苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 《5.3.1单调性》学案 (含答案)

§5.3.1　导数在研究函数中的应用—单调性
目标要求
1、通过实例分析，了解函数的单调性与导数的关系．
2、能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．
3、能利用导数研究函数单调性相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间；
难点：能利用导数研究函数单调性相关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系
在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 函数f(x)在(a，b)上___________
f′(x)<0 函数f(x)在(a，b)上___________
【课前预习思考】
(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
(2)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
(3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一个函数f在某一范围内导数的绝对值为，则
函数值的变化 函数的图象
越大 在这一范围内变化得较快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 在这一范围内变化得较慢 比较“平缓”
【课前预习思考】
某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题正确的是 ( ).
A.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．
B.函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
C.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
D.判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．
题2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为__________．
题3．求函数y＝x2－4x＋a的单调区间．
【课堂题组训练】
类型一　导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)
题4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则 (　 　)
A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定
题5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是 (　 　)
题6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 (　 　)
题7.已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的 (　 　)
题8．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为 (　 　)
类型二　利用导数求函数的单调区间(数学抽象、数学运算)
角度1　不含参数的函数的单调性　
【典例】题9.函数y＝x2·ex的单调递增区间为________．
题10.求函数y＝x2·ex的单调递减区间．
角度2　含参数的函数的单调性　
【典例】题11.讨论函数f(x)＝x2－a ln x(a≥0)的单调性．
题12．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　 　)
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
题13．讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
类型三　与单调性有关的参数问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题14.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
题15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　 　)
A．， B．[－，]
C．(－∞，－)，(，＋∞) D．(－，)
题16．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是 (　 　)
A．a>0 B．－11 D．0【课堂检测达标】
题17．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为 (　 　)
A．(－∞，－1]，[0，1] B．[－1，0]，[1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－∞，－1)，[1，＋∞)
题18．(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是 (　 　)
题19．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是 (　 　)
A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0，1)
题20．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
题21．求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
§5.3.1　导数在研究函数中的应用—单调性答案
目标要求
1、通过实例分析，了解函数的单调性与导数的关系．
2、能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．
3、能利用导数研究函数单调性相关的问题．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间；
难点：能利用导数研究函数单调性相关的问题．
教学过程
基础知识积累
1. 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系
在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 函数f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0 函数f(x)在(a，b)上单调递减
【课前预习思考】
(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
提示：f(x)是常数函数．
(2)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
提示：充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.
(3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0).
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一个函数f在某一范围内导数的绝对值为，则
函数值的变化 函数的图象
越大 在这一范围内变化得较快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 在这一范围内变化得较慢 比较“平缓”
【课前预习思考】
某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？
提示：不是．导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列命题正确的是 ( ).
A.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．
B.函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
C.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
D.判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．
【答案】ACD
提示：A√.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．
B×.切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．
C√.函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．
D√.若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．
题2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为__________．
【解析】因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案：(0，＋∞)
题3．求函数y＝x2－4x＋a的单调区间．
【解析】y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).
【课堂题组训练】
类型一　导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)
题4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则 (　 　)
A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定
【解析】选B.由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
题5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是 (　 　)
【解析】选D.因为函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，
所以当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
题6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 (　 　)
【解析】选C.由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如表：
x (-1,b) (b,a) (a,1)
f(x) ↘ ↗ ↘
f'(x) - + -
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a，1)时，在x轴下方．
【解题策略提醒】
通过图象研究函数的单调性的方法
(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
题7.已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的 (　 　)
【解析】选C.本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如表所示：
x (-∞,0) (0,2) (2,+∞)
f'(x) + - +
f(x) ↗ ↘ ↗
由表可知f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故满足条件的只有C.
题8．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为 (　 　)
【解析】选C.因为f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，所以当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
类型二　利用导数求函数的单调区间(数学抽象、数学运算)
角度1　不含参数的函数的单调性　
【典例】题9.函数y＝x2·ex的单调递增区间为________．
【思路导引】先求导数，再令导函数>0，解得的区间即为所求．
【解析】y′＝2x·ex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，由y′>0，ex>0得x2＋2x>0，即x>0或x<－2.
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
题10.求函数y＝x2·ex的单调递减区间．
【解析】y′＝2x·ex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，由y′<0，ex>0得x2＋2x<0，即－2单调递减区间为(0，－2).
角度2　含参数的函数的单调性　
【典例】题11.讨论函数f(x)＝x2－a ln x(a≥0)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0得2x2＝a.当a＝0时，f′(x)＝2x>0，
函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)＝0得x＝或x＝－(舍去).
当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数．
综上，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.
【解题策略提醒】
含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来
确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
题12．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　 　)
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
【解析】选D.因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，所以x＞2.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).
题13．讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a＞0时，f′(x)＝，因为a＞0，所以－＜0. 由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
类型三　与单调性有关的参数问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题14.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
四步 内容
理解题意 条件:①f(x)=x3-ax-1②f(x)为单调增函数结论:求实数a的取值范围
思路探求 f(x)为单调递增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
书写表达 由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
题后反思 若函数f(x)在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
【解题策略提醒】
已知函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；
(3)分离参数法．由f′(x)≥0或f′(x)≤0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数．只要求出其最值，即可求参数范围．
题15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　 　)
A．， B．[－，]
C．(－∞，－)，(，＋∞) D．(－，)
【解析】选B.f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.
题16．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是 (　 　)
A．a>0 B．－11 D．0【解析】选A.因为y′＝3a＝3a，
当－所以y′≤0，即a≥0，经检验a＝0不合题意，所以a>0.
【课堂检测达标】
题17．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为 (　 　)
A．(－∞，－1]，[0，1] B．[－1，0]，[1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－∞，－1)，[1，＋∞)
【解析】选A.因为y′＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)，所以令y′<0，则有x(x－1)(x＋1)<0，可得x<－1或0题18．(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是 (　 　)
【解析】选ABC.A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
题19．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是 (　 　)
A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0，1)
【解析】选A.因为f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0，1)内单调递减，
所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.
题20．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
【解析】因为f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
题21．求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝.令f′(x)>0，即>0，
因为x>0，所以x>，所以函数f(x)的单调递增区间是.令f′(x)<0，即<0，
因为x>0，所以0PAGE
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