2014年中考初中数学同步复习教材：函数篇

2014年中考初中数学同步培优教材
函数篇
目录
第一讲 数轴，直角坐标系 3
1.1、数轴的特征：原点，正方向，单位长度 3
1.2、平面直角坐标系：知识讲解 3
第二讲 一次函数 9
2．1、一次函数的意义 10
2.2、求一次函数的解析式 11
2．3 、一次函数的图象 12
2．4、一次函数的性质 14
2．5、平移 16
2．6、交点问题及直线围成的面积问题 17
第三讲 一次函数与方程和不等式 20
第四讲 反比例函数 27
4.1．反比例函数的定义 29
4.2 反比例函数几何意义 31
4.3 反比例函数的应用： 36
第五讲 二次函数 42
5.1 二次函数基础 42
5.2 图像性质 45
5.3 图像的平移 49
第六讲 二次函数与一元二次方程 53
6.1 一元二次方程 53
6.2 二次函数与一元二次方程 56
第七讲 函数综合题讲解 61
第一讲 数轴，直角坐标系
章节概述：本章的数轴和平面直角坐标系是基础，对数轴和平面直角坐标系的理解是学好函数的基础，利用数轴理解点的坐标在坐标中建立一次函数，反比例函数，二次函数解决实际问题
1.1、数轴的特征：原点，正方向，单位长度
规定了 、 和 的直线叫数轴

数轴上的数是按照从左向右，由小到大的顺序排列的。
即：数轴上，右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数。
正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数。
1.2、平面直角坐标系：知识讲解
①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，到y轴距离为│a│，到原点距离为；
③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P在第一象限a>0且b>0，
P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0；
④点P（a，b）：若点P在x轴上a为任意实数，b=0；
P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0；
P在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=－b；
⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称x1=x2，y1=－y2；
A、B关于的y轴对称 x1=－x2，y1=y2；
A，B关于原点对称x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴y1=y2且x1≠x2；
AB∥y轴x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．
◆例题解析
例1 已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；
（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

例2 如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是
（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标．

A组
1．已知A，B，C，D点的坐标如图1所示，E是图中两条虚线的交点，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标为_______．

图1 图2 图3
2．已知点A（m2+1，n2－2）与点B（2m，4n+6）关于原点对称，则A关于x轴的对称点的坐标为_____，B关于y轴的对称点的坐标为______．
3．在图2的直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为_______平方单位．
4．在直角坐标系中，已知点A（－5，0），B（－5，－5），∠OAB=90°，有直角三角形与Rt△ABO全等并以BA为公共边，则这个三角形未知顶点的坐标是_______．
5．已知m为整数，且点（12－4m，19－3m）在第二象限，则m2+2005的值为______．
6．如图3所示，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是_______．
7．如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______．
图4 图5 图6
8．如图5所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（，1），若将△OAB逆时针旋转60°后，B到到达B′点，则B′点的坐标是_______．
二、选择题
9．对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．图6是中国象棋棋盘的一部分，若在点（1，－1）上，在点（3，－1）上，则在点（ ）
A．（－1，1） B．（－1，2） C．（－2，1） D．（－2，2）
11．已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（－1，1），B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A，B的对应点A，B的坐标分别是（ ）
A．（，），（，） B．（，0），（，）
C．（0，），（，） D．（，），（，）
12．已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．4
13．若点A（－2，n）在x轴上，则点B（n－1，n+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．如图7所示，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）

图7 图8
15．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，－1）
16．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
三、解答题
17．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
18．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（s）；
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．
19．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．
（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．
（3）在图的条件下，设T（x，y）：
①探求：y与x之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．
B组
1．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．如图5－14所示，在直角坐标系，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知P1的坐标是（1，1），试写出点P2，P7，P100的坐标．
2．如图所示，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．
（1）如果A，D两点的坐标分别是（1，1）和（0，－1），请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B，点C的坐标；
（2）请根据你所学过的平移，旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．
3．如图a所示，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．
（1）如图b所示，若翻折后点F落在OA边上，求点D，E的坐标；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的关系式．
(a) (b)
第二讲 一次函数
章节概述：

一次函数为八上期末测试的重难点,常与前面中心对称图形综合在一起，作为压轴题对初二学生进行考察。学好一次函数能够为后阶段的反比例函数、二次函数的学习打下坚实的基础。
2．1、一次函数的意义
知识点：一次函数：若两个变量、间的关系式可以表示成（、为常数，）的形式，称是的一次函数。
正比例函数：形如（）的函数，称是的正比例函数，此时也可说与成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数
例.判断下列函数中，哪些y是x的一次函数？哪些y是x的正比例函数？
⑴y＝－x＋1；??? ⑵；?? ⑶；?? ⑷；
⑸2x＋3y＝5；?? ⑹xy＝4；??????? ⑺.
分析：根据一次函数和正比例函数的定义来解答此题．
解：⑴y＝x＋1 ，⑶，⑸2x＋3y＝5中y都是x的一次函数，其中，又是正比例函数．
习题练习
1、下列函数（1）y=3πx；（2）y=8x-6；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（　　）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
2、当k_____________时，是一次函数；
3、当m_____________时，是一次函数；
4、当m_____________时，是一次函数；
2.2、求一次函数的解析式
知识点：确定正比例函数的解析式：只须一个条件，求出待定系数即可．
确定一次函数的解析式：只须二个条件，求出待定系数、即可．
A、设——设出一次函数解析式，即；
B、代——把已知条件代入中，得到关于、的方程（组）；
C、求——解方程（组），求、； D、写——写出一次函数解析式．
例1. 已知y＋m与x＋n成正比例（m、n为常数）：
⑴试说明y是x的一次函数；
⑵若x＝－3时，y＝5；x＝2时，y＝2．求函数关系式．
例2、 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设该一次函数的图象向上平移2个单位后，与轴、轴的交点分别是点A、点B，试求的面积.
及时练习
1、已知A（0，0），B（3，2）两点，经过A、B两点的图象的解析式为（　　）
A、y=3x B、y= x C、y= x D、y= x+1
2、如上图，直线AB对应的函数表达式是（　　）
A、 B、C、 D、
3、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；
4、如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
?
例3. 已知点A（2，2）、B（－4，3）：
⑴在y轴上求一点P，使PA＋PB最短；
⑵在X轴上求一点Q，使QA＋QB最短．
2．3 、一次函数的图象
一次函数的图象是一条直线，与轴的交点为，与轴的交点为
正比例函数的图象也是一条直线，它过点，
例1 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m﹤O B．m＞0
C．m﹤ D．m＞M
．
例2 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
例4 已知：点（2，m）和（－3，n）都在直线y＝－3x＋1上，试比较m和n的大小，你能想出几种判断的方法？
?
A组
1、一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　）
A、x＞0 B、x＜0 C、x＞2 D、x＜2
2、正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A、 B、 C、 D、
3、如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
5、如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）

A．处 B．处 C．处 D．处
B组
1、直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为（ ）
A、x＞1 B、x＜1 C、x＞－2 D、x＜－2
2．4、一次函数的性质
名称
函数解析式
系数符号
图象
所在象限
性质
正比例函数
()
K>0
图象经过一、三象限
值随的增大而增大
K<0
图象经过二、四象限
值随的增大而减小
一次函数
K>0
b>0
图象经过一、二、三象限
值随的增大而增大
b<0
图象经过一、三、四象限
K>0
b>0
图象经过一、二、四象限
值随的增大而减小
b<0
图象经过二、三、四象限
例1 判断k、b的符号
例2. 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝kbx的图象在同一平面直角坐标系里，正确的是（ ）
及时练习
1、如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1>y2 B．y1C．当x1y2 D．当x13、请写出符合以下三个条件的一个函数的关系式 ．
①过点；
②在第一象限内y随x的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2．
2．5、平移
知识点：直线与直线的位置关系：两直线平行；
一次函数图象平移
(1)一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时。向下平移）
(2)图象上下平移与k无关，与b有关，图象向上移动b的值增加，图象向下移动b的值减小
这个规律可以简记为：
直线y=kx+b向左平移∣m∣个单位长度得到直线y=k(x+m)+b，直线y=kx+b向右平移m个单位长度得到直线y=k(x-m)+b，即直线y=kx+b平移∣m∣个单位长度得到直线y=k(x+m)+b (当m＞0时，向左平移；当m＜0时，向右平移)，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律．
(3)图象的左右平移与k，b无关，与自变量x有关系，向左移动增加，向右移动减小
这个规律可以简记为：．
例题（1）点向下平移2个单位后的坐标是 ，直线向下平移2个单位后的解析式是.
（2）直线向右平移2个单位后的解析式是.
（3）如图，已知点为直线上在第一象限内一点，直线交轴于点，交轴于，将直线沿射线方向平移 个单位，求平移后的直线的解析式．
及时训练
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=x向右平移2个单位得到直线
3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
4. 直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
5. 直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。
6. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
7．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；
2．6、交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；

一、根据一次函数的图象求面积
例1 在平面直角坐标系中，已知A（8，0）、B（0，6）、C（0，-2），连接AB，过C作直线l与AB交于P，与OA交于E，且OE：OC=4：5，求△PAC的面积。
例2 已知直线经过点（-1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线经过点（2，-4）和（0，-3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C。
（1）求直线和的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）设直线与交于点P，求△PBC的面积。
二、根据面积关系求一次函数解析式
例3 如图，直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象。
（1）用m、n表示A、B、P的坐标；
（2）设PA交y轴于Q，若AB=2，四边形PQOB的面积为，求P点坐标和直线PA、PB的解析式。
例4 已知直线与x轴交于A，与y轴交于B点；直线l经过原点，与线段AB交于C，且把△ABO的面积分为1：2两部分，求直线l的解析式。
A组
直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB
求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
分别写出两条直线解析式，并画草图；
计算四边形ABCD的面积；
若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。
B组
1.如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；
求△COP的面积；
求点A的坐标及p的值；
若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。
2、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D
??? （1）求直线的解析式；
??? （2）若直线与交于点P，求的值。
3. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。
?
第三讲 一次函数与方程和不等式
章节概述：本章知识是在一次函数，一元一次方程的基础上研究二者之间的关系。根据具体的题目建立一元一次方程，通过一次函数解决具体的，实际问题。
知识要点：
1. 一次函数与一元一次方程
将一次函数y＝kx＋b中的y值看作0，则kx＋b＝0即为一元一次方程，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上看，相当于求已知直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标的值。
例如，解方程2x－4＝0，相当于求当y＝2x－4的函数值为0的自变量的值，也相当于确定y＝2x－4与x轴交点的横坐标的值。也就是说，求得2x－4＝0的解为x＝2，就求得y＝2x－4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y＝2x－4与x轴交点的横坐标为2。反过来，要求y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y＝2x－4与x轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x－4＝0。
2. 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以，解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
例如，解不等式2x－4＞0，相当于求使y＝2x－4的函数值大于0的自变量取值范围，也相当于y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值范围。也就是说，求得2x－4＞0的解集为x＞2，就得出当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0，也就得出当x＞2时这条直线上的点在x轴的上方。如图所示。反过来，求使y＝2x－4函数值大于0的自变量的取值范围，要求y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量的取值范围，都相当于解不等式2x－4＞0。
3. 二元一次方程与一次函数
由于任意一个二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。
例如，二元一次方程2x－3y－6＝0可以化为y＝x－2，所以方程2x－3y－6＝0对应直线y＝x－2。
4. 二元一次方程组与一次函数
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
例如，解方程组，相当于解方程。从数的角度看，相当于问x为何值时，y＝2x－1的函数值与y＝x＋2的函数值相等。也相当于确定y＝2x－1与y＝x＋2的交点坐标。
三. 重点难点：
初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，通过作函数图像、观察函数图像进行知识间的综合，体会数形结合思想。
【典型例题】
例1. 下列图像中，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图像是（ ）
例2. 用作图像的方法解不等式x－2＞0。
例3. 如图所示，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图像交于点P，则根据图像可得，关于的二元一次方程组的解是__________。
例4. 用作图像的方法解方程组。
例5. 如图所示，直线l1的解析表达式为y＝－3x＋3，且l1与x轴交于点D。直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C。
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标。
A组
一. 选择题
1. 点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x＋3图像上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2 B. y1＞y2＞0 C. y1＜y2 D. y1＝y2
2. 直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为（ ）
A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定
3. 如图所示，直线y＝kx＋b与x轴交于点（－4，0），当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A. x＞－4 B. x＞0 C. x＜－4 D. x＜0
4. 已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ）
A. y＞0 B. y＜0 C. －2＜y＜0 D. y＜－2
5. 函数y＝4x－2与y＝－4x－2的交点坐标为（ ）
A. （－2，0） B. （0，－2） C. （0，2） D. （2，0）
6. 一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像如图所示，则不等式kx＋b＞0的解集是（ ）
A. x＞－2 B. x＞0 C. x＜－2 D. x＜0
7. 一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A. x＞0 B. x＜0 C. x＞2 D. x＜2
*8. 一次函数y＝k（x－1）的图像经过点M（－1，－2），则其图像与y轴的交点是（ ）
A. （0，－1） B. （1，0） C. （0，0） D. （0，1）
二. 填空题
1. 已知y＝2x－4，当__________时，y＞0。
2. 已知y1＝2x－3，y2＝－x＋6，当__________时，y1＞y2。
3. 如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须____________。
*4. 一次函数y＝（m－2）x＋m的图像不经过第三象限，且m为正整数，则它的图像上纵坐标为－5的点的横坐标为__________。
5. 莉莉有10元钱，她购买作业本后剩下的钱y（元）与购买的作业本数x满足函数y＝10－1.2x，当剩下的钱y不超过2.8元时，她购买的作业本数x应满足__________。
6.如图，直线y＝kx＋b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组x＜kx＋b＜0的解集为__________。
三. 解答题
1. 已知直线l1：y＝－4x＋5和直线l2：y＝x－4，求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上。
2. 画出一次函数y＝－3x＋12的图像，通过图像观察x为何值时，（1）y＞0？（2）y＝0？（3）y＜0？
3. 利用图像解方程组。
B组
一、选择题
1. 下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程5x﹣1=2x+5，其中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
三、解答题
1. 201 0年秋冬北方严重干旱．凤凰社区人畜饮用水紧张．每天需从社区外调运饮用水120吨．有关部门紧急部署．从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点．甲厂每天最多可调出80吨．乙厂每天最多可调出90吨．从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
(1)若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水?
(2)设从甲厂调运饮用水x吨．总运费为y元。试写初W关于与x的函效关系式．
怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?
2.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别
甲
乙
进价（万元/台）
10.5
6
售价（万元/台）
11.2
6.8
（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）
3. 由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？
第四讲 反比例函数
章节概述：本章反比例在中考中占有重要地位，是中考必考内容之一，题型有低档的填空和选择题，也有中高档的解答题，而且经常与一次函数，二次函数，三角函数结合。也经常与一次函数图像结合考察。反比例函数的应用中常与三角形，四边形，相似，全等等知识点结合
定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成
反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
描点（有小到大的顺序）
连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4．反比例函数性质如下表：
的取值
图像所在象限
函数的增减性
一、三象限
在每个象限内，值随的增大而减小
二、四象限
在每个象限内，值随的增大而增大
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用
4.1．反比例函数的定义
例1：已知 是反比例函数，则m＝ 。
即时训练：3、反比例函数 当<0时 y随x的增大而增大 则 m的值是________
例2：已知反比例函数（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1－y2的值是
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
即时训练：5、在函数 （a为常数）的图像上三点 （—1 ，） （ ） （ ）
则 函数值 的大小关系是__________________.
A组
1、在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是--------------------―――---－-（ ）
A、 　　 B、 　 C、 　D、
2、双曲线（m为常数）当时，随的增大而增大，则取值范围是（ 　 ）
A、 B、 C、 　 D、
3、已知点（2，5）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在该函数图象上的是----―（ 　 ）
A、（2，—5） B、（—5，—2） C、（—3，4） 　 D、（4，—3）
4、已知反比例函数，则当时，y的取值范围是--------―――---（ 　 ）
A、 　B、 C、 D、
B组
1、反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是-----------------――--- -------------------( )
A． B．　　 C．　　 D．
2、已知y=+,其中与成反比例,且比例系数为,而与成正比例,且比例系数为若x＝-1时,y=0,则、的关系是------------------------------―――---( 　 )
A、 =0 B、 =1 C、 =0 D、 =-1
3.若双曲线的图象在一、三象限,直线过二、四象限,则的整数值是 ．
4．如图6是反比例函数y=的图象的一支.
（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？
（2）若函数的图象经过（3，1），求n的值.
（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1,b1）和点
B（a2,b2）,如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小.
4.2 反比例函数几何意义
知识要点：1.理解反比例函数在坐标上的意义
根据点坐标求与坐标组成的三角形，矩形的面积
把不规则图形转化成三角形或者矩形
例1：18、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，
点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，
PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象
上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是
即时训练：如图所示，已知：正方形OABC的面积为9 ，点O为坐标原点，点A 在x轴上，点C 在y轴上, 点B 在函数的图象上,点P(m，n)是函数的图象上动点，过点P分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，若设矩形OEPF 和正方形OABC不重合的两部分的面积之和为S.
(1)求B 点坐标和k 的值； (2)写出S 关于m的函数关系式
例2 .如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点, 且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求:
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积.
(3)当x取何值时，一次函数的函数值大于反比例函数函数值.
即时训练、如图，RtΔABO的顶点A是双曲线与直线
在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且S△ABO＝，
则反比例函数的解析式　　　　　　　　．
例3 如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形和按图示方式进行放置（其中在轴正半轴上，点在轴正半轴上），与相交于点，若点坐标 为（ ，），则经过点的反比例函数解析式是
例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．
例5、如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（-1，0），且与反比例函数y=k/x
（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．
即时训练
1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于、、B两点，与反比例函数y=m/x 的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，-1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
A组
1． 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________．

2.已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．
B组
1．如图,△POA是等腰直角三角形，点P在函数y=(x>0)的图象上，斜边OA在轴上，则点A的坐标是__________________
2．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD ：DB=1 ：2，若△OBC的面积等于3，则k的值 （）
A．等于 B．等于2 C．等于 D．无法确定
3．图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于点A和点B．若点C
是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3
4. 如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k＝______．
5. 双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是______．
.
6．如图，一次函数y1＝k1x＋2与反比例函数y2＝的图象交于点A (4，m)和B(－8，－2)，与y轴交于点C．
　 (1)k1＝_______，k2＝______；
　(2)根据函数图象可知，当y1>y2时，x的取值范围是______．
　(3)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△CE＝3：1时，求点P的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7 如图，一次函数的图象与反比例函数y1＝－(x<0)的图象相交于正A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C(2，0)．当x<－1时，一次函数值大于反比例函数值；当x>－1时，一次函数值小于反比例函数值．
　(1)求一次函数的解析式；
　 (2)设函数y2＝(x>0)的图象与y1＝－ (x<0)的图象关于y轴对称，在y2＝(x>0)的图象上取一点P(P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
8、如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
（1）求这两个函数解析式；（2）直接写出时x的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
4.3 反比例函数的应用：
用反比例函数来解决实际问题的步骤：
例1 .保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。某化工厂2009年1 月的利润为200万元。设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元。由于排污超标，该厂从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例。到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）
(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式。
(2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂利润才能达到1 月的水平？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
即时训练：心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的
注意力随学习时间的变化而变化.开始学习时，学生的注意力逐步增
强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学
生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随
时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，
CD为双曲线的一部分）。
（1）分别求出当x≤10,10x＜30以及x≥30时，注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数关系式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知——自主探索，合作交流——总结归纳，巩固提高”.其中重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不底于40。请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由。
A组
1.为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
B组
（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（第27题图）
（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．
（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H． 试证明：EF ∥GH．
第五讲 反比例函数与一次函数
已知反比例函数()的图像经过点(，)，过点作轴于点，且的面积为．
（1）求和的值．
（2）若一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，求的值．
如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
即时训练：
1如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围．

如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；
（3）求方程的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式的解集（请直接写出答案）.
A 组
1．在同一直角坐标系中，函数y=k(x－1)与y=的大致图象是
2.直线l与双曲线C在第一象限相交于A、B两点，其图象信息如图4所示，则阴影部分（包括边界）横、纵坐标都是整数的点（俗称格点）有：
A．4个 B．5 个 C．6个 D．8个
3．如图，已知反比例函数y1=的图像与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（-2,1）、B（a，-2）.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围.(6+4+4=14分)
B组
1 已知直线()和双曲线()的一个交点是(，)，求它们的另一个交点坐标．
2 直线与双曲线交于两点，则 ．
已知正比例函数与反比例函数图象交点到轴的距离是3，到轴的距离是4，求它们的解析式．
若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）（14分）
（1）求点A的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）设O为坐标原点，若两个函数图像的另一个交点为B，求△AOB的面积。
第五讲 二次函数
章节概述：本章二次函数在中考中占有重要地位，是中考必考内容之一，题型有低档的填空和选择题，也有中高档的解答题，而且经常与方程、不等式和三角函数结合，出现在压轴题当中，今后的中考当中，也会出现二次函数解决贴近生活实际的阅读理解题、应用题和探究题。
5.1 二次函数基础
知识目标：1.二次函数概念。2.几种特殊形式。
概念：(一般式)
一般的，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数成为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数
特殊形式：
y=ax2 （b=c=0）
y=ax2+bx (b≠0、c=0)
y=ax2+c (b=0、c≠0)
y=a（x+h）+k2 (h、k)为顶点坐标
y=a(X-x1)(X-x2) 与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是以（－，）为顶点，以x=－为对称轴的一条抛物线.
2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.
例1：函数是抛物线，则＝ .
解析： 二次函数的几何图形称为抛物线。要证明函数式二次函数，包含两个方面：一是自变量的最高指数是2，二是二次项系数不为0，否则就是一次函数了。答案是: ＝-1.
即时训练：下列各式中,是的二次函数的是 ( )
A． B． C． D．
例2：抛物线与轴交点为 ，与轴交点为 .
解析： 二次函数交点情况，是与坐标轴（X轴和Y轴）的交点。令X（或Y）=0，即可以解方程得到Y（或X）的值，该值再以点坐标的形式表示，即为与Y轴（或X轴）的交点坐标。
答案：（1,0）（-3,0），（0,3）
即时训练：抛物线在轴上截得的线段长度是 ．
例3：在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），
C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
解析：该题在告诉我们的3个已知点中，有两个是图像与X轴的交点，假设两点式，将第三个点代入求解。答案略。
即时训练：已知点A（1，1）在二次函数图像上。
（1）用含的代数式表示；
（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。
例4：如果抛物线 的对称轴是直线x＝－2，且开口方向与形状与抛物线相同，又过原点，那么a＝???????? ，b＝??????? ，c＝???????? .
解析：该题的对称轴即是顶点的横坐标，抛物线开口方向和大小都是由字母a来决定，原点是该抛物线经过的一个特殊点，代入即可求解。答案略。
例5：如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，已知BC∥轴，点A在 轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
A组
1.在下列关系式中,y是x的二次函数的关系式是 ( )
A.2xy+x2=1 B.y2-ax+2=0 C.y+x2-2=0 D.x2-y2+4=0
2.设等边三角形的边长为x(x>0），面积为y，则y与x的函数关系式是( )
A. B. C. D.
3.抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于( )
A.-16 B.-4 C.8 D.16
4.抛物线在y=x2-2x-3在x轴上截得的线段长度是 .
5.设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S(m2）与窗户宽x (m)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 .
6.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2-2x-5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是 .
7.一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。
①求直线AC的解析式；
②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线 上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由。

B组
1、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y＝－x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度。
2、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
①求这条抛物线所对应的函数关系式。
②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
3、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。
① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；
② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？
每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
5.2 图像性质
知识要点：
抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系：当a﹥0时，开口向上，a越 大，开口越小，图象两边越靠近y轴.在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大.此时，y有最小值y=，
顶点（－，）为最低点.（同样的方法，分析当a﹤0时的情况）
ab﹥0时，对称轴在y轴左侧；ab=0时，对称轴是y轴；ab﹤0时，对称轴在y轴右侧.
c﹥0时，与y轴正半轴相交；c=0时，经过原点；c﹤0时，与y轴负半轴相交.
例1：二次函数的图象如图所示，则对称轴是 ，当函数值时，对应的取值范围是 .
解析：根据图像，我们可以知道与X轴的交点坐标，那么，自然可以得到对称轴了，相对应的时，范围也就出来了。答案略。
即时训练：已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示：
则这个二次函数的解析式是 y＝＿＿＿。
例2：已知 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，则 a、b、c 满足（　　）
A、a＜0，b＜0，c＜0　　　B、a＞0，b＜0，c＞0
C、a＜0，b＞0，c＞0　　　D、a＜0，b＜0，c＞0
解析： 二次函数的性质是：a决定开口方向，a和b共同决定
对称轴在Y轴的左侧还是右侧，c决定抛物线与Y轴的交点在
X轴的上方还是下方。答案：D
即时训练：1、已知二次函数，若，，那么它的图象大致是（ ）


2、一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图像可能是 （ ）

例3：对于任何的实数t，抛物线 y=x2 +(2-t) x + t总经过一个固定的点，这个点是 ( )
A . (1, 0) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (l, 3)
解析：　该题考察难度增加，要寻找出该固定点，就是要找出字母t影响不到的点。对于这样的选择题，我们可以将选项的点代入验证求解。答案略。
例4：抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（　　）
A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点
解析： 该题要求我们把函数的所有性质都要考虑，找出其中的错误结论。答案略。
即时训练2：红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天）
1
3
6
10
36
…
日销售量m（件）
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围。
1、李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式　 　．
2、抛物线ｙ＝３ｘ2－６ｘ＋５化成顶点式是______________，当ｘ_____时，ｙ随ｘ的增大而减少，当ｘ_____时，ｙ随ｘ的增大而增大．当-1 ＜ｘ≤3时, ｙ的取值范围是
3、已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图9所示），则能使成立的的取值范围是　　　　　　　．
4、如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴。
第（1）问：给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0； ④a+b+c=0
其中正确的结论的序号是
第（2）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；④a＞1。其中正确的结论的序号是
5、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。
⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大．
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．
6、已知一个二次函数与x轴相交于A、B, 与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是 .
7、如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3
③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。
正确的说法有_________。(把正确的答案的序号都填在横线上)
8、如图9，抛物线与x的负半轴相交于A、B两点，
与y轴的正半轴相交于C点，与双曲线的一个交点是，
且OA=OC．求抛物线的解析式．
9、如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
10、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。
① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式；
② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？
③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
11、如图，抛物线经过点A(1，0)，与y轴交于点B.
⑴求抛物线的解析式；
⑵P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.
5.3 图像的平移
知识要点：1.平移的前提是将函数化成标准的顶点式，平移的实质是顶点的平移。
平移的法则参照一次函数，口诀与一次函数相同（左“+”右“-”，上“+”下“-”）。
会直接写出函数关于坐标轴的对称图形的函数表达式
会直接写出函数关于原点的对称图形的函数表达式
例1： a、b、c的正负及图像平移性质：
1．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；
2．把抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为____________________．
3．将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是____________________．
解析： 这几个平移都是比较基础的平移，函数的形式都比较简单。答案略。
例2：①把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 ____________________．
②二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式是y=x2－2x+1，则b与c的值分别是 ( )
A．－4，1 B．2, －2 C．－6，6 D．－8，14
解析： 这两题较上面例题1的3个，函数的形式的表示不是最基本的形式，而是一般式，对于这样的题目，我们就要把函数先化简成顶点式再平移。答案略。
例3：-4x+5 关于y轴对称的抛物线解析式为： ．
关于x轴对称的抛物线解析式为： ．
关于原点对称的抛物线解析式为： ．
关于点（1，-1）中心对称的抛物线解析式为： ．
解析：图像由平移转化到轴对称和中心对称，这样的考察类型，要求我们对函数的图像和性质作更加深入的了解。在作对称变换时，注意顶点的改变，还有就是开口方向变不变。。但不管是平移，轴对称还是中心对称，a的绝对值永远是不会变的，这是因为抛物线在运动的时候，形状都没有发生改变。答案略。
1、如果直线ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａｂ≠０）不经过第三象限，则抛物线ｙ＝ax2＋bx的顶点在（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
2、若抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线，则＝ ，＝ ．
3、-2x-3 关于y轴对称的抛物线解析式为： ．关于x轴对称的抛物线解析式为： ．关于原点对称的抛物线解析式为： ．关于点（-1，-1）中心对称的抛物线解析式为： ．
4、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是
（﹣2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA．
（1）求△OAB的面积；
（2）若抛物线y=﹣x2﹣2x+c经过点A．
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
5、已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时，的取值范围.
6、将抛物沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
二次函数总结：
二次函数是中考试卷中的一个重点内容，在无锡130分的中考卷子中，与其它知识点结合综合考察的内容，其分数都在20分以上，尤其是最后3题的知识点考察，函数解析式的求解，函数性质的分析，函数最值的解答等等，都是中考当中的失分点。另一方面，二次函数的应用考察，还包括应用题的解答。涉及的内容都是现实生活中遇到的问题，比如商品买卖的最大利益怎么分配，商品制造的最小投入等等，这些问题最终都是用二次函数的知识来解答的。而且，二次函数与其它代数几何内容的结合也很多，在第八章的函数综合中会有体现。
第六讲 二次函数与一元二次方程
章节概述：进入初三以来的计算，内容就3大块：二次根式，一元二次方程和锐角函数。在这3部分内容当中，二次根式的中考比重最小，锐角函数的考察又很集中，唯有一元二次方程与二次函数的结合，在起点上就将题目的难度提高了。总的来说，方程是基础，在二次函数图像和一些其它函数（比如一次函数）图像求交点的时候，用到的方法就是解方程。因此，灵活准确的掌握方程的解法，对做题会有很大的帮助，其几何意义也重大。
6.1 一元二次方程
知识要点
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
例2 1、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则 .x12+x22= .
2、若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则 .
3、.已知实数x，y满足，则＝ ．
4、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11 B.17 C.17或19 D.19
例3 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.
例4 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.
2．已知2是关于x的方程x2－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________.
3．关于的方程有一个根，则的方程的解为_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 　　B. 1 　 C. －2 　 D. 2
7．解方程
(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）xx+1=0．
8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．
9、已知是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值：
（1） （2） (3) (4)
10、.已知关于x方程的两个实数根是，且。如果关于x另一个方程的两个实数根都在和之间，求m的值。
6.2 二次函数与一元二次方程
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点△﹥0抛物线与x轴相交.②有一个交点△=0抛物线与x轴相切.③没有交点△﹤0抛物线与x轴相离.
2．一次函数y=kx+n（k≠0）的图象L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程组有两个不同的解L与G有两个交点；②方程组只有一组解L与G只有一个交点；③方程组无解L与G有没有交点.
例1 若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c= 　（只要求写出一个）
解析：考查二次函数的图象的性质，其实，当c=4时，二次函数y=（x－2）2与x轴只有一个交点，因而当c﹥4，二次函数与x轴没有交点. 答案：5（答案不唯一）
例2 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0)．
(1)求b、c的值．
(2)若抛物线与y轴交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）．
解析：抛物线与x轴交点的横坐标，也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根，也就是方程有两个相等实数根，即b2－4c=0.再把A点坐标代入，求出b、c的值.△OAB为直角三角形，一条直角边OA=2，另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值，求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长，最后求得周长.
答案：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.
∴b2－4c=0.① 又∵A（2，0）在抛物线上，∴4+2b+c=0②， 由①②得，b=－4，c=4.
（2）由（1）得抛物线解析式为y=x2－4x+4，当x=0时，y=4，∴B（0，4），即OB=4.
∴AB=，∴△OAB的周长为：2+4+2=6+2.
例3 如图20－3－1 ,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.


解析：本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.
解：如图20－3－2 建立坐标系 设抛物线解析式为 y=ax2.
把B(9,－h),C(8,－h+1.7)分别代入解析式,得
∴ 解得 ∴该大门的高h为8.1米.
例4关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
解析：第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
解答:（1）由题意得，解得 ∵ 解得
∴当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由题意，∴（舍）(始终牢记二次项系数不为0)
∴
（3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线（） 把代入，
得， ∴
整理得
有且只有一个交点， ∴ ∴
综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，
1. 二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（ ）
A. a﹥0，b2－4ac﹤0 B. a﹤0，b2－4ac﹥0
C. a﹥0，b2－4ac﹥0 D .a﹤0，b2－4ac﹤0
2.抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A .m﹥ B. m﹥－ C. m﹤ D .m﹤－
3.一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x+1的图象有（ ）
A. 一个交点 B. 两个交点 C .无数个交点 D. 无交点
4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零，那么代数式的化简结果是（ ）
A. a B. －a C. 1 D .0
5. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1,则a+c=
6. 已知二次函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则m的值是
7. 已知二次函数y=ax2－2的图象经过点(1,－1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
8. 已知抛物线y=x2－2x－8.
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.
9、已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
10、已知：关于的方程．
⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数的图象关于轴对称．
①求二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．
11、已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
12、已知：关于的一元二次方程（为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．
第七讲 函数综合题讲解
例1 阅读材料：
如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
例2 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
例3 如图，已知直线　　　　　　　交坐标轴于两点，以线段为边向上作
正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．
例4 已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、
高BE的长是 ；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k
个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得
△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
例5 已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
例6 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
例7 如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
（1）求的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的
直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
例8 （1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
例9 已知抛物线上有不同的两点E和F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
例10 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
1、已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
2、点为抛物线 (为常数，)上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点.
（1）当，点横坐标为4时，求点的坐标；
（2）设点，用含、的代数式表示；
（3) 如图，点在第一象限内, 点在轴的正半轴上，
点为的中点， 平分，，
当时，求的值.
3、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点、在线段上，求及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.




4、已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
　（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；
（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM．
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
6、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标
为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，
并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的
动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的
四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
7、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
8、如图①，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角
（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1．
（1）求证：△ADC∽△A1DF；
（2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；
（3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x＜），△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．
9、如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.
（1）求∠OAB的度数.
（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.
（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.
10、在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得；
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．
11、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理
12、如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．