苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.1 导数的概念【同步教案】（解析版）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.1 导数的概念【同步教案】（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 11:03:33 | ||
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文档简介
1.函数的平均变化率
函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无线趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率＝无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t-t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率
3.导数的定义
设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值 = 无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
导数概念及辨析
例题1
①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例题2
已知函数，则
A．0 B．
C．200 D．
训练1
已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x
C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x
训练2
已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数
A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数
C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
例题1
已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2
曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
训练1
曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
训练2
已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ）
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
2．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：
①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；
③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知在处可导,
A． B． C． D．
5．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．
C． D．2
6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数
A．在区间上的平均变化率 B．在处的变化率
C．在处的变化量 D．在区间上的导数
8．若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________．
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
三、解答题
13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
（1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
14．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
15．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
16．已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
1.函数的平均变化率
函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无线趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率＝无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t-t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率
3.导数的定义
设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值 = 无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
导数概念及辨析
例题1
①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于①中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；
对于②中，根据导数的定义：
（1）导数：，
（2）左导数：，
（3）右导数：，
函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；
对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为
（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.
故选：B.
【点睛】考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用.
例题2
已知函数，则
A．0 B．
C．200 D．
【答案】D
【分析】根据导数定义求结果.
【详解】
．选D.
【点睛】考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力
训练1
已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x
C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x
【答案】B
【分析】求函数在处的导数即可求解.
【详解】
∵，．令，得，
.故.
【点睛】考查导数定义的运用.求解在处的导数是解题的关键.
训练2
已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数
A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数
C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数
【答案】B
【分析】
利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数．
【详解】
若是周期函数，设其周期为，
则．
所以周期函数的导数仍是周期函数；
若是奇函数，则，
所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，
故选B．
【点睛】考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
例题1
已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为与恰有两个不同的交点的问题；分别在、和三种情况下，结合导数几何意义可确定切线方程，由数形结合的方式可求得结果.
【详解】
恰有个零点等价于与恰有两个不同的交点；
由解析式可得图象如下图所示：
①当时，与恰有两个不同交点，符合题意；
②当时，，设直线与相切于点，
，，又，，解得：，
此时，解得：；
由图象可知：当且仅当时，与恰有两个不同交点；
③当时，，设直线与相切于点，
，，解得：；
由图象可知：当时，与恰有两个不同交点，；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
例题2
曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【详解】
由已知得：曲线为;
则：对其进行求导得；
当时，
曲线在点处的切线方程为：
化简得：；
故选：D.
【点睛】考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法.
训练1
曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.
【详解】
的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
故选A.
【点睛】考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式.
训练2
已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据图象关于对称，求出的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出的值．
【详解】
由已知设是上任意一点，则关于的对称点为在的图象上，
所以， 所以，
设切点为 ，则，
故切线为，
由已知切线过，所以， 所以，
所以． 故．
故选：D．
【点睛】考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题．
一、单选题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ）
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
【答案】B
【分析】
首先根据题设条件，利用球的表面积公式表示出变化后的表面积为，球表面积的增加与半径的变化有关，再用变化后的表面积减去变化前的表面积即可求出增加的表面积，从而求得的表达式，选出答案.
【详解】
根据球的表面积公式，
可得，
故选：B．
【点睛】考查的是有关球的表面积公式的题目，正确解题的关键点是弄明白增量的意义以及球的表面积公式.
2．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：
①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；
③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】确定直线是点处的切线方程，再判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的关系可得结论．
【详解】
解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，
而时，，时，，∴直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，①正确；
由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，
且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，
当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，
可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，
则lnx≤x﹣1，
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；
y＝sinx的导数为y′＝cosx，
可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，
由y＝sinx和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，
直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx，故③正确；
y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，
令，则，时，，时，，即在上递减，在上递增，∴时，，即，
直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex不正确.
故选：B.
【点睛】考查导数新定义，解题关键是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧，函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论．
3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
【详解】
因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
故选：C.
【点睛】考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义.
4．已知在处可导,
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：化简即得解.
详解：由题得 ，
故答案为A
【点睛】考查函数在某一点的导数，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数在处的导数，记作，即.
5．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．
C． D．2
【答案】C
【分析】由y′==1，得x=1，由数形结合得点（1，0）到直线的距离就是点P到直线l：y=x+1的距离的最小值．
【详解】
如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得|PQ|min=＝，
故选C.
【点睛】考查动点到定直线的距离最小值的求法.
6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】
设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
【点睛】考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程.
7．自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数
A．在区间上的平均变化率 B．在处的变化率
C．在处的变化量 D．在区间上的导数
【答案】A
【分析】根据平均变化率定义进行判断选择.
【详解】
自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是表示函数在区间上的平均变化率．选A.
【点睛】考查平均变化率定义,考查基本分析判别能力,属基础题.
8．若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求,再求趋于0时，的值.
【详解】
因为，所以当趋于0时，趋于．
【点睛】考查瞬时速度定义及其求法,考查基本求解能力.
二、填空题
9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________．
【答案】
【分析】
利用体积公式计算得到，再求出水深为，对应的时间为的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【详解】
由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为, 则可得
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有 故有
当水深为，对应的时间为，则
所以当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为
故答案为：
【点睛】注意导数可以用来求瞬时速度、瞬时加速度等，这类问题的关键是要找到两类变量之间的关系.
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】考查导数的几何意义.
12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
【答案】2
【分析】根据导数几何意义以及图象得,即得结果.
【详解】由图像的信息可知．
【点睛】考查导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
三、解答题
13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
（1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
【答案】（1）1.6 ℃.；（2）-1.6，它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
【分析】
（1）分别代入t＝0与t＝10计算即可求解；
（2）利用（1）直接计算即可求解.
【详解】
(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，
T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
14．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
【答案】（1）y＝－2（2）y＝－x＋
【分析】
（1）由已知可得斜率函数为，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可；（2）设另一切点为，求出该点切线方程，将点代入得到关于的方程，解出即可得结果．
【详解】
（1）由，得，
过点且以为切点的直线的斜率，
∴所求直线方程为．
(2)设切点坐标为，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，
∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，
∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线斜率k＝3－3＝－，
于是，即.
【点睛】考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．注意区分曲线在点处的切线和曲线过点的切线，前者点为切点；后者点不一定为切点，点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点.
15．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.
【详解】
（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，解得或．
故所求切线方程为或．
【点睛】考查会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决.
16．已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
【答案】(1)8.02 (2)8.002 (3)8
【分析】
(1)根据计算,再求 ,(2) 根据计算,再求 ,(3)先求,再求趋于0时，的值.
【详解】
解：．
（1）当，时，．
（2）当，时，．
（3）由题意，得，故质点M在时的瞬时速度为．
【点睛】考查瞬时速度定义及其求法.
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为.
【分析】
（1）由曲线在点处的切线方程为，可得，从而求出的值，进而可得的解析式；
（2）设点为曲线上任意一点，则可得点的切线方程为，从而可求出切线与直线和直线的交点坐标，进而可求出所求面积
【详解】
（1）将点的坐标代入直线的方程得，
，则，直线的斜率为，
于是，解得，故；
（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，
，又，
所以，曲线在点的切线方程为，
即，
令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，
联立，解得，
从而切线与直线的交点坐标为.
所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.
【点睛】考查导数的几何意义的应用.
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函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无线趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率＝无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t-t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率
3.导数的定义
设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值 = 无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
导数概念及辨析
例题1
①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例题2
已知函数，则
A．0 B．
C．200 D．
训练1
已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x
C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x
训练2
已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数
A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数
C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
例题1
已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2
曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
训练1
曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
训练2
已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ）
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
2．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：
①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；
③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知在处可导,
A． B． C． D．
5．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．
C． D．2
6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数
A．在区间上的平均变化率 B．在处的变化率
C．在处的变化量 D．在区间上的导数
8．若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________．
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
三、解答题
13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
（1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
14．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
15．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
16．已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
1.函数的平均变化率
函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无线趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率＝无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t-t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率
3.导数的定义
设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值 = 无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
导数概念及辨析
例题1
①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；
②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；
③若不存在，则曲线在点处就没有切线；
④若曲线在点处有切线，则必存在.
则以上论断正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于①中，根据函数在点处的切线定义：在曲线的某点附近取点，并使沿曲线不断接近，这样直线的极限位置就是曲线在点的切线. 直线与曲线有且只有一个公共点，但直线不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例是正弦曲线的切线，但切线与曲线有无数多个公共点，所以不正确；
对于②中，根据导数的定义：
（1）导数：，
（2）左导数：，
（3）右导数：，
函数在点处可导当且仅当函数在点处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数在处的切线，所以不正确；
对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数在处可导，则函数在处切线一定存在，切线方程为
（2）函数在处不可导，函数在处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线在点处有切线，则必存在，所以是正确的.
故选：B.
【点睛】考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用.
例题2
已知函数，则
A．0 B．
C．200 D．
【答案】D
【分析】根据导数定义求结果.
【详解】
．选D.
【点睛】考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力
训练1
已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8x
C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x
【答案】B
【分析】求函数在处的导数即可求解.
【详解】
∵，．令，得，
.故.
【点睛】考查导数定义的运用.求解在处的导数是解题的关键.
训练2
已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数
A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数
C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数
【答案】B
【分析】
利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数．
【详解】
若是周期函数，设其周期为，
则．
所以周期函数的导数仍是周期函数；
若是奇函数，则，
所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，
故选B．
【点睛】考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
例题1
已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为与恰有两个不同的交点的问题；分别在、和三种情况下，结合导数几何意义可确定切线方程，由数形结合的方式可求得结果.
【详解】
恰有个零点等价于与恰有两个不同的交点；
由解析式可得图象如下图所示：
①当时，与恰有两个不同交点，符合题意；
②当时，，设直线与相切于点，
，，又，，解得：，
此时，解得：；
由图象可知：当且仅当时，与恰有两个不同交点；
③当时，，设直线与相切于点，
，，解得：；
由图象可知：当时，与恰有两个不同交点，；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
例题2
曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【详解】
由已知得：曲线为;
则：对其进行求导得；
当时，
曲线在点处的切线方程为：
化简得：；
故选：D.
【点睛】考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法.
训练1
曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.
【详解】
的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
故选A.
【点睛】考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式.
训练2
已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据图象关于对称，求出的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出的值．
【详解】
由已知设是上任意一点，则关于的对称点为在的图象上，
所以， 所以，
设切点为 ，则，
故切线为，
由已知切线过，所以， 所以，
所以． 故．
故选：D．
【点睛】考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题．
一、单选题
1．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ）
A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2
C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
【答案】B
【分析】
首先根据题设条件，利用球的表面积公式表示出变化后的表面积为，球表面积的增加与半径的变化有关，再用变化后的表面积减去变化前的表面积即可求出增加的表面积，从而求得的表达式，选出答案.
【详解】
根据球的表面积公式，
可得，
故选：B．
【点睛】考查的是有关球的表面积公式的题目，正确解题的关键点是弄明白增量的意义以及球的表面积公式.
2．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.给出下列四个命题：
①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；
③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx；
④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】确定直线是点处的切线方程，再判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的关系可得结论．
【详解】
解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，
而时，，时，，∴直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，①正确；
由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，
且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，
当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，
可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，
则lnx≤x﹣1，
②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；
y＝sinx的导数为y′＝cosx，
可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，
由y＝sinx和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，
直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sinx，故③正确；
y＝ex的导数为y′＝ex，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，
令，则，时，，时，，即在上递减，在上递增，∴时，，即，
直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝ex不正确.
故选：B.
【点睛】考查导数新定义，解题关键是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧，函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论．
3．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.
【详解】
因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
故选：C.
【点睛】考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义.
4．已知在处可导,
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：化简即得解.
详解：由题得 ，
故答案为A
【点睛】考查函数在某一点的导数，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数在处的导数，记作，即.
5．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．
C． D．2
【答案】C
【分析】由y′==1，得x=1，由数形结合得点（1，0）到直线的距离就是点P到直线l：y=x+1的距离的最小值．
【详解】
如图所示，直线l与y＝lnx相切且与y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故P(1,0)．由点到直线的距离公式得|PQ|min=＝，
故选C.
【点睛】考查动点到定直线的距离最小值的求法.
6．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据C在点M处的切线，求出的值，再求得点，然后再求过点抛物线的切线方程.
【详解】
设 ，由题意知，，则，
C在点M处的切线，所以
所以 ，则，
将代入的方程可得，即
抛物线的准线方程为：
则.设与曲线C的切点为，
则，解得或（舍去），
则，所以的方程为.
故选：D
【点睛】考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程.
7．自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数
A．在区间上的平均变化率 B．在处的变化率
C．在处的变化量 D．在区间上的导数
【答案】A
【分析】根据平均变化率定义进行判断选择.
【详解】
自变量从变到时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是表示函数在区间上的平均变化率．选A.
【点睛】考查平均变化率定义,考查基本分析判别能力,属基础题.
8．若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求,再求趋于0时，的值.
【详解】
因为，所以当趋于0时，趋于．
【点睛】考查瞬时速度定义及其求法,考查基本求解能力.
二、填空题
9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________．
【答案】
【分析】
利用体积公式计算得到，再求出水深为，对应的时间为的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【详解】
由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为, 则可得
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有 故有
当水深为，对应的时间为，则
所以当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为
故答案为：
【点睛】注意导数可以用来求瞬时速度、瞬时加速度等，这类问题的关键是要找到两类变量之间的关系.
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】
①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】
思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
11．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】考查导数的几何意义.
12．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．
【答案】2
【分析】根据导数几何意义以及图象得,即得结果.
【详解】由图像的信息可知．
【点睛】考查导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
三、解答题
13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
（1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
【答案】（1）1.6 ℃.；（2）-1.6，它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
【分析】
（1）分别代入t＝0与t＝10计算即可求解；
（2）利用（1）直接计算即可求解.
【详解】
(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，
T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
14．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
【答案】（1）y＝－2（2）y＝－x＋
【分析】
（1）由已知可得斜率函数为，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可；（2）设另一切点为，求出该点切线方程，将点代入得到关于的方程，解出即可得结果．
【详解】
（1）由，得，
过点且以为切点的直线的斜率，
∴所求直线方程为．
(2)设切点坐标为，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，
∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，
∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线斜率k＝3－3＝－，
于是，即.
【点睛】考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．注意区分曲线在点处的切线和曲线过点的切线，前者点为切点；后者点不一定为切点，点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点.
15．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.
【详解】
（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，解得或．
故所求切线方程为或．
【点睛】考查会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决.
16．已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
【答案】(1)8.02 (2)8.002 (3)8
【分析】
(1)根据计算,再求 ,(2) 根据计算,再求 ,(3)先求,再求趋于0时，的值.
【详解】
解：．
（1）当，时，．
（2）当，时，．
（3）由题意，得，故质点M在时的瞬时速度为．
【点睛】考查瞬时速度定义及其求法.
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为.
【分析】
（1）由曲线在点处的切线方程为，可得，从而求出的值，进而可得的解析式；
（2）设点为曲线上任意一点，则可得点的切线方程为，从而可求出切线与直线和直线的交点坐标，进而可求出所求面积
【详解】
（1）将点的坐标代入直线的方程得，
，则，直线的斜率为，
于是，解得，故；
（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，
，又，
所以，曲线在点的切线方程为，
即，
令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，
联立，解得，
从而切线与直线的交点坐标为.
所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.
【点睛】考查导数的几何意义的应用.
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