苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 第五章 导数及其应用【同步作业】（解析版）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 第五章 导数及其应用【同步作业】（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 647.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 11:34:28 | ||
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文档简介
1．某物体的运动规律是，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（ ）
A． B．
C． D．
2．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x-1
C．y=-2x-3 D．y=-2x-2
3．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
4．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（ ）
A．1 B．2
C．－1 D．－2
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
13．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.
14．已知函数，则_____________
15．函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________．
16．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
18．求下列函数的导数．
（1）y＝；
（2）y＝x；
（3）y＝2sincos.
19．求下列函数的导函数
（1）；
（2）．
20．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
1．某物体的运动规律是，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率(平均速度）的定义判断．
【详解】
由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以.
故选：A．
2．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x-1
C．y=-2x-3 D．y=-2x-2
【答案】A
【分析】对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
3．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
【答案】A
【分析】先求的值再求导，实质是常数的导数为0.
【详解】
因为为常数，所以.
故选：A.
4．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
【答案】A
【分析】求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.
【详解】
，求导得，
则，解得，
故，
，
故选：A.
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A，，故A错；
选项B，，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D，，故D错.
故选：B.
6．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.
【详解】
由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；
由复合函数求导法则可知：，故C错误；
又幂函数的导数可知：，故D正确；
故选：C.
7．函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导，令导函数大于零，解之可得选项.
【详解】
解：f'(x)=-3x2-2x+1，令f'(x)>0，即-3x2-2x+1>0，
所以3x2+2x-1<0，解得-1故选：A.
8．如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（ ）
A．1 B．2
C．－1 D．－2
【答案】B
【分析】求出函数导数，利用导数求函数最值即可.
【详解】
令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，
当或时，，当或时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
所以函数的最小值为的较小者，
由f(－1)＝c－7，f（2）＝c－16得最小值为f（2）＝c－16＝－14．
∴c＝2．
故选：B
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【分析】根据瞬时变化率的概念，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
由瞬时变化率的概念可得，
是物体在这一时刻的瞬时速度，即C正确，ABD都错.
故选：ABD．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】根据复合函数导数的运算法则依次求导即可得到结果.
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB.
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A，，，
当时，，，故不是凸函数；
对于B，，，故是凸函数；
对于C，，对任意的，，故是凸函数；
对于D，，对任意的，，故不是凸函数．
故选：AD．
【点睛】考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的是否对于任意的，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.
12．已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
由已知条件构造函数，求导后结合已知条件可得函数为偶函数且在上单调递增，然后利用其单调性逐个分析判断即可
【详解】
∵偶函数对于任意的满足，
且，
∴可构造函数，则，
∴为偶函数且在上单调递增，
∴，，
，
由函数单调性可知，即，
∴BD对，A错，
对于C，，∴C正确，
故选：BCD．
13．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.
【答案】③
【分析】
先根据平均变化率的定义，求得，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解．
【详解】
根据平均变化率的计算公式，可得，
所以在附近取，则平均变化率的公式为，
则要比较平均变化率的大小，只需比较的大小，
下面逐项判定：
①中，函数，则；
②中，函数，则；
③中，函数，则；
④中，函数中, 则，
所以，平均变化率最大的是③．
【点睛】考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
14．已知函数，则_____________
【答案】
【分析】利用幂函数求导公式求导，再代入导函数求函数值.
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：1.
【点睛】考查幂函数求导运算，乘方运算.
15．函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求解出，然后根据条件得到有两个不等实根，由此结合求解出的取值范围.
【详解】
∵，由条件知需有两个不等实根，
∴，∴，即，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据既有单调递增区间，也有单调递减区间分析出有两个不等实根，本例除了通过可以通过正面思考解决问题，还可以通过反面去求解：仅有单调递增区间或单调递减区间，求解出的范围求其补集亦可.
16．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
【答案】13
【分析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
【详解】
，当时，函数有极值，
，解得，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，
且，，
在上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．
【分析】
（1）时，先求导以及的根，再列表判断单调性，即求得极值；
（2）先写定义域，求导以及的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
．
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（2）函数定义域为，．
令得或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
18．求下列函数的导数．
（1）y＝；
（2）y＝x；
（3）y＝2sincos.
【答案】（1）y′＝－；（2）；（3）y′＝cosx.
【分析】
（1）直接利用幂函数的求导公式求导即可；
（2）直接利用幂函数的求导公式求导即可；
（3）利用二倍角的正弦公式化简，再利用正弦函数的求导公式求解即可.
【详解】
解：(1)∵y＝＝x－4，∴y′＝－4x－5＝－.
(2)
(3)∵y＝2sincos＝sinx，
∴y′＝cosx.
19．求下列函数的导函数
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（ 1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可；
（ 2）原函数可化为，然后利用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.
【详解】
（1）；
（2），
所以.
20．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用函数的求导法则可求得；
（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】
（1），则；
（2）设切点为，
，所以，切线的斜率为，
所求切线方程为．
将，代入切线方程，得．
整理得，解得或.
当时，， 切线方程为，化简得；
当时，，切线方程为，化简得．
综上所述，曲线过点的切线的方程为或．
【点睛】考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用.
A． B．
C． D．
2．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x-1
C．y=-2x-3 D．y=-2x-2
3．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
4．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（ ）
A．1 B．2
C．－1 D．－2
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
13．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.
14．已知函数，则_____________
15．函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________．
16．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
18．求下列函数的导数．
（1）y＝；
（2）y＝x；
（3）y＝2sincos.
19．求下列函数的导函数
（1）；
（2）．
20．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
1．某物体的运动规律是，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率(平均速度）的定义判断．
【详解】
由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以.
故选：A．
2．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x-1
C．y=-2x-3 D．y=-2x-2
【答案】A
【分析】对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
3．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
【答案】A
【分析】先求的值再求导，实质是常数的导数为0.
【详解】
因为为常数，所以.
故选：A.
4．已知，则等于（ ）
A．11 B．10 C．8 D．1
【答案】A
【分析】求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.
【详解】
，求导得，
则，解得，
故，
，
故选：A.
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A，，故A错；
选项B，，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D，，故D错.
故选：B.
6．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.
【详解】
由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；
由复合函数求导法则可知：，故C错误；
又幂函数的导数可知：，故D正确；
故选：C.
7．函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导，令导函数大于零，解之可得选项.
【详解】
解：f'(x)=-3x2-2x+1，令f'(x)>0，即-3x2-2x+1>0，
所以3x2+2x-1<0，解得-1
8．如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（ ）
A．1 B．2
C．－1 D．－2
【答案】B
【分析】求出函数导数，利用导数求函数最值即可.
【详解】
令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，
当或时，，当或时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
所以函数的最小值为的较小者，
由f(－1)＝c－7，f（2）＝c－16得最小值为f（2）＝c－16＝－14．
∴c＝2．
故选：B
9．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A．是物体从开始到这段时间内的平均速度
B．是物体从到这段时间内的速度
C．是物体在这一时刻的瞬时速度
D．是物体从到这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【分析】根据瞬时变化率的概念，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
由瞬时变化率的概念可得，
是物体在这一时刻的瞬时速度，即C正确，ABD都错.
故选：ABD．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】根据复合函数导数的运算法则依次求导即可得到结果.
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB.
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A，，，
当时，，，故不是凸函数；
对于B，，，故是凸函数；
对于C，，对任意的，，故是凸函数；
对于D，，对任意的，，故不是凸函数．
故选：AD．
【点睛】考查导数的新定义，解本题的关键在于验证每个选项中的是否对于任意的，对于新定义的问题，在求解时一定要抓住新定义的本质，利用相关的数学知识求解.
12．已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式中成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
由已知条件构造函数，求导后结合已知条件可得函数为偶函数且在上单调递增，然后利用其单调性逐个分析判断即可
【详解】
∵偶函数对于任意的满足，
且，
∴可构造函数，则，
∴为偶函数且在上单调递增，
∴，，
，
由函数单调性可知，即，
∴BD对，A错，
对于C，，∴C正确，
故选：BCD．
13．在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.
【答案】③
【分析】
先根据平均变化率的定义，求得，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解．
【详解】
根据平均变化率的计算公式，可得，
所以在附近取，则平均变化率的公式为，
则要比较平均变化率的大小，只需比较的大小，
下面逐项判定：
①中，函数，则；
②中，函数，则；
③中，函数，则；
④中，函数中, 则，
所以，平均变化率最大的是③．
【点睛】考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
14．已知函数，则_____________
【答案】
【分析】利用幂函数求导公式求导，再代入导函数求函数值.
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：1.
【点睛】考查幂函数求导运算，乘方运算.
15．函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求解出，然后根据条件得到有两个不等实根，由此结合求解出的取值范围.
【详解】
∵，由条件知需有两个不等实根，
∴，∴，即，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据既有单调递增区间，也有单调递减区间分析出有两个不等实根，本例除了通过可以通过正面思考解决问题，还可以通过反面去求解：仅有单调递增区间或单调递减区间，求解出的范围求其补集亦可.
16．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
【答案】13
【分析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
【详解】
，当时，函数有极值，
，解得，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，
且，，
在上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．
【分析】
（1）时，先求导以及的根，再列表判断单调性，即求得极值；
（2）先写定义域，求导以及的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
．
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（2）函数定义域为，．
令得或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
18．求下列函数的导数．
（1）y＝；
（2）y＝x；
（3）y＝2sincos.
【答案】（1）y′＝－；（2）；（3）y′＝cosx.
【分析】
（1）直接利用幂函数的求导公式求导即可；
（2）直接利用幂函数的求导公式求导即可；
（3）利用二倍角的正弦公式化简，再利用正弦函数的求导公式求解即可.
【详解】
解：(1)∵y＝＝x－4，∴y′＝－4x－5＝－.
(2)
(3)∵y＝2sincos＝sinx，
∴y′＝cosx.
19．求下列函数的导函数
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（ 1）根据导数的积的运算法则和求导公式计算即可；
（ 2）原函数可化为，然后利用反比例函数、对数函数的导数公式可得答案.
【详解】
（1）；
（2），
所以.
20．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用函数的求导法则可求得；
（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】
（1），则；
（2）设切点为，
，所以，切线的斜率为，
所求切线方程为．
将，代入切线方程，得．
整理得，解得或.
当时，， 切线方程为，化简得；
当时，，切线方程为，化简得．
综上所述，曲线过点的切线的方程为或．
【点睛】考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用.