苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《5.1.2瞬时变化率—导数》学案 (含答案)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《5.1.2瞬时变化率—导数》学案 (含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 180.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 11:02:17 | ||
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文档简介
§5.1.2 瞬时变化率—导数
目标要求
1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2、理解导数的概念，导数的几何意义．
3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：导数的概念，导数的几何意义；
难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．
教学过程
基础知识积累
1. 曲线上某点处的割线与切线
名称 割线 切线
定义 设点Q为曲线C上不同于P的一点，则_______称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处_________的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为_____________ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，____________________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．
2．瞬时速度和瞬时加速度
(1)瞬时速度
如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于_______，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；
(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．
【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
某点处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当_______________时，比值＝___________无限趋近于一个_______，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_______．可用符号“→”表示“__________”
几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点___________处的__________
【友情提醒注意】 (1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．
(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).
(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
4．导函数
(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是__________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作______．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的________．
【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．
【课前预习思考】
(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？
(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？
(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．
B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．
C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
题2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于 ( )
A．2 B．8 C．16 D．24
题3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
题4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42 m/s2，其实际意义是________________________．
题5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．
【课堂题组训练】
类型一 利用定义求导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题6.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．
题7．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，→________．
题8．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
题9.求函数y＝f(x)＝3x－在x＝1处的导数f′(1).
类型二 曲线上一点处的切线方程(数学运算)
【典例】题10.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．
题11．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．
题12.已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．
类型三 求切点的坐标(数学运算)
【典例】题13.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
题14.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.
(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．
【课堂检测达标】
题15.已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．135° D．165°
题16.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．
题18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.
§5.1.2 瞬时变化率—导数答案
目标要求
1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2、理解导数的概念，导数的几何意义．
3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：导数的概念，导数的几何意义；
难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．
教学过程
基础知识积累
1. 曲线上某点处的割线与切线
名称 割线 切线
定义 设点Q为曲线C上不同于P的一点，则直线PQ称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．
2．瞬时速度和瞬时加速度
(1)瞬时速度
如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；
(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．
【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
某点处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”
几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
【友情提醒注意】 (1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．
(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).
(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
4．导函数
(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．
【课前预习思考】
(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？
提示：不是．如y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线有2个公共点．
(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？
提示：①求Δy；②求；③当Δx→0时，＝→A(常数)，则常数A即为f(x)在x＝x0处的导数．
(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
提示：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数f′(x)在x＝x0处的函数值，而不是f(x0)的导数．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．
B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．
C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
【答案】ABD
【解析】A.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．
B.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．
C.√.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
题2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于 ( )
A．2 B．8 C．16 D．24
【解析】选D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，
所以＝24＋12Δt＋2(Δt)2，当Δt→0时，→24.
题3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
【解析】选B.切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.
题4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42 m/s2，其实际意义是________________________．
【解析】物体在5 s时的瞬时加速度为42 m/s2，即此刻每经过1 s，物体运动的速度增加42 m/s.
答案：物体在5 s时的瞬时加速度是42 m/s2
题5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．
【解析】＝＝＝Δx＋4，
当Δx→0时，Δx＋4→4，所以y＝x2＋1在x＝2处的导数为4.
答案：4
【课堂题组训练】
类型一 利用定义求导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题6.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．
【思路导引】瞬时变化率 ，Δx→0 Δy，Δx.
【解析】Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，＝＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
答案：8
题7．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，→________．
【思路导引】 (x)在x＝x0处的导数为11 f′(x0)＝11.
【解析】当Δx→0时，＝·(－2)→－2·f′(x0)，
又f′(x0)＝11，所以→－22.
答案：－22
题8．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【思路导引】导数 ，Δx→0 Δx，Δy.
【解析】＝＝3－Δx，当Δx→0时，→3.
【解题策略提醒】
求导时应关注的两点技巧
(1)写出函数，确定x0的值．
(2)分析Δx趋于0时，在中，只要有意义，就可以把“Δx趋于0”看作“Δx＝0”以确定的值．
提醒：函数f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)就是其在点(x0，f(x0))处的瞬时变化率．
题9.求函数y＝f(x)＝3x－在x＝1处的导数f′(1).
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
所以＝＝3＋，当Δx→0时，→5，所以f′(1)＝5.
类型二 曲线上一点处的切线方程(数学运算)
【典例】题10.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．
【思路导引】切线方程 切点的坐标，斜率 横坐标为1的点处的导数 ，Δx→0.
【解析】＝＝
＝2ax＋b＋a·Δx，当Δx→0时，→2ax＋b，
所以f′(x)＝2ax＋b，所以f′(1)＝2a＋b，依据题意可得解得a＝－4，b＝12.
题11．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．
【思路导引】先求函数值的增量Δy，再求，当Δx→0时，得f′(x).
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋ (Δx)2，所以＝2＋Δx，当Δx→0时，f′(1)＝2.
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
【解题策略提醒】
求曲线上一点处切线方程的三个步骤
提醒：注意问题是求在某一点处的切线方程还是求过某一点处的切线方程．
求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0).
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
题12.已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．
【解析】因为＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.因为 x＝1，所以f(1)＝2，切点为(1，2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
答案：4x－y－2＝0
类型三 求切点的坐标(数学运算)
【典例】题13.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
【思路导引】切线互相平行 斜率相等 在x0处的导数相等 ，Δx→0 检验．
【解析】对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
＝ eq \f([（x0＋Δx）2－1]－（x－1）,Δx) ＝＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，→2x0.即y＝x2－1在x＝x0处的导数y′＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
＝ eq \f([1－（x0＋Δx）3]－（1－x）,Δx) ＝ eq \f(－3xΔx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx) ＝－3x－3x0·Δx－(Δx)2，
当Δx→0时，→－3x，即y＝1－x3在x＝x0处的导数y′＝－3x，
又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.
当x0＝0时，两条切线的斜率k＝0，当x0＝－时，两条切线的斜率k＝－，均符合题意，
所以x0＝0或－.
【解题策略提醒】
切点问题的处理方法
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
提醒：函数在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率就是函数在x＝x0处的导数．
题14.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.
(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．
【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点．＝ eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
(3)因为切线与x轴正半轴成135°的倾斜角，所以k＝－1，则2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P.
【课堂检测达标】
题15.已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．135° D．165°
【解析】选C.因为点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，
所以＝＝－Δx－1，
当Δx→0时，－Δx－1→－1.所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
所以在点P处的切线的倾斜角为135°.
题16.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
【解析】＝＝＝，
当Δx→0时，→－.所以切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．
【解析】因为Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
所以＝6x0＋3Δx＋6，当Δx→0时，→6x0＋6，故6x0＋6＝0，所以x0＝－1，y0＝－2.
答案：(－1，－2)
题18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.
【解题指南】f′(6)即在点P处切线的斜率，f(6)可利用直线方程求值．
【解析】f(6)＋f′(6)＝－×6＋7＋＝.
答案：
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目标要求
1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2、理解导数的概念，导数的几何意义．
3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：导数的概念，导数的几何意义；
难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．
教学过程
基础知识积累
1. 曲线上某点处的割线与切线
名称 割线 切线
定义 设点Q为曲线C上不同于P的一点，则_______称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处_________的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为_____________ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，____________________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．
2．瞬时速度和瞬时加速度
(1)瞬时速度
如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于_______，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；
(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．
【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
某点处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当_______________时，比值＝___________无限趋近于一个_______，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作_______．可用符号“→”表示“__________”
几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点___________处的__________
【友情提醒注意】 (1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．
(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).
(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
4．导函数
(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是__________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作______．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的________．
【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．
【课前预习思考】
(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？
(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？
(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．
B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．
C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
题2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于 ( )
A．2 B．8 C．16 D．24
题3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
题4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42 m/s2，其实际意义是________________________．
题5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．
【课堂题组训练】
类型一 利用定义求导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题6.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．
题7．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，→________．
题8．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
题9.求函数y＝f(x)＝3x－在x＝1处的导数f′(1).
类型二 曲线上一点处的切线方程(数学运算)
【典例】题10.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．
题11．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．
题12.已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．
类型三 求切点的坐标(数学运算)
【典例】题13.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
题14.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.
(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．
【课堂检测达标】
题15.已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．135° D．165°
题16.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．
题18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.
§5.1.2 瞬时变化率—导数答案
目标要求
1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2、理解导数的概念，导数的几何意义．
3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：导数的概念，导数的几何意义；
难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．
教学过程
基础知识积累
1. 曲线上某点处的割线与切线
名称 割线 切线
定义 设点Q为曲线C上不同于P的一点，则直线PQ称为曲线的割线 当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线
斜率 设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝ 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．
2．瞬时速度和瞬时加速度
(1)瞬时速度
如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；
(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．
【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
某点处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”
几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
【友情提醒注意】 (1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．
(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).
(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
4．导函数
(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．
【课前预习思考】
(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？
提示：不是．如y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线有2个公共点．
(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？
提示：①求Δy；②求；③当Δx→0时，＝→A(常数)，则常数A即为f(x)在x＝x0处的导数．
(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)
提示：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数f′(x)在x＝x0处的函数值，而不是f(x0)的导数．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．
B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．
C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
【答案】ABD
【解析】A.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．
B.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．
C.√.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
D.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
题2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于 ( )
A．2 B．8 C．16 D．24
【解析】选D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，
所以＝24＋12Δt＋2(Δt)2，当Δt→0时，→24.
题3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
【解析】选B.切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.
题4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42 m/s2，其实际意义是________________________．
【解析】物体在5 s时的瞬时加速度为42 m/s2，即此刻每经过1 s，物体运动的速度增加42 m/s.
答案：物体在5 s时的瞬时加速度是42 m/s2
题5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．
【解析】＝＝＝Δx＋4，
当Δx→0时，Δx＋4→4，所以y＝x2＋1在x＝2处的导数为4.
答案：4
【课堂题组训练】
类型一 利用定义求导数(数学抽象、数学运算)
【典例】题6.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．
【思路导引】瞬时变化率 ，Δx→0 Δy，Δx.
【解析】Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，＝＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
答案：8
题7．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，→________．
【思路导引】 (x)在x＝x0处的导数为11 f′(x0)＝11.
【解析】当Δx→0时，＝·(－2)→－2·f′(x0)，
又f′(x0)＝11，所以→－22.
答案：－22
题8．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【思路导引】导数 ，Δx→0 Δx，Δy.
【解析】＝＝3－Δx，当Δx→0时，→3.
【解题策略提醒】
求导时应关注的两点技巧
(1)写出函数，确定x0的值．
(2)分析Δx趋于0时，在中，只要有意义，就可以把“Δx趋于0”看作“Δx＝0”以确定的值．
提醒：函数f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)就是其在点(x0，f(x0))处的瞬时变化率．
题9.求函数y＝f(x)＝3x－在x＝1处的导数f′(1).
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
所以＝＝3＋，当Δx→0时，→5，所以f′(1)＝5.
类型二 曲线上一点处的切线方程(数学运算)
【典例】题10.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．
【思路导引】切线方程 切点的坐标，斜率 横坐标为1的点处的导数 ，Δx→0.
【解析】＝＝
＝2ax＋b＋a·Δx，当Δx→0时，→2ax＋b，
所以f′(x)＝2ax＋b，所以f′(1)＝2a＋b，依据题意可得解得a＝－4，b＝12.
题11．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．
【思路导引】先求函数值的增量Δy，再求，当Δx→0时，得f′(x).
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋ (Δx)2，所以＝2＋Δx，当Δx→0时，f′(1)＝2.
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
【解题策略提醒】
求曲线上一点处切线方程的三个步骤
提醒：注意问题是求在某一点处的切线方程还是求过某一点处的切线方程．
求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0).
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
题12.已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．
【解析】因为＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.因为 x＝1，所以f(1)＝2，切点为(1，2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
答案：4x－y－2＝0
类型三 求切点的坐标(数学运算)
【典例】题13.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
【思路导引】切线互相平行 斜率相等 在x0处的导数相等 ，Δx→0 检验．
【解析】对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
＝ eq \f([（x0＋Δx）2－1]－（x－1）,Δx) ＝＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，→2x0.即y＝x2－1在x＝x0处的导数y′＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
＝ eq \f([1－（x0＋Δx）3]－（1－x）,Δx) ＝ eq \f(－3xΔx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx) ＝－3x－3x0·Δx－(Δx)2，
当Δx→0时，→－3x，即y＝1－x3在x＝x0处的导数y′＝－3x，
又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.
当x0＝0时，两条切线的斜率k＝0，当x0＝－时，两条切线的斜率k＝－，均符合题意，
所以x0＝0或－.
【解题策略提醒】
切点问题的处理方法
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
提醒：函数在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率就是函数在x＝x0处的导数．
题14.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.
(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．
【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点．＝ eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
(3)因为切线与x轴正半轴成135°的倾斜角，所以k＝－1，则2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P.
【课堂检测达标】
题15.已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为 ( )
A．30° B．45° C．135° D．165°
【解析】选C.因为点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，
所以＝＝－Δx－1，
当Δx→0时，－Δx－1→－1.所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，
所以在点P处的切线的倾斜角为135°.
题16.曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
【解析】＝＝＝，
当Δx→0时，→－.所以切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．
【解析】因为Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
所以＝6x0＋3Δx＋6，当Δx→0时，→6x0＋6，故6x0＋6＝0，所以x0＝－1，y0＝－2.
答案：(－1，－2)
题18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.
【解题指南】f′(6)即在点P处切线的斜率，f(6)可利用直线方程求值．
【解析】f(6)＋f′(6)＝－×6＋7＋＝.
答案：
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