苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 《5.3.3导数在研究函数中的应用—最大值与最小值》学案 (含答案)

§5.3.3　导数在研究函数中的应用—最大值与最小值
目标要求
1、能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．
2、体会导数在求最值中的应用.
3、能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：体会导数在求最值中的应用；
难点：能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的最大值与最小值
前提 在函数定义域I内存在x0
条件 对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0) 对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)
结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值
【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤
第一步：求f(x)在(a，b)上的_______；
第二步：将第一步中求得的极值与_______________比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．
【课前预习思考】
结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( ).
A.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大 值，极小值便是最小值．
B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．
C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．
D.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.
题2．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3，5]上的最大值和最小值分别是 (　　 )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
题3．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为 (　 　)
A．72 B．36 C．12 D．0
【课堂题组训练】
类型一　求函数的最值(数学抽象、数学运算)
题4．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1) (　 　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
题5．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为 (　 　)
A．0 B． C． D．
题6．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上 (　 　)
A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值
题7.函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是 (　 　)
A．1 B．2 C．0 D．－1
题8．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　)
A．16 B．12 C．32 D．6
类型二　含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
题10．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的
最小值为 (　 　)
A．－5 B．－11 C．－29 D．－37
题11．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
类型三　与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)
角度1　求参数的范围　
【典例】题12.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
题13.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，试求函数在区间上的最小值．
角度2　证明不等式　
【典例】题14.当x＞0时，证明：不等式ln (x＋1)＞x－x2.
题15．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
题16．设题17．证明不等式x－sin x＜tan x－x，x∈.
【课堂检测达标】
题18．下列结论正确的是 (　 　)
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定在x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
题19．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则 (　 　)
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值也有最小值
题20．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为 (　 　)
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
题21．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
题22．求函数f(x)＝sin 2x－x，x∈的最值．
题23.求函数y＝f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
§5.3.3　导数在研究函数中的应用—最大值与最小值答案
目标要求
1、能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最值．
2、体会导数在求最值中的应用.
3、能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：体会导数在求最值中的应用；
难点：能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的最大值与最小值
前提 在函数定义域I内存在x0
条件 对任意的x∈I，总有f(x) ≤ f(x0) 对任意的x∈I，总有f(x) ≥ f(x0)
结论 f(x0)为最大值 f(x0)为最小值
【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤
第一步：求f(x)在(a，b)上的 极值 ；
第二步：将第一步中求得的极值与 f(a)，f(b) 比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．
【课前预习思考】
结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．
提示：最值可能出现在极值点或者区间端点处．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( ).
A.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大 值，极小值便是最小值．
B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．
C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．
D.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.
【答案】ABC
【解析】A×.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．
B×.闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.
C×.函数在其定义域上有最值，则不一定有极值；反之，若有极值，则不一定有最值．
D√.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值．
题2．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3，5]上的最大值和最小值分别是 (　　 )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
【解析】选B.因为f′(x)＝－2x＋4，所以当x∈[3，5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3，5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).
题3．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为 (　 　)
A．72 B．36 C．12 D．0
【解析】选D.因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.
【课堂题组训练】
类型一　求函数的最值(数学抽象、数学运算)
题4．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1) (　 　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
【解析】选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
题5．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为 (　 　)
A．0 B． C． D．
【解析】选C.f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
题6．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上 (　 　)
A．无最值 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值
【解析】选A.f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
【解题策略提醒】
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数f(x)的定义域．
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化情况表．
第四步，求极值、端点值，确定最值．
警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
题7.函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是 (　 　)
A．1 B．2 C．0 D．－1
【解析】选A.设f(x)＝3x－4x3，所以f′(x)＝－12x2＋3＝3(1＋2x)(1－2x).
因为x∈[0，2]，所以当x＝时，f′(x)＝0.又f(0)＝0，f＝1，f(2)＝－26，
所以函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.
题8．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　)
A．16 B．12 C．32 D．6
【解析】选C.因为f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.
类型二　含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)
【典例】题9.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
四步 内容
理解题意 条件：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).结论：(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
思路探求 (1)求导，求单调区间．(2)讨论函数在[1，2]上的单调性，求最值．
书写表达 (1)f′(x)＝－a(x＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0时，f′(x)＝＜0，故函数f(x)的单调递增区间为，
书写表达 单调递减区间为.(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②当≥2，即0题后反思 求函数的单调区间一定要注意函数的定义域；求最值时一定研究函数的单调性．
【解题策略提醒】
1．含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
题10．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的
最小值为 (　 　)
A．－5 B．－11 C．－29 D．－37
【解析】选D.由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0所以f(x)在[－2，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝m＝3，所以f(x)＝2x3－6x2＋3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以f(x)min＝－37.
题11．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
【解析】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0，1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如表所示)
x 0 (0，) (，1) 1
f'(x) + 0 -
f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a－1
(2)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
类型三　与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)
角度1　求参数的范围　
【典例】题12.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
【思路导引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围．
【解析】函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝4x－＝，
令f′(x)＝0得，x＝，由题意可知：解得1≤k＜，
所以实数k的取值范围是：1≤k＜.
答案：
题13.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，试求函数在区间上的最小值．
【解析】函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝4x－＝，令f′(x)＝0得，x＝.
所以当0时，f′>0，函数单调递增．
所以当a≤时，函数有最小值fmin＝f＝2a2－ln a；
当a>时，函数有最小值fmin＝f＝＋ln 2.
角度2　证明不等式　
【典例】题14.当x＞0时，证明：不等式ln (x＋1)＞x－x2.
【思路导引】利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2.因此要证明原不等式，即证f(x)＞0在x＞0时恒成立．
【证明】设f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，则f′(x)＝－1＋x＝.当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)≥0，且仅当x＝0时f′(x)＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，所以当x＞0时，不等式ln (x＋1)＞x－x2成立．
【解题策略提醒】
1．关于与最值有关的参数问题
一般从单调区间对参数的影响，最值的大小对参数的影响两个方面讨论．关键是弄清函数的单调性，函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值．
2．证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；
(3)若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．只需保证F(a)＞0；
(4)若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数．只需保证F(b)＞0.
题15．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
【解析】f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0，1]上单调递减，
所以当x∈[0，1]时，f′(x)≤0恒成立，即2x＋2a≤0.所以a≤－x.所以a≤－1.
答案：(－∞，－1]
题16．设【解析】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，a) a (a，1) 1
f′(x) ＋ － ＋
f(x) b－1－a ?↗ b ?↘ b－a3 ?↗ 1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，当x＝a时，f(x)取得极小值－＋b，而f(0)>f(a)，
又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又因为f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，所以－a＝－.所以a＝.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
题17．证明不等式x－sin x＜tan x－x，x∈.
【证明】令f(x)＝tan x－2x＋sin x，x∈，
则f′(x)＝′－(2x)′＋(sin x)′＝－2＋cosx＝
＝＝＝.
因为x∈，所以1－cosx＞0，cos x＋sin2x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递增，
所以f(x)＞f(0)＝0，即tanx－2x＋sin x＞0，即x－sin x＜tan x－x.
【课堂检测达标】
题18．下列结论正确的是 (　 　)
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定在x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
【解析】选D.函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
题19．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则 (　 　)
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值 B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值 D．函数f(x)有最大值也有最小值
【解析】选C.由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．
题20．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为 (　 　)
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】选A.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
所以F(x)在[a，b]上单调递减，所以F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a).
题21．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
【解析】f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，所以f(x)min＝k－76＝－71.
答案：－71
题22．求函数f(x)＝sin 2x－x，x∈的最值．
【解析】f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，
又因为x∈，所以2x∈[－π，π].所以2x＝±.所以x＝±.
所以函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
题23.求函数y＝f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
【解析】先求导数，得y′＝4x3－4x.令y′＝0，即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
x变化时，y′，y的变化情况以及f(－2)，f(2)的值如表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2
y′ － 0 ＋ 0 － 0 ＋
y 13 ?↘ 4 ?↗ 5 ?↘ 4 ?↗ 13
从表格知，当x＝±2时，函数有最大值13；
当x＝±1时，函数有最小值4.
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