2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第八章《圆锥曲线》
一、选择题（共26题）
1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。
2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C
3．（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D. 4
解析：依题意可知 ，，故选C.
4．（湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a(0，b(0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x(0，y(0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得
故选D
5．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A.
6．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足 ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
【正确解答】设，，，
则
由，则，
化简整理得 所以选B
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.
7．（江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（ ）
A．（2，(2） B. (1，(2) C.（1，2） D.(2，2)
解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由
( ＝－4(y0＝(2，故选B
8．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
9．（辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A) (B) (C) (D)
【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。
10．（辽宁卷）曲线与曲线的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。
11．（辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
12．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程的两个根分别为2，，故选A
13．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.
14．（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是
A． B． C． D．
解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.
15．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C
16．（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
（A） (B) (C) (D)
解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
17．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为（a(b(0），则有，据此求出e＝，选B
18．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)2
解：不妨设双曲线方程为（a(0，b(0），则依题意有，
据此解得e＝，选C
19．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
20．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，
则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.
21．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72
解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选A.
22．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． B． C． D．
解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.
23．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
24．（浙江卷）抛物线的准线方程是
(A) (B) (C) (D)
解：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A
25．(重庆卷)设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，
|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数列
(（5－x1）＋（5－x2）＝2×(故选A
26．（上海春）抛物线的焦点坐标为( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B． 27．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A． 二、填空题（共7题）
28．（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｄ．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。
29．（山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，
则y12+y22的最小值是 .
解：显然(0，又＝4（）(8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。
30．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
解：已知为所求；
31．(上海卷)若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，
则、分别应满足的条件是 ．
解：作出函数的图象，
如右图所示：
所以，；
32．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.
解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.
33．(上海卷)若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
解：曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是[－1，1].
34．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;
解析：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴ =35
三、解答题（共28题）
35．（安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，
又，由得：，解得，则，所以为所求。
36．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x(0）
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），
B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1(
依题意可知方程1(有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|(1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝(2
综上可知的最小值为2
37．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以 解得，
所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
38．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得 解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为 令得
点G横坐标的取值范围为
39．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，
记中点则
线段AB的中点N在直线上，
，或
当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。
直线AB的方程是或
40．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.
故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.
∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.
又点M异于顶点A、B，∴－2
从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入，化简得·＝（2－x0）.
∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，
而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，
∴，即y2＝
又点M在椭圆上，则，即
于是将、代入，化简后可得－＝.
从而，点B在以MN为直径的圆内。
41．（湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
由消去得…①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
由 消去y得. ………………②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. …………………③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得 ……………………④
又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以
，
则 …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因为C2的焦点在直线上，所以.
或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
解法二： 设A、B的坐标分别为，．
因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得． ……………⑤
因为，所以． …………⑥
将②、③代入⑥得 ……………⑦
由⑤、⑦得即
解得．将代入⑤得 或．
由上知，满足条件的、存在，且或，
42．（湖南卷）已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
43．（江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6
∴,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为
44．（江西卷）如图，椭圆Q：（a(b(0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点
求点P的轨迹H的方程
在Q的方程中，令a2＝1＋cos(＋sin(，b2＝sin(（0((( ），确定(的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
解：如图，（1）设椭圆Q：（a(b(0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1(当AB不垂直x轴时，x1(x2，
由（1）－（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
(b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2(当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l
的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos(＋sin(，b2＝sin(（0(((）
则＝＝2sin（＋）
当(＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1
设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积
S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|
设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝
令t＝k2＋1(1，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。
45．（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于
两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，
．设轨迹的最高点和最
低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？
解：如图，（1）设椭圆Q：（a(b(0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1(当AB不垂直x轴时，x1(x2，
由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
(b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2(当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为轨迹H的方程可化为：
(M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则
tan＝＝，即a2＝3b2. 由于，
，则1＋cos(＋sin(＝3 sin(，得(＝arctan
46．（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
【解析】(I)证明1:
整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得: ……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得 .
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得 .
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
47．（辽宁卷）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．
（1）证明线段是圆的直径；
（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．
解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
（I）证法一：
即
整理得......................12分
设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段是圆的直径。
证法二：
即，
整理得①……3分
若点在以线段为直径的圆上，则
去分母得
点满足上方程，展开并将①代入得
所以线段是圆的直径.
证法三：
即，
整理得
以为直径的圆的方程是
展开，并将①代入得
所以线段是圆的直径.
（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则
，
又
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心到直线的距离为，则
当时，有最小值，由题设得(……14分
解法二：设圆的圆心为，则((
又
…………9分
所以圆心得轨迹方程为…………11分((设直线与的距离为,则
因为与无公共点.
所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为
将②代入③，有…………14分
解法三：设圆的圆心为，则
若圆心到直线的距离为，那么
又
当时，有最小值时，由题设得
48．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。
.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0设P(x0,y0),因P在C上,有0y=－ (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:
+ =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.
故||的最小值为3.
49．（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;
若150．（全国II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝＝
＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
51．（山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：，则
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
，
此时.所求的坐标为.
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
，分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
，.
，，，
又，，即
将代入得
，否则与渐近线平行。。
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，，则
,。
同理
.
即 。 （*）
又
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。
由韦达定理有：
代入（*）式得 所求Q点的坐标为。
52．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去y得关于x的方程：
由直线与椭圆相交于A、B两点，解得
又由韦达定理得
原点到直线的距离
.
解法1：对两边平方整理得：（*）
∵，
整理得：
又， 从而的最大值为，
此时代入方程（*）得
所以，所求直线方程为：.
解法2：令， 则
当且仅当即时，
此时. 所以，所求直线方程为
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，
由解法一知且，
解法1： =
.
下同解法一.
解法2：=
下同解法一.
53．(陕西卷) 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t
∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t).
∴ ,
∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t，
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t，
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
54．(上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
55．(上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
x=
得
x0=2x－1
y=
y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
56．（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知， 故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
57．（天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.
证明：（Ⅰ）由题设条件知，∽故
，即
因此，
在，
因此，
在中 ，.
于是，直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.
这时，直线BF与轴的交点为
(Ⅱ)由（Ⅰ），得直线BF得方程为且 ②
由已知，设、，则它们的坐标漫步方程组
③
由方程组③消去，并整理得
由式①、②和④，
由方程组③消去，并整理得 ⑤
由式②和⑤，
综上，得到
注意到，得
58．（天津卷）如图，双曲线的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线垂
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。
（I）解：根据题设条件，
设点则、满足
因解得，故
利用得于是因此，所求双曲线方程为
（II）解：设点则直线的方程为
于是、两点坐标满足
将①代入②得
由已知，显然于是因为得
同理，、两点坐标满足
可解得
所以，故直线DE垂直于轴。
59．（浙江卷）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
解：（I）过点、的直线方程为
因为由题意得 有惟一解，
即有惟一解，
所以 （），
故
又因为 即 所以
从而得 故所求的椭圆方程为
（II）由（I）得 故从而
由 解得所以
因为又得
因此
60．(重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，则右准线方程为.因此，由题意应满足即解之得：。即从而对任意
（II）高点的坐标为，则由及椭圆方程易知因，故
的面积为，从而。令。由得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。
现在由题设取则是增数列。又易知。故由前已证，知，且
61．(重庆卷)如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。
（Ⅰ）试证：；
（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；
证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得: ,由一元二次方程根与系数的关系得．
（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为： ，……①
类似地，可求得在处的切线的方程为：，……②
由②－①得：，……③
将③代入①并注意得交点的坐标为．
由两点间的距离公式得：
．
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
62．（上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. .
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）.
.
得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.
圆锥曲线定义的应用
一、基本知识概要
知识精讲：
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；
涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， }的点的轨迹。
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| ，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系
例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|MO2|= -3∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。所以M的轨迹方程为 （x<0）
[思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆 （a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A
等腰三角形APF1中，
选A
例２：已知双曲线（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积．
解：在ΔF1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sinθ ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cosθ ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a2 ③ 由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=④ 将④①代入得ＳΔF1PF2＝b2=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot．
[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理
例３：已知Ａ（，３）为一定点，Ｆ为双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标．
解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小。此时Ｍ（，３）。
[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值和最小值。
解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ１｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-ex, 则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=a2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值为a2，最小值为b2。
例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜
＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因而圆P0和准线l相切．
[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．
变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．
取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．
在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线
故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。
解：设下顶点为A(x,y)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为F(x0,y0)
则。由椭圆定义
将代入即可得椭圆方程为：
课堂小结
圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
四、作业布置：优化训练。
