第三章 函数的概念与性质 单元检测——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第三章 函数的概念与性质单元检测
一、单选题
1．已知函数.则（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与
③与；④与
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
4．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
二、多选题
9．已知函数的图象经过点，则（　　）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．函数是非奇非偶函数
10．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B． C．是奇函数 D．若，则
11．已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是奇函数 D．在上单调递减
12．幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是偶函数
C． D．函数的值域为
三、填空题
13．函数的递减区间为 _____．
14．若对任意实数，均有，求___________
15．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
16．若函数是定义在上的偶函数，是奇函数，，则__________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域；
（3）若函数，求函数在上最大值.
18．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
19．函数是R上的偶函数，且当时，函数的解析式为
(1)用定义证明在上是减函数；
(2)求当时，函数的解析式．
20．已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
21．已知函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， f(1)＝－.
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）求证：f(x)在R上是减函数；
（3）求f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值．
22．某学习小组在寒假社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间x（天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x（天） 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入（元）的最小值．
答案
1．A
2．B
3．B
4．C
5．D
6．D
7．B
8．D
9．ACD
11．CD
12．ABD
13．
14．
15．
16．
17.（1）当时，得，
当时，得，
由上知或.
（2）图象如下图：
，
由图象知函数的值域为.
（3）当时，，
配方得,
当，即时，，
当，即时，，
综上，.
18.（1）解：依题意，解得，所以；
（2）解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
19．（1）∵，任取，且，
则，
，即；
∴在上是减函数；
（2）当时，，
∵时，，
，
又∵是R上的偶函数，
∴，
∴，
即时，.
20．（1）因为函数是奇函数，
所以，即，
，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，解得，
（2）证明：由（1）可知
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）当时，，
由（2）可知在上单调递增，
因为，
所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集为
21．（1）证明：因为函数f(x)对于任意x， y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
（2）证明：在R上任取x1， x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．
又因为当x＞0时，f(x)＜0，而x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此f(x)在R上是减函数．
（3）解：因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上是减函数，所以f(x)在[－3， 3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2， f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3， 3]上的最大值是2，最小值是－2.
22．（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②，
代入数据可得：，解得，
所以
（3）由（2）可得，
所以，
所以当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当x=10时，有最小值，且为121；
当时，为单调递减函数，
所以当x=30时，有最小值，且为124，
综上，当x=10时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元