圆锥曲线定义的应用
一、基本知识概要
1、 知识精讲：
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；
涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；
双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， }的点的轨迹。
抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
统一定义：M={P| ，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线
重点、难点：培养运用定义解题的意识
2、 思维方式：等价转换思想，数形结合
特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系
1、 例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。
解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|MO2|= -3∴M的轨迹是以O1、O2为焦点，长轴为3的双曲线的左支。所以M的轨迹方程为 （x<0）
[思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法
变式练习：F１、F２是椭圆 （a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A
等腰三角形APF1中，
选A
例２：已知双曲线（a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积．
解：在ΔF1PF2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜sinθ ①(2c)2＝｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜cosθ ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ１｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜ＰＦ１｜2+｜ＰＦ２｜2-2｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=4a2 ③ 由②③得｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=④ 将④①代入得ＳΔF1PF2＝b2=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot．
[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理
例３：已知Ａ（，３）为一定点，Ｆ为双曲线的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标．
解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜ＭＰ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋｜ＭＦ｜最小。此时Ｍ（，３）。
[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换
变式：设Ｐ（x,y）是椭圆 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值和最小值。
解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ１｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-ex, 则｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜=a2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜的最大值为a2，最小值为b2。
例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜
＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因而圆P0和准线l相切．
[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．
变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．
取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．
在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线
故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．
例5、求过定点（1,2），以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。
解：设下顶点为A(x,y)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为F(x0,y0)
则。由椭圆定义
将代入即可得椭圆方程为：
2、 课堂小结
1、 圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷
涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。
四、作业布置：优化训练。第一节 椭 圆
一.基本知识概要
1 椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）
2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中（一个）
（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中
注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。
3.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：
坐标系下的性质：
1 范围：|x|≤a，|y|≤b；
2 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；
3 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；
4 准线方程：；或
5 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0;
平面几何性质：
6 离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆。
7 焦准距；准线间距
8 两个最大角
焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。
4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。
5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。
6.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.
二.例题：
例1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。
(2) 设椭圆上的点P到右准线的距离为10，那么点P到左焦点的距离等于_______。
(3) 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率e=_______。（教材P页例1）。
（4）已知椭圆上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P的坐标是_________。
解：(1) ∵椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c，|AF|=a=3，∴c=2，b2=5。∴椭圆方程是，或。
（2）由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。
(3) 设椭圆方程为（a＞b＞0）,, F1（－c，0），则点，由PO∥AB得kAB=kOP即，∴b=c，故。
（4）设P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为，
故，∵|PF1|=2|PF2|，∴，故。
【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a，b，c的一个关系式，然后再求e； 2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3）结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。
例2：如图，设E：（a>b>0）的焦点为与，且。求证：的面积。（图见教材P119页例2的图）
证明：设，则，
由余弦定理有＝
这样即有
【思维点拨：解与有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合来解决。
例3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。
解：设椭圆方程为ax2+by2=1，A(x1,y1),B(x2,y2),M().
由消去y得.
∴ =1－,
∴,∴由得……①; 又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即
x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴, ∴a+b=2……②.
联立①②得∴方程为.
【思维点拨】“OA⊥OBx1x2+y1y2=0”(其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论.
例4:（备用）已知椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且∠P F1F2=1200，求tan∠F1PF2。
解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到
,
∴化简可得,∴,
从而可求得tan∠F1PF2=。
【思维点拨】解与△P F1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。
例5:（备用）（1）已知点P的坐标是(-1,3)，F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动，当取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。
（2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P这
个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是
的点的坐标。
解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,则c=2,,
椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ’于点Q’,
过点P作PP’于点P’,则据椭圆的第二定义知,
,
易知当P、Q、Q’在同一条线上时，即当Q’与P’点重合时，才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得。
因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9.
(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是
由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d
则
其中,如果, 则当y=-b时,d2取得最大值
解得b=与矛盾, 故必有 当时d2取得最大值， 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为
由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,
三、课堂小结:
1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,,e的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).
2.在椭圆的两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.
四、课外作业：
教材P120闯关训练第6节 圆锥曲线的应用
一、基本知识概要：
解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
二、例题：
例1、 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距万千米和万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为（图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足。作
故由椭圆第二定义可知得
两式相减得
答：彗星与地球的最近距离为万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？
例2：A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6，C在B正北偏西，相距4，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA为轴，线段BA的中垂线为轴建立坐标系，则，因为，所以点P在线段BC的垂直平分线上。
因为，BC中点，所以直线PD的方程为 （1）
又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为 （2）。联立（1）（2），得，
所以因此，故炮击的方位角北偏东。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
例3：根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m。现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持中线0.4m的距离行驶。已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过的a的最小整数值。（图见教材P133页例3）
解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为，
在抛物线上，
抛物线方程为。取代入抛物线方程，得
。由题意，令
答：满足本题条件卡车使安全通过的a的最小正整数为14m.
说明：本题的解题过程可归纳务两歩：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；二是由通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的。
三、小结：
四、作业：教材P133闯关训练。第五节 轨迹问题
基本知识概要：
一、求轨迹的一般方法：
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】
一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。
解：设MN切圆C于N，则。设,则
化简得
（1） 当时，方程为，表示一条直线。
（2） 当时，方程化为表示一个圆。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
练习：（待定系数法题型）在中，，且的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点，且过点P的椭圆方程。
解答过程参考教材P129页例1。
二、定义法题型：
例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？
解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。
说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。
解：由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为
三、代入法题型：
例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。
解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）
则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 ②
由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)
四、参数法与点差法题型：
例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。
解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。
五、交轨法与几何法题型
例5 抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。（考例5）
解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为 ②
由①②消去得yA+yB即得， 即得。
所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另一点Q。若直线与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
解：设
由 （1）
得，过点P的切线的斜率，
直线的斜率，直线的方程为 （2）
方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去得，
M为PQ的中点，
消去
PQ中点为M的轨迹方程为
方法二（点差法）由
得
则。
将上式代入（2）并整理，得
PQ中点为M的轨迹方程为
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。
【小结】
一、求轨迹的一般方法：
1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法，5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法，8.点差法。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。第三节 抛 物 线
一、基本知识概要：
1.抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条定直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．
2.方程：
这里
3.图形：
4.基本量：
对称轴 Ｘ轴 Ｙ轴
顶点坐标 原点Ｏ（０，０）
焦点坐标
准线方程
焦半经
焦准距＝； 顶准距＝焦顶距＝； 曲线上的点到焦点的最近距＝
离心率
5.焦点弦 过的焦点弦ＡＢ Ａ（，）Ｂ（，）
，
6.标点 抛物线上的点可标为或或
二、例题：
例1、（1）抛物线的焦点坐标是_____________.
（2）焦点在直线上的抛物线的标准方程是_______________.其对应的准线方程是_________________.
(3)以抛物线的一条焦点弦为直径的圆是，则_______________
(4)到y轴的距离比到点的距离小2的动点的轨迹方程是_____________
(5)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是。在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯的底部，则玻璃球的半径的范围为（ ）
解：（1）焦点F
（2）因为焦点在坐标轴上，所以焦点为或，故抛物线的标准方程为或,对应的准线方程是。
（3）因为该圆与该抛物线的准线相切，所以
（4）即为动点到点（2，0）的距离等于到直线的距离，或动点在Y轴的非正半轴上，所以轨迹方程为 或
（5）设圆为，抛物线为，联立得，令，得，，故选A。
[思维点拔]正确理解抛物线和注意问题的多解性，严密思考问题。
例2、河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将B（4,-5）代入得P=1.6
船两侧与抛物线接触时不能通过
则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25
因为船露出水面的部分高0.75米
所以h=︱yA︱+0.75=2米
答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行
[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．
例3、如图所示，直线和相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解：以直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。
设曲线段C的方程为，其中为A、B的横坐标，，所以，由，得 （1）
（2），（1）（2）联立解得，代入（1）式，并由
解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所以
由点B在曲线段C上，得，综上，曲线段C的方程为
[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。
例4. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且，证明直线AC经过原点O。
证明一：设AB：
由韦达定理，得
则，故直线AC经过原点O。
证明二：见教材P125页。
[思维点拔]本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到这个重要结论，还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目。
例5、（备用）设抛物线的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。
解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.
︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程
将代入得
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
例6、（备用）抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成等差数列
（1） 求证线段AB的垂直平分线过定点Q
（2） 若（O为坐标原点），求抛物线的方程。
（3） 对于（2）中的抛物线，求△AQB面积的最大值。
解：（1）设，则，，，由题意得，的中点坐标可设为，其中
（否则），
而，故AB的垂直平分线为，即，可知其过定点
（2）由，得，联立解得。
（3）直线AB：，代入得，，
，又点到AB的距离，
令，则，令即，得或或，时。
[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
三、课堂小结：全面精确地掌握抛物线的定义，方程以及它的基本量是把握问题的关键。对圆锥曲线综合问题的处理也需多多的感悟。
四、作业布置：教材P125闯关训练
O
x
y
O
y
x
O
y
O
y
x
x第二节 双曲线
一、基本知识概要：
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于的点的轨迹，即点集。（为两射线；2无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹。即点集=，一个比产生整条双曲线。
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
图形
性质 焦点 F1（-，F2（ F1（，F2（
焦距 | F1F2|=2c 一个Rt
范围
对称性 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
准线
渐近线
共渐近线的双曲线系方程或
焦半径 P在右支上，P在左支上， P在上支上，P在下支上，
平面几何性质 ，大开口大
离心率
焦准距准线间距=焦渐距=。
说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
利用共渐近线的双曲线系或方程解题，常使解法简捷。
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为当点P在左支（或下支）上时，为利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，
3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。
4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题：
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线有共同渐近线，且过点；
(2) 与双曲线有公共焦点，且过点。
【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点代入得，
所以双曲线方程为。
（2）设双曲线方程为，将点代入得，
所以双曲线方程为。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【解】：设P点的坐标为，分别为双曲线的左，右焦点。
∵双曲线的准线方程为。 ∴ ∵ ∴P在双曲线的右支上。 ∴ ∴。把代入方程得。 所以，P点的坐标为（，）
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。
解：设点P的坐标为（x,y），依题意得。 （1）
因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得
，
因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线上，故 （2）
将（1）代入（2），并解得，
解得0＜，即m的取值范围为。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。
【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 ①
再由双曲线的第一定义，得 ②
由①②，解得：
由在Δ中有 ， ③
利用，从③式得 解得
，与已知矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5．如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。
（1） 求
（2） 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标
解：（1）故F双曲线的焦点，设准线为，离心率为，
由题设有 （1）
分别过A、B、C作x轴的垂线，则由双曲线的第二定义有，代入（1）式，得，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
（2）AC的中垂线方程为 （2）
由于A、C在双曲线上，所以有
相减得
故（2）式化为，易知此直线过定点。
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
例6：（备用） 已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。
【解】：设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为 ① PM方程为 ②
又 ③ 得，又H在双曲线上，∴ ④
∴，所以双曲线方程为
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为，它的两个焦点分别为F1，F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点为Q，且:=:，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。
【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为轴建立坐标系，
则所求双曲线方程为，设，
不妨设的方程为，它与轴交点
由定比分点坐标公式Q点的坐标为 即
由点Q在双曲线上可得 ① 又 ② ③
解得，所以双曲线方程为
三、课堂小结：
1. 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为的双曲线方程可设为。
2. 利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。
3. 椭圆中的关系与双曲线中的关系是不同的，应注意区分运用。
四、作业布置：
教材P123闯关训练第四节：直线与圆锥曲线的位置关系
一、基本知识概要：
1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。
2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。
3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：
=或当存在且不为零时
，（其中（），（）是交点坐标）。
②抛物线的焦点弦长公式|AB|=，其中α为过焦点的直线的倾斜角。
4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。
5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。
6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。
二、例题：
【例1】直线y=x+3与曲线 （ ）
A。没有交点 B。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点
〖解〗：当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D
[思维点拔]注意先确定曲线再判断。
【例2】已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，且的长不小于短轴的长，求的取值范围。
解：将的方程与椭圆方程联立，消去，得
由，
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于的方程由给出，所以可以认定，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。
【例3】已知抛物线与直线相交于A、B两点
（1） 求证：
（2） 当的面积等于时，求的值。
（1） 证明：图见教材P127页，由方程组消去后，整理得。设，由韦达定理得 在抛物线上，
（2） 解：设直线与轴交于N，又显然令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
y2+4ky-4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则
y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，
∵点M（x0，y0）在直线上。∴-2k（2k2+m）+3，∴m=-又BC与抛物线交于不同两点，∴⊿=16k2+16m>0把m代入化简得即，
解得-1
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
【例5】已知椭圆的一个焦点F1（0，-2），对应的准线方程为y=-，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。
（1） 求椭圆方程；
（2） 是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-平分。若存在，求的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
〖解〗依题意e=
（1）∵-c=-2=，又e=∴=3，c=2，b=1，又F1（0，-2），对应的准线方程为y=-。∴椭圆中心在原点，所求方程为：
=1
（2）假设存在直线，依题意交椭圆所得弦MN被x=-平分，∴直线的斜率存在。设直线：由
=1消去y，整理得
=0
∵直线与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0
即m2-k2-9<0 ①
设M （x1，y1）、N（x2，y2）
∴，∴ ②
把②代入①可解得：
∴直线倾斜角
[思维点拔] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
三、课堂小结：
1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。
2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。
3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式
=或当存在且不为零时
，（其中（），（）是交点坐标。
再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。
四、作业布置：教材P127闯关训练。2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第八章《圆锥曲线》
一、选择题（共26题）
1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。
2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C
3．（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D. 4
解析：依题意可知 ，，故选C.
4．（湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
解：设P（x，y），则Q（－x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x0，y0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得
故选D
5．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A.
6．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足 ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
【正确解答】设，，，
则
由，则，
化简整理得 所以选B
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.
7．（江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（ ）
A．（2，2） B. (1，2) C.（1，2） D.(2，2)
解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由
＝－4y0＝2，故选B
8．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B
9．（辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A) (B) (C) (D)
【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。
10．（辽宁卷）曲线与曲线的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。
11．（辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
12．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程的两个根分别为2，，故选A
13．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.
14．（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是
A． B． C． D．
解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.
15．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C
16．（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
（A） (B) (C) (D)
解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
17．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e＝，选B
18．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)2
解：不妨设双曲线方程为（a0，b0），则依题意有，
据此解得e＝，选C
19．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
20．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，
则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.
21．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72
解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴ |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选A.
22．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． B． C． D．
解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.
23．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
24．（浙江卷）抛物线的准线方程是
(A) (B) (C) (D)
解：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A
25．(重庆卷)设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，
|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数列
（5－x1）＋（5－x2）＝2×故选A
26．（上海春）抛物线的焦点坐标为( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B．
27．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A．
二、填空题（共7题）
28．（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｄ．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。
29．（山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，
则y12+y22的最小值是 .
解：显然0，又＝4（）8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。
30．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
解：已知为所求；
31．(上海卷)若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，
则、分别应满足的条件是 ．
解：作出函数的图象，
如右图所示：
所以，；
32．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.
解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.
33．(上海卷)若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
解：曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是[－1，1].
34．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;
解析：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，又，∴ =35
三、解答题（共28题）
35．（安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，
又，由得：，解得，则，所以为所求。
36．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）
（1） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），
B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1
依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2
综上可知的最小值为2
37．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为＝1.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以 解得，
所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
38．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得 解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为 令得
点G横坐标的取值范围为
39．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
解：（I）
EMBED Equation.DSMT4 圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，
记中点则
线段AB的中点N在直线上，
，或
当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。
直线AB的方程是或
40．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.
故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.
∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.
又点M异于顶点A、B，∴－2从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.
将代入，化简得·＝（2－x0）.
∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，
而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，
∴，即y2＝
又点M在椭圆上，则，即
于是将、代入，化简后可得－＝.
从而，点B在以MN为直径的圆内。
41．（湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
由消去得…①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
由 消去y得. ………………②
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入②有.
即. …………………③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得 ……………………④
又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以
，
则 …………………………………⑤
由④、⑤式得，即．
解得于是
因为C2的焦点在直线上，所以.
或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
解法二： 设A、B的坐标分别为，．
因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得． ……………⑤
因为，所以． …………⑥
将②、③代入⑥得 ……………⑦
由⑤、⑦得即
解得．将代入⑤得 或．
由上知，满足条件的、存在，且或，
42．（湖南卷）已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
43．（江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6
∴,b2=a2-c2=9.
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为
44．（江西卷）如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点
（1） 求点P的轨迹H的方程
（1） 在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ），确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1当AB不垂直x轴时，x1x2，
由（1）－（2）得
b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l
的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）
则＝＝2sin（＋）
当＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1
设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积
S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|
设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0
由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，
4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝
令t＝k2＋11，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。
因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。
45．（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于
两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，
．设轨迹的最高点和最
低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？
解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1当AB不垂直x轴时，x1x2，
由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
（2）因为轨迹H的方程可化为：
M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则
tan＝＝，即a2＝3b2. 由于，
，则1＋cos＋sin＝3 sin，得＝arctan
46．（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
【解析】(I)证明1:
整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得: ……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得 .
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得 .
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
47．（辽宁卷）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．
（1）证明线段是圆的直径；
（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．
解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
（I）证法一：
即
整理得......................12分
设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段是圆的直径。
证法二：
即，
整理得①……3分
若点在以线段为直径的圆上，则
去分母得
点满足上方程，展开并将①代入得
所以线段是圆的直径.
证法三：
即，
整理得
以为直径的圆的方程是
展开，并将①代入得
所以线段是圆的直径.
（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则
，
又
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心到直线的距离为，则
当时，有最小值，由题设得……14分
解法二：设圆的圆心为，则
又
…………9分
所以圆心得轨迹方程为…………11分设直线与的距离为,则
因为与无公共点.
所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为
将②代入③，有…………14分
解法三：设圆的圆心为，则
若圆心到直线的距离为，那么
又
当时，有最小值时，由题设得
48．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。
.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0设P(x0,y0),因P在C上,有0y=－ (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .
由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:
+ =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴| |2= x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号.
故||的最小值为3.
49．（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;
若150．（全国II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝＝
＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
51．（山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.
解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
EMBED Equation.DSMT4 双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：，则
在双曲线上，
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
，
此时.所求的坐标为.
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
，分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
，.
，，，
又，，即
将代入得
，否则与渐近线平行。。
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，，则
,。
同理
.
即 。 （*）
又
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。
由韦达定理有：
EMBED Equation.DSMT4
代入（*）式得 所求Q点的坐标为。
52．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为 .
（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去y得关于x的方程：
由直线与椭圆相交于A、B两点，解得
又由韦达定理得
原点到直线的距离
.
解法1：对两边平方整理得：（*）
∵，
整理得：
又， 从而的最大值为，
此时代入方程（*）得
所以，所求直线方程为：.
解法2：令， 则
当且仅当即时，
此时. 所以，所求直线方程为
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，
由解法一知且，
解法1： =
.
下同解法一.
解法2：=
下同解法一.
53．(陕西卷) 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t
∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t).
∴ ,
∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t，
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t，
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 ．
设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x2=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]
54．(上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
55．(上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由 x= 得 x0=2x－1
y= y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
56．（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知， 故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积
57．（天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.
证明：（Ⅰ）由题设条件知，∽故
，即
因此，
在，
因此，
在中 ，.
于是，直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.
这时，直线BF与轴的交点为
(Ⅱ)由（Ⅰ），得直线BF得方程为且 ②
由已知，设、，则它们的坐标漫步方程组
③
由方程组③消去，并整理得
由式①、②和④，
由方程组③消去，并整理得 ⑤
由式②和⑤，
综上，得到
注意到，得
58．（天津卷）如图，双曲线的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线垂
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。
（I）解：根据题设条件，
设点则、满足
因解得，故
利用得于是因此，所求双曲线方程为
（II）解：设点则直线的方程为
于是、两点坐标满足
将①代入②得
由已知，显然于是因为得
同理，、两点坐标满足
可解得
所以，故直线DE垂直于轴。
59．（浙江卷）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
解：（I）过点、的直线方程为
EMBED Equation.DSMT4
因为由题意得 有惟一解，
即有惟一解，
所以 （），
故
又因为 即 所以
从而得 故所求的椭圆方程为
（II）由（I）得 故从而
EMBED Equation.DSMT4
由 解得所以
因为又得
因此
60．(重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，则右准线方程为.因此，由题意应满足即解之得：。即从而对任意
（II）高点的坐标为，则由及椭圆方程易知因，故
的面积为，从而。令。由得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。
现在由题设取则是增数列。又易知。故由前已证，知，且
61．(重庆卷)如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。
（Ⅰ）试证：；
（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；
证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得: ,由一元二次方程根与系数的关系得．
（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为： ，……①
类似地，可求得在处的切线的方程为：，……②
由②－①得：，……③
将③代入①并注意得交点的坐标为．
由两点间的距离公式得：
．
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
62．（上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为， 由题意可知，. .
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）.
.
得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.
O
F
x
y
P
M
H
A
y
B
O
x
A
y
B
O
x
O
P
A
F
B
D
x
y
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－1
－2
1
2
B
E
第21题解法图