线与x轴的另一交点为（x，0）
16. 解：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的中垂线为y轴，点O为坐标原点。
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一部分，其中A、B分别是C的端点。
由点B在曲线段C上
综上得曲线段C的方程为
