苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.2 导数的运算【同步教案】（解析版）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.2 导数的运算【同步教案】（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 856.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 11:06:38 | ||
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文档简介
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
3.函数的和、差、积、商的导数
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
（2）[cf(x)]′＝cf′(x)．（C为常数）
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)′＝.
4.复合函数的导数
定义：由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
求复合函数的导数的步骤
基本初等函数的导数公式
例题1
若f(x)＝2x＋sin x－cos x的导函数为f′(x)，则f′(0)等于( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2＋2
例题2
设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是
A． B．
C． D．
训练1
若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（ ）
A． B． C． D．
训练2
下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
导数的运算
例题1
已知，则等于
A．-4 B．-2 C．1 D．2
例题2
已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（ ）
A． B． C． D．0
训练1
已知函数的导函数，且满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
训练2
已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
5．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
6．设，，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数的导函数是，则______________.
10．设函数，，则实数a＝______．
11．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
12．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是______元．
三、解答题
13．求下列函数的导数；
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
14．设函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
15．求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.
16．求下列函数的导数.
（1）y＝cos ；（2）y＝；（3）y＝；
（4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos.
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
3.函数的和、差、积、商的导数
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
（2）[cf(x)]′＝cf′(x)．（C为常数）
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)′＝.
4.复合函数的导数
定义：由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
求复合函数的导数的步骤
基本初等函数的导数公式
例题1
若f(x)＝2x＋sin x－cos x的导函数为f′(x)，则f′(0)等于( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2＋2
【答案】B
【分析】根据导数的求导公式及导数的运算法则，求出函数的导数，计算即可.
【详解】
因为，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的求导公式和求导法则，属于中档题.
例题2
设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先对函数求导，令，得到关于的方程，即可求出，再利用二次函数的图象和性质，即可确定的取值范围．
【详解】
依题可得，，令，得，解得，
所以，因为，，而由二次函数的对称性可知，，故．
故选：D．
【点睛】考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用．
训练1
若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设公共点为，根据导数的几何意义可得，根据函数表达式以及导函数解方程组即可.
【详解】
设两个函数图象的公共点为，
根据题意，得即，
解式得或（舍去），代入第式，解得.
故选：D.
【点睛】考查了导数的几何意义以及基本初等函数的导数公式.
训练2
下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【点睛】考查了基本初等函数的导数公式．
导数的运算
例题1
已知，则等于
A．-4 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．
【详解】
因为f′（x）＝2x+2f′（1），
令x＝1，可得
f′（1）＝2+2f′（1），
∴f′（1）＝﹣2，
∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4，
当x＝3，f′（3）＝2．
故选D
例题2
已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．
【详解】
解：由f（x）=x3+f'（1）x2-2，
得f′（x）=3x2+2xf′（1），
∴f′（1）=3+2f′（1），解得f′（1）=-3，
故选B．
【点睛】考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．
训练1
已知函数的导函数，且满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
【答案】B
【分析】
将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出即可．
【详解】
解：，
，
故选．
【点睛】考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清是常数，属于基础题．
训练2
已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，结合题意得到 ，从而求出f（x）的解析式；
【详解】
由，
得
，即，
所以 ，
所以 ，又因为f（0）=1，所以c=1，
所以函数f（x）的解析式是；
故选D.
【点睛】考查了考查导数的应用以及求函数的解析式问题．
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得后，代入即可求得，从而得到；利用导数的几何意义即可求得结果.
【详解】
，，
，解得：，
，，，，
在处的切线方程为，即.
故选：C.
2．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
【点睛】考查基本初等函数的导数计算.
3．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的积法法则和复合函数的求导法则，即可求解.
【详解】
解：，
故选B.
4．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的加法运算与复合函数的求导法则即可求解.
【详解】
，
故选：D.
【点睛】思路点睛：求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值.
5．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，()，利用两直线垂直得到，求出、的方程，可得、的坐标，从而可得，联立、的方程，求得点的横坐标，
根据即可求得的面积的取值范围.
【详解】
设，()，，
则，，
∵，∴，则，
又切线：，：，
于是，，∴，
联立，解得，∴，
∵，∴，∴的取值范围是，
故选：A．
6．设，，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.
【详解】
，，
，
，
，
，
由此可知：，
.
故选：D.
【点晴】考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键.
7．已知函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．
【详解】
∵函数，∴，
∴，故选C.
【点睛】考查求函数的导数，导数的加减法则的应用．
8．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】
，求导得，
则当时，，所以切线的斜率为2．
又当时，，所以切点为．
所以切线方程为．
故选：A
【点睛】考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
二、填空题
9．函数的导函数是，则______________.
【答案】
【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．
【详解】
解：因为，
由于且，解得：且，
即的定义域为：，
，
即：.
故答案为：．
【点睛】考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导．
10．设函数，，则实数a＝______．
【答案】2；
【分析】先对求导，再利用即可求解.
【详解】
，所以，解得，
故答案为：.
11．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
【答案】1
【分析】先求导，再代入得到关于的方程，解得即可，注意函数的定义域．
【详解】
，，，
，
解得，
故答案为：1
12．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是______元．
【答案】40
【分析】根据瞬时变化率的定义，结合导数的运算性质进行求解即可.
【详解】
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为．
所以，又因为，
所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40元.
三、解答题
13．求下列函数的导数；
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【分析】
根据基本初等函数的导数公式以及函数的求导法法则逐个计算即可．
【详解】
解：（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以；
（5）因为，
所以；
（6）因为，
所以
．
14．设函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用求导公式求解即可；
（2）首先将代入切线方程得到切点为，从而得到，再解方程组即可.
【详解】
（1）由，
得
.
（2）由题意得，切点既在曲线上，又在切线上，
将代入切线方程，得，切点为.
所以，解得.
15．求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.
【答案】（1）y′x＝3×103x－2ln10；（2）y′x＝；（3）y′＝.
【分析】由复合函数的求导法则，即可求出结果.
【详解】
（1）令u＝3x－2，则y＝10u.
所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.
（2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.
（3）y′＝(x)′
16．求下列函数的导数.
（1）y＝cos ；（2）y＝；（3）y＝；
（4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos.
【答案】（1）0；（2）－5x－6；（3）；（4）；（5）；（6）cos x.
【分析】直接利用求导公式计算即可
【详解】
（1）∵y＝cos＝，∴y′＝0.
（2）∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
（3）∵y＝＝＝，∴y′＝.
（4）∵y＝lg x，∴y′＝.
（5）∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
（6）y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
6 / 20
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
3.函数的和、差、积、商的导数
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
（2）[cf(x)]′＝cf′(x)．（C为常数）
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)′＝.
4.复合函数的导数
定义：由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
求复合函数的导数的步骤
基本初等函数的导数公式
例题1
若f(x)＝2x＋sin x－cos x的导函数为f′(x)，则f′(0)等于( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2＋2
例题2
设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是
A． B．
C． D．
训练1
若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（ ）
A． B． C． D．
训练2
下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
导数的运算
例题1
已知，则等于
A．-4 B．-2 C．1 D．2
例题2
已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（ ）
A． B． C． D．0
训练1
已知函数的导函数，且满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
训练2
已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
5．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
6．设，，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数的导函数是，则______________.
10．设函数，，则实数a＝______．
11．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
12．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是______元．
三、解答题
13．求下列函数的导数；
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
14．设函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
15．求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.
16．求下列函数的导数.
（1）y＝cos ；（2）y＝；（3）y＝；
（4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos.
1.几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
3.函数的和、差、积、商的导数
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
（2）[cf(x)]′＝cf′(x)．（C为常数）
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)′＝.
4.复合函数的导数
定义：由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数
复合函数的求导法则：对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
求复合函数的导数的步骤
基本初等函数的导数公式
例题1
若f(x)＝2x＋sin x－cos x的导函数为f′(x)，则f′(0)等于( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2＋2
【答案】B
【分析】根据导数的求导公式及导数的运算法则，求出函数的导数，计算即可.
【详解】
因为，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的求导公式和求导法则，属于中档题.
例题2
设是的导函数,若在闭区间上有最大值,最小值,则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先对函数求导，令，得到关于的方程，即可求出，再利用二次函数的图象和性质，即可确定的取值范围．
【详解】
依题可得，，令，得，解得，
所以，因为，，而由二次函数的对称性可知，，故．
故选：D．
【点睛】考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用．
训练1
若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设公共点为，根据导数的几何意义可得，根据函数表达式以及导函数解方程组即可.
【详解】
设两个函数图象的公共点为，
根据题意，得即，
解式得或（舍去），代入第式，解得.
故选：D.
【点睛】考查了导数的几何意义以及基本初等函数的导数公式.
训练2
下列求导运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【点睛】考查了基本初等函数的导数公式．
导数的运算
例题1
已知，则等于
A．-4 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】
首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．
【详解】
因为f′（x）＝2x+2f′（1），
令x＝1，可得
f′（1）＝2+2f′（1），
∴f′（1）＝﹣2，
∴f′（x）＝2x+2f′（1）＝2x﹣4，
当x＝3，f′（3）＝2．
故选D
例题2
已知函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）=x3+f'（1）x2-2，则f'（1）的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．
【详解】
解：由f（x）=x3+f'（1）x2-2，
得f′（x）=3x2+2xf′（1），
∴f′（1）=3+2f′（1），解得f′（1）=-3，
故选B．
【点睛】考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．
训练1
已知函数的导函数，且满足，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．-12
【答案】B
【分析】
将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出即可．
【详解】
解：，
，
故选．
【点睛】考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清是常数，属于基础题．
训练2
已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，结合题意得到 ，从而求出f（x）的解析式；
【详解】
由，
得
，即，
所以 ，
所以 ，又因为f（0）=1，所以c=1，
所以函数f（x）的解析式是；
故选D.
【点睛】考查了考查导数的应用以及求函数的解析式问题．
一、单选题
1．已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得后，代入即可求得，从而得到；利用导数的几何意义即可求得结果.
【详解】
，，
，解得：，
，，，，
在处的切线方程为，即.
故选：C.
2．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
【点睛】考查基本初等函数的导数计算.
3．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的积法法则和复合函数的求导法则，即可求解.
【详解】
解：，
故选B.
4．函数的导数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的加法运算与复合函数的求导法则即可求解.
【详解】
，
故选：D.
【点睛】思路点睛：求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值.
5．设直线、分别是函数图像上点、处的切线，与垂直相交于点，且、分别与轴相交于点、，则的面积的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，()，利用两直线垂直得到，求出、的方程，可得、的坐标，从而可得，联立、的方程，求得点的横坐标，
根据即可求得的面积的取值范围.
【详解】
设，()，，
则，，
∵，∴，则，
又切线：，：，
于是，，∴，
联立，解得，∴，
∵，∴，∴的取值范围是，
故选：A．
6．设，，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.
【详解】
，，
，
，
，
，
由此可知：，
.
故选：D.
【点晴】考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键.
7．已知函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．
【详解】
∵函数，∴，
∴，故选C.
【点睛】考查求函数的导数，导数的加减法则的应用．
8．函数在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解
【详解】
，求导得，
则当时，，所以切线的斜率为2．
又当时，，所以切点为．
所以切线方程为．
故选：A
【点睛】考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：
(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．
(2)已知斜率k，求切点，即解方程.
(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．
二、填空题
9．函数的导函数是，则______________.
【答案】
【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．
【详解】
解：因为，
由于且，解得：且，
即的定义域为：，
，
即：.
故答案为：．
【点睛】考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导．
10．设函数，，则实数a＝______．
【答案】2；
【分析】先对求导，再利用即可求解.
【详解】
，所以，解得，
故答案为：.
11．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
【答案】1
【分析】先求导，再代入得到关于的方程，解得即可，注意函数的定义域．
【详解】
，，，
，
解得，
故答案为：1
12．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是______元．
【答案】40
【分析】根据瞬时变化率的定义，结合导数的运算性质进行求解即可.
【详解】
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为．
所以，又因为，
所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40元.
三、解答题
13．求下列函数的导数；
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【分析】
根据基本初等函数的导数公式以及函数的求导法法则逐个计算即可．
【详解】
解：（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以；
（5）因为，
所以；
（6）因为，
所以
．
14．设函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用求导公式求解即可；
（2）首先将代入切线方程得到切点为，从而得到，再解方程组即可.
【详解】
（1）由，
得
.
（2）由题意得，切点既在曲线上，又在切线上，
将代入切线方程，得，切点为.
所以，解得.
15．求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.
【答案】（1）y′x＝3×103x－2ln10；（2）y′x＝；（3）y′＝.
【分析】由复合函数的求导法则，即可求出结果.
【详解】
（1）令u＝3x－2，则y＝10u.
所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.
（2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.
（3）y′＝(x)′
16．求下列函数的导数.
（1）y＝cos ；（2）y＝；（3）y＝；
（4）y＝lg x；（5）y＝5x；（6）y＝cos.
【答案】（1）0；（2）－5x－6；（3）；（4）；（5）；（6）cos x.
【分析】直接利用求导公式计算即可
【详解】
（1）∵y＝cos＝，∴y′＝0.
（2）∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
（3）∵y＝＝＝，∴y′＝.
（4）∵y＝lg x，∴y′＝.
（5）∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
（6）y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
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