苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 5.3 导数在研究函数中的应用【同步教案】（解析版）

1.函数的导数与函数的单调性的关系
对于在某个区间内有导数的函数y＝f(x)，如果在某区间上f1(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数，如果在某区间上f1(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数
2.用导数求函数的单调性的一步骤
①确定函数的定义
②求函数f(x)的导数f1(x)，令f1(x)=0，解此方程。求出定义域内的所有实数根
③把函数f(x)的间断点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分为若干个小区间
④确定f1(x)在各个小区间内的符号，根据封号判断函数f(x)在每个相应小区间内的单调性
3.函数极值的定义
极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
4.求函数的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间（a，b）上的极值
②讲函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个值是最大值，最小的一个是最小值
5.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
用导数判断已知函数的单调性
例题1
若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例题2
已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：函数y＝f(x)为连续的偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f(x)+xf′( x)＜0成立（f′(x)是函数f(x)的导函数）.若，则 a、b、c的大小关系是
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
训练1
定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若 x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是（ ）
A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
训练2
若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
求已知函数的极值
例题1
已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是
A． B．
C． D．
训练1
若函数在处有极小值，则
A． B． C． D．
训练2
关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
函数的单调性、极值与最值的综合应用
例题1
已知函数f(x)＝（1﹣）ex，若同时满足条件：① x0∈（0，+∞），x0为f(x)的一个极大值点；② x∈（6，+∞），f(x)＞0.则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，6] B．[6，+∞）
C．（﹣∞，0）∪[6，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，6]
例题2
已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
训练1
已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
训练2
当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．若函数，则函数f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-∞，-1)∪[3，+∞) B．[-1，3] C．(0，3] D．[3，+∞)
4．函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，若，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
7．如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上（ ）
A．没有单调性 B．无法确定单调性
C．是增函数 D．是减函数
8．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞4 B．或
C． D．2＜m＜4
二、填空题
9．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是_____.
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②函数有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
11．若函数的单调减区间为，则a的值为________．
12．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
三、解答题
13．（1）若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值；
（2）已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a，b使f(x)在区间[-1，2]上取得最大值3，最小值-29 若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
14．求下列函数的最值：
（1）f(x)=x3-2x2+1，x∈[-1，2]；
（2）f(x)=sin 2x-x，x∈；
（3）f(x)=-x.
15．已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
16．已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若，求的单调区间.
1.函数的导数与函数的单调性的关系
对于在某个区间内有导数的函数y＝f(x)，如果在某区间上f1(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数，如果在某区间上f1(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数
2.用导数求函数的单调性的一步骤
①确定函数的定义
②求函数f(x)的导数f1(x)，令f1(x)=0，解此方程。求出定义域内的所有实数根
③把函数f(x)的间断点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分为若干个小区间
④确定f1(x)在各个小区间内的符号，根据封号判断函数f(x)在每个相应小区间内的单调性
3.函数极值的定义
极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
4.求函数的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间（a，b）上的极值
②讲函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个值是最大值，最小的一个是最小值
5.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
用导数判断已知函数的单调性
例题1
若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数，解不等式即可，对求导得，可得在上单调递增，且，
根据单调性可得，即得正确答案.
【详解】
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以，
即不等式的解集是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，所要解的不等式等价于
，且，所以，因此需要对求导判断单调性即可.
例题2
已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：函数y＝f(x)为连续的偶函数，且当x∈（﹣∞，0），f(x)+xf′( x)＜0成立（f′(x)是函数f(x)的导函数）.若，则 a、b、c的大小关系是
A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】D
【分析】构造函数g(x)＝xf(x)，判断函数的单调性，利用单调性可得答案.
【详解】
f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f(x)+xf′(x)＜0，
令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)+xf′(x)＜0，
∴g(x)在x∈（﹣∞，0）上是减函数，
由g(x)为奇函数，可得在（0，+∞）上是减函数，
∴g(x)在R上为减函数.
∵＝2＞ln2＞﹣1，
∴a＞b＞c.
故选：D.
【点睛】构造函数并根据已知条件利用导数判断函数的单调性是常用的方法，有时还结合函数的单调性奇偶性等，考查分析问题解决问题的能力.
训练1
定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若 x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是（ ）
A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出的取值范围．
【详解】
解：当时，由可知：两边同乘以得：
设：
则，恒成立：
在单调递减，
由
即
即；
当时，函数是偶函数，同理得：
综上可知：实数的取值范围为，，，
故选：D．
【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质
训练2
若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.
【详解】
解：由已知可得，，两边同时除以，
则，化简有，
而，构造函数，，
令，则；令，则 ，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
由对于恒成立，
即在为增函数，则，
故的最大值为.
故选：C.
【点睛】考查导数研究函数的单调性.
求已知函数的极值
例题1
已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得，由已知条件可得，可得出关于实数、的方程组，解出实数、的值，利用导数可求得函数的极小值.
【详解】
由题知，由于函数的图象与轴相切于点，则，解得，
，，
令，可得或，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数的极小值为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：利用导数求极值的步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
（5）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.
例题2
已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的图象在处切线的斜率为，得，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值=.
【详解】
因为函数，所以 ，由函数的图象在处切线的斜率为，所以=3e，所以m=0. 即=0的根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在递增，所以函数的极大值=.
故选：A.
【点睛】考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键.
训练1
若函数在处有极小值，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：求函数的极值，首先令导函数为零得到导函数零点，再讨论单调性即可得极值.
详解：令，则.
令，得.
且当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以在处有极小值，即.
故选B.
【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
训练2
关于函数，下列判断错误的是（ ）
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【答案】B
【分析】
先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，
所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当时，，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此，即；故C正确；
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；
故选：B.
【点睛】考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
函数的单调性、极值与最值的综合应用
例题1
已知函数f(x)＝（1﹣）ex，若同时满足条件：① x0∈（0，+∞），x0为f(x)的一个极大值点；② x∈（6，+∞），f(x)＞0.则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，6] B．[6，+∞）
C．（﹣∞，0）∪[6，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，6]
【答案】A
【分析】
条件①说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件②不等式恒成立的范围，求交集可得的范围．
【详解】
由于f(x)＝（1﹣）ex，
则f′(x)＝ex＝ ex，
由 x0∈（0，+∞），x0为f(x)的一个极大值点，
故，解得a＞4；
令f′(x)＝0，则x1＝，x2＝，
故函数f(x)在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减
由于 x∈（6，+∞），f(x)＞0，故只需f(x)在（6，+∞）上的最小值大于0即可，
当x2＞6，即a＞时，函数f(x)在（6，+∞）上的最小值为f（x2）＝＞0，此时无解；
当x2≤6，即a≤时，函数f(x)在（6，+∞）上的最小值为f（6）＝≥0，解得a≤6.
故实数a的取值范围为4＜a≤6，
故选：A.
【点睛】考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值.
例题2
已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
训练1
已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可知，有且只有一个解，因为是它的唯一解，所以方程在上无解，利用导数判断函数在上的单调性，即可求出．
【详解】
由题意知函数的定义域为，
因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是．
故选：C．
【点睛】考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值．
训练2
当时，已知，，若存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件，问题转化为存在唯一整数使得点在直线的下方，对求导并探讨其图象及性质，再作出图象及直线，结合图形即可得解.
【详解】
由题意知，存在唯一整数使得点在直线的下方，
，时，时，即在上递减，在上递增，，
直线恒过定点且斜率为，，如图：
又，，，于是有，符合题意的唯一整数为0，
观察图形得，，即，从而得，
所以的取值范围是
故选：D
一、单选题
1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，则，即可得到函数的单调区间，从而判断可得；
【详解】
解：设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，故D满足．
故选：D．
2．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件构造函数，求导后结合已知可得在上为增函数，从而可比较出大小
【详解】
，，
设，则，
则在上为增函数，
对于A，因为，所以，
即，得，所以A错误，
对于B因为，所以，
即，得，所以B错误，
对于C，因为，所以，
即，得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
即，得，所以D正确，
故选：D．
3．若函数，则函数f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-∞，-1)∪[3，+∞) B．[-1，3] C．(0，3] D．[3，+∞)
【答案】C
【分析】先求函数定义域，再求导函数，根据导函数的正负，即可求解.
【详解】
解：函数的定义域为{x|x>0}，
因为，
令，且，得，
所以函数的单调递减区间为(0，3].
故选：C.
4．函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由导函数与原函数的单调性的关系求解．
【详解】
由图象知在和上单调递减，所以不等式的解集为．
故选：A．
5．已知函数，若，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题得时，，求出函数此时的单调区间得到，再求出即得解.
【详解】
由题得时，，
令，所以函数在单调递增，
令，所以函数在单调递减.
所以，所以.
又，
所以.
故选：B
6．已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据单调性比较大小即可.
【详解】
令，则，，，
而且，
即时单调增，时单调减，
∵，则.
故选：A.
7．如果函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上（ ）
A．没有单调性 B．无法确定单调性
C．是增函数 D．是减函数
【答案】C
【分析】根据导数的正负判断函数的单调性即可.
【详解】
∵y′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
又x>0，f(x)>0，f′(x)>0，
∴y′>0.
∴函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故选：C.
【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
8．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞4 B．或
C． D．2＜m＜4
【答案】C
【分析】求导函数，由题意得其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得m的取值范围.
【详解】
，
由题意得导函数无变号零点 ，
所以恒成立，
，
解得，
故选：C.
二、填空题
9．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是_____.
【答案】
【分析】求导函数，则的两根为，，且为极大值点，所以．
【详解】
由，依题意可知有两个不同解，，
函数的对称轴为，则
当时，当时，
所以为极大值点，又因为，
所以
故答案为：
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．
①当x＝时，函数取得极小值；
②函数有两个极值点；
③当x＝2时，函数取得极小值；
④当x＝1时，函数取得极大值．
【答案】①
【分析】求出原函数的导函数，导函数是二次函数，由导函数的图象可知原函数的单调区间，结合导函数的图象经过和两点，从而判出极值点，然后验证4个命题，则答案可求．
【详解】
由，可得．
由导函数的图象可知，当，时，
当时．
所以函数的增区间为，
减区间为．
则函数有两个极值点，
在时取得极大值，在时取得极小值．
由此可知①不正确，②③④，正确，．
故答案为：①．
11．若函数的单调减区间为，则a的值为________．
【答案】
【分析】先求解出，然后根据单调递减区间是得到，由此求解出的值.
【详解】
∵，且的解为，
∴，∴.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：已知函数的单调区间求解参数和已知函数在区间上的单调性求解参数的区别：
已知函数的单调区间求解参数时，求解的是参数的确定值；
已知函数在区间上的单调性求解参数时，求解的是参数的取值范围.
12．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】对函数求导得，求得函数的极小值点，可得不等式解不等式可得答案；
【详解】
因为，所以，，
所以在单调递减，在单调递增，
因为在区间（其中）上存在最小值，
所以解得：，
故答案为：.
三、解答题
13．（1）若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值；
（2）已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a，b使f(x)在区间[-1，2]上取得最大值3，最小值-29 若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
【分析】
(1)对函数求导，,计算即可求得实数a，b的值.
即解得
(2)求得导函数，根据和两种情况谈论函数的单调性，根据最值解方程即可求得结果
【详解】
(1)由于，所以.
依题意，可得且.
即解得
(2)存在,，
令，解得x1=0，x2=4(舍去).
①当a>0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表
x (-1，0) 0 (0，2)
+ 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以当x=0时，f(x)取得最大值.所以b=3.
又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，所以当x=2时，f(x)取得最小值，
所以-16a+3=-29，即a=2.
②当a<0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x (-1，0) 0 (0，2)
- 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=0时，f(x)取得最小值.所以b=-29.
又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，所以当x=2时，f(x)取得最大值，
所以-16a-29=3，即a=-2.
综上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
14．求下列函数的最值：
（1）f(x)=x3-2x2+1，x∈[-1，2]；
（2）f(x)=sin 2x-x，x∈；
（3）f(x)=-x.
【答案】（1）最大值1，最小值；（2）最大值，最小值；（3）最大值，无最小值.
【分析】
分别求得导函数，进而得出函数在指定区间的单调性，计算即可求得最值.
【详解】
(1)，令，有3x2-4x=0，解得x=0或x=.
当x变化时，，f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1，0) 0 2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -2 ↗ 1 ↘ - ↗ 1
从上表可知，最大值是f(0)=f(2)=1，最小值是f(-1)=-2.
(2)=2cos 2x-1，x∈，
令=0，得x=-或x=.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x - (-，-) - (-) ()
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ ↗ ↘ -
由上表可知，
当x=-时，f(x)取得最大值，
当x=时，f(x)取得最小值=-.
(3)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-1，令f'(x)=0，得x2=1-ln x，显然x=1是方程的解.
令g(x)=x2+ln x-1，x∈(0，+∞)，
则g'(x)=2x+>0，
∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.
∵当00，
当x>1时，f'(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴当x=1时，函数f(x)有最大值，且最大值是f(1)=-1，函数f(x)无最小值.
15．已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
16．已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若，求的单调区间.
【答案】（1）极大值，极小值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，，求导，人通过列表把函数的单调区间表示出来，从而得到函数的极值.
（2）求导，对参数分类讨论，分别求得对应区间的函数单调区间即可.
【详解】
解：（1）因为当时，，
所以，由得或，
当变化时，，的变化情况列表如下：
+ - +
单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增
所以当时，取极大值；当时，取极小值.
（2），，
①当时，当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增
②当时，在恒成立，所以在上单调递增；
综上所述，①当时，单调递增区间为，.单调递减区间为；
②当时，单调增区间为，无减区间；
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