苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《5.2.1基本初等函数的导数》学案 (含答案)
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册《5.2.1基本初等函数的导数》学案 (含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 121.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 11:06:13 | ||
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文档简介
§5.2.1 基本初等函数的导数
目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 几个常见函数的导数
f(x) kx＋b C(C为常数) x x2 x3
f′(x) ____ _____ ____ ______ ______ 3x2
【友情提醒注意】常数的导数为0.
2．基本初等函数的导数公式
(xα)′＝_________(α为常数) (ln x)′＝________
(ax)′＝_________(a＞0，且a≠1) (sin x)′＝________
(logax)′＝_________(a＞0，且a≠1) (cos x)′＝________
(ex)′＝_________
【课前预习思考】
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数之间有何关系？
(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( )
A.f(x)＝0，则f′(x)＝0. B.若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.
C.若(3x)′＝x·3x－1. D.(x4)′＝x4ln 4.
题2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于 ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
题3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
【课堂题组训练】
类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)
题4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝ ( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
题5．已知f(x)＝，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
题6．(多选题)下列结论正确的为 ( )
A．y＝ln 2，则y′＝ B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2x·ln 2 D．y＝log2x，则y′＝
题7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于 ( )
A． B． C． D．
题8．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
题10．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
题11．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________．
题12．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)
角度1 求切点坐标及参数值
【典例】题13.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．
题14.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
角度2 与切线有关的简单应用
【典例】题15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
题16.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
题17．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
题18．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
【课堂检测达标】
题19．若f(x)＝cos ，则f′(x)为 ( )
A．－sin B．sin C．0 D．－cos
题20．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则 ( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
题21．(多选题)下列选项中是正确结论的有 ( )
A．(sin x)′＝cos x B．(x)′＝x C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
题22．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，求x的值．
题23．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
§5.2.1 基本初等函数的导数答案
目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 几个常见函数的导数
f(x) kx＋b C(C为常数) x x2 x3
f′(x) k 0 1 2x － 3x2
【友情提醒注意】常数的导数为0.
2．基本初等函数的导数公式
(xα)′＝αxα－1(α为常数) (ln x)′＝
(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1) (sin x)′＝cos x
(logax)′＝(a＞0，且a≠1) (cos x)′＝－sin x
(ex)′＝ex
【课前预习思考】
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝ax ln a当a＝e时的特殊情况．
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数之间有何关系？
提示：f(x)＝ln x是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝ln x的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．
(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( )
A.f(x)＝0，则f′(x)＝0. B.若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.
C.若(3x)′＝x·3x－1. D.(x4)′＝x4ln 4.
【答案】BCD
【解析】A√.因为f(x)＝0是一个常数函数，所以f′(x)＝0.
B×.f(x)＝ln x时，f′(x)＝，所以f′(e)＝≠1.
C×.函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln 3.
D×.函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.
题2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于 ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
【解析】选C.因为y′＝10xln 10，所以y′|x＝1＝10ln 10.
题3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
【解析】k＝ ＝
＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
答案：3
【课堂题组训练】
类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)
题4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝ ( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.
题5．已知f(x)＝，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
【解析】选D.f(x)＝＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.
题6．(多选题)下列结论正确的为 ( )
A．y＝ln 2，则y′＝ B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2x·ln 2 D．y＝log2x，则y′＝
【解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有y＝ln 2，则y′＝0，所以选项A错误，其他选项均正确．
【解题策略提醒】
运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式；
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
题7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于 ( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝.
题8．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
【解析】f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.
答案：1
类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
四步 内容
理解题意 条件：①曲线y＝sin x；②曲线y＝sin x上点P结论：求与过这点的切线垂直的直线方程
思路探求 先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程
书写表达 因为y＝sin x，所以y′＝cos x，曲线在点P处的切线斜率是：y′|x＝cos ＝，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，即2x＋y－－＝0.
题后反思 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键
【解题策略提醒】
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
题10．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
题11．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________．
【解析】因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－1，
所以过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
答案：x＋y－6＝0
题12．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25 m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π.
答案：25π
类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)
角度1 求切点坐标及参数值
【典例】题13.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．
【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值．
【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，
所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1).
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
题14.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
角度2 与切线有关的简单应用
【典例】题15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
【解析】因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，
所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，
当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－e2|＝e2.
答案：e2
【解题策略提醒】
与切线有关问题的解题策略
1．明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0).
2．切线方程一般可用点斜式求解．
3．结合题设条件得出所求的代数式或方程．
题16.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
【解析】选D.切线的斜率k＝tan π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，所以－ eq \f(1,x) ＝－1，所以x0＝1或－1，所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1).
题17．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
【解析】依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
题18．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.因为y′＝(ln x)′＝，由题意知＝，
所以x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
【课堂检测达标】
题19．若f(x)＝cos ，则f′(x)为 ( )
A．－sin B．sin C．0 D．－cos
【解析】选C.f(x)＝cos ＝，故f′(x)＝0.
题20．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则 ( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
【解析】选D.因为y＝mx2m－n，所以y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，所以
所以即
题21．(多选题)下列选项中是正确结论的有 ( )
A．(sin x)′＝cos x B．(x)′＝x C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
【解析】选AD.对于选项A，因为(sin x)′＝cos x，故正确；对于选项B，因为(x)′＝x，故错误；对于选项C，因为(log3x)′＝，故错误；对于选项D，因为(ln x)′＝，故正确．
题22．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，求x的值．
【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)，故x＝1.
题23．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
【解析】因为s′＝()′＝′＝t－，所以质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 s′(8)= (m/s).
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目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 几个常见函数的导数
f(x) kx＋b C(C为常数) x x2 x3
f′(x) ____ _____ ____ ______ ______ 3x2
【友情提醒注意】常数的导数为0.
2．基本初等函数的导数公式
(xα)′＝_________(α为常数) (ln x)′＝________
(ax)′＝_________(a＞0，且a≠1) (sin x)′＝________
(logax)′＝_________(a＞0，且a≠1) (cos x)′＝________
(ex)′＝_________
【课前预习思考】
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数之间有何关系？
(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( )
A.f(x)＝0，则f′(x)＝0. B.若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.
C.若(3x)′＝x·3x－1. D.(x4)′＝x4ln 4.
题2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于 ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
题3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
【课堂题组训练】
类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)
题4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝ ( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
题5．已知f(x)＝，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
题6．(多选题)下列结论正确的为 ( )
A．y＝ln 2，则y′＝ B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2x·ln 2 D．y＝log2x，则y′＝
题7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于 ( )
A． B． C． D．
题8．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
题10．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
题11．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________．
题12．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)
角度1 求切点坐标及参数值
【典例】题13.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．
题14.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
角度2 与切线有关的简单应用
【典例】题15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
题16.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
题17．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
题18．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
【课堂检测达标】
题19．若f(x)＝cos ，则f′(x)为 ( )
A．－sin B．sin C．0 D．－cos
题20．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则 ( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
题21．(多选题)下列选项中是正确结论的有 ( )
A．(sin x)′＝cos x B．(x)′＝x C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
题22．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，求x的值．
题23．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
§5.2.1 基本初等函数的导数答案
目标要求
1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．
2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．
3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用公式求简单函数的导数；
难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 几个常见函数的导数
f(x) kx＋b C(C为常数) x x2 x3
f′(x) k 0 1 2x － 3x2
【友情提醒注意】常数的导数为0.
2．基本初等函数的导数公式
(xα)′＝αxα－1(α为常数) (ln x)′＝
(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1) (sin x)′＝cos x
(logax)′＝(a＞0，且a≠1) (cos x)′＝－sin x
(ex)′＝ex
【课前预习思考】
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝ax ln a当a＝e时的特殊情况．
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数之间有何关系？
提示：f(x)＝ln x是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝ln x的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．
(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题错误的是 ( )
A.f(x)＝0，则f′(x)＝0. B.若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1.
C.若(3x)′＝x·3x－1. D.(x4)′＝x4ln 4.
【答案】BCD
【解析】A√.因为f(x)＝0是一个常数函数，所以f′(x)＝0.
B×.f(x)＝ln x时，f′(x)＝，所以f′(e)＝≠1.
C×.函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln 3.
D×.函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.
题2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于 ( )
A． B．10 C．10ln 10 D．
【解析】选C.因为y′＝10xln 10，所以y′|x＝1＝10ln 10.
题3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
【解析】k＝ ＝
＝ ＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
答案：3
【课堂题组训练】
类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)
题4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝ ( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.
题5．已知f(x)＝，则f′(1)＝ ( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
【解析】选D.f(x)＝＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.
题6．(多选题)下列结论正确的为 ( )
A．y＝ln 2，则y′＝ B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2x·ln 2 D．y＝log2x，则y′＝
【解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有y＝ln 2，则y′＝0，所以选项A错误，其他选项均正确．
【解题策略提醒】
运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式；
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
题7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于 ( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝.
题8．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
【解析】f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.
答案：1
类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
四步 内容
理解题意 条件：①曲线y＝sin x；②曲线y＝sin x上点P结论：求与过这点的切线垂直的直线方程
思路探求 先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程
书写表达 因为y＝sin x，所以y′＝cos x，曲线在点P处的切线斜率是：y′|x＝cos ＝，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，即2x＋y－－＝0.
题后反思 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键
【解题策略提醒】
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
题10．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
题11．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________．
【解析】因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－1，
所以过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
答案：x＋y－6＝0
题12．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________．
【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25 m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π.
答案：25π
类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)
角度1 求切点坐标及参数值
【典例】题13.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．
【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值．
【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，
所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1).
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
题14.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
角度2 与切线有关的简单应用
【典例】题15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
【解析】因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，
所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，
当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－e2|＝e2.
答案：e2
【解题策略提醒】
与切线有关问题的解题策略
1．明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0).
2．切线方程一般可用点斜式求解．
3．结合题设条件得出所求的代数式或方程．
题16.在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1)
【解析】选D.切线的斜率k＝tan π＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，所以－ eq \f(1,x) ＝－1，所以x0＝1或－1，所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1).
题17．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
【解析】依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
题18．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.因为y′＝(ln x)′＝，由题意知＝，
所以x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
【课堂检测达标】
题19．若f(x)＝cos ，则f′(x)为 ( )
A．－sin B．sin C．0 D．－cos
【解析】选C.f(x)＝cos ＝，故f′(x)＝0.
题20．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则 ( )
A．m＝－1，n＝－2 B．m＝－1，n＝2 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝－2
【解析】选D.因为y＝mx2m－n，所以y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，所以
所以即
题21．(多选题)下列选项中是正确结论的有 ( )
A．(sin x)′＝cos x B．(x)′＝x C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
【解析】选AD.对于选项A，因为(sin x)′＝cos x，故正确；对于选项B，因为(x)′＝x，故错误；对于选项C，因为(log3x)′＝，故错误；对于选项D，因为(ln x)′＝，故正确．
题22．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，求x的值．
【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)，故x＝1.
题23．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．
【解析】因为s′＝()′＝′＝t－，所以质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 s′(8)= (m/s).
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