第五章 一元函数的导函数及其应用测试题-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导函数及其应用测试题-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 372.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 13:47:39 | ||
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文档简介
导函数以及应用测试
单项选择（分）
1.若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在处的导数为11，则（ ）
A.11 B. C.-11 D.
3.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A. B． C． D．
4.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.2 B.4 C. D.
6.已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
7.已知曲线在处的切线方程与曲线在处的切线平行，令，则在上（ ）
有唯一零点 B.有两个零点 C.没有零点 D.不能确定
若定义在R上的函数满足其导函数满足，则下列结论一定错误的是( )
A. B. C. D.
多项选择（分）
9.给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；
B.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=4+2Δx
C.加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；
D.可导函数在某一点的导数不存在，则这一点的切线也不存在；
10.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
给出定义：若函数在区间D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记作，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下4个函数在上是凸函数的是（ ）
B.
C. D.
设是函数的导函数,且，下面不等式在R上不恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
填空（分）
13.已知函数在区间上是增函数，在区间和上是减函数，且，则_____________
14.设函数，若是奇函数，则______
15.设是奇函数的导函数，，若对任意都有，则使得成立的x的取值范围是_________
16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是_______
解答（70分）
17.（10分）设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
(1)求常数a、b的值;
(2)判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
18.（12分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
19.（12分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
20.（12分）已知函数，，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a＝1时，设函数在区间上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间上的最小值．
21.（12分）已知函数，其中是函数的导函数
若在内有唯一零点，求的取值范围
当时，证明：
22.（12分）已知函数
若函数在上是减函数，求实数的取值范围
当时，求证：对任意，函数的图像恒在x轴上方
答案
单选：1-5：BABCB 6-8：BAC
多选：9：BCD 10：ABC 11：ABC 12：ACD
填空：13. 14. 15. 16.
解答：
(1),a=13 b=-24 (2),f(-2)为极大值 , f(4)极小值
18.（1）∵，其定义域为， ∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．∴函数在上是增函数．
∴． ∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，∴.
由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．∴.
由≥，得≥，又，∴．
综上所述，的取值范围为．
19.解：（1）当时，
（2）
①当恒成立，函数的递增区间为
②当时，令
0 +
减 极小值 增
（3）对任意的，使成立，只需对任意的，
①当时，在上是增函数，
只需，而，满足题意；
②当时，，在上是增函数，
只需，而满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数
只需即可，而，不满足题意；
综上，
20.解：(1)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.
当x变化时，的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
＋ 0 － 0 ＋
? 极大值 ? 极小值 ?
故函数的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
（2）由(1)知在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当，解得0＜a＜.
所以a的取值范围是.
（3）a＝1时，＝x3－x－1.由(1)知在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f (－1)＝－，
而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，
当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．
而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.
②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．
下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．由在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．
又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，
从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.
综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.
21：解（1）
又在上单调递增，在上单调递增在上单调递增；在上存在唯一零点，
的定义域为 的定义域为
在的定义域内 即
即的取值范围是
（2）由（1）可知，在上存在唯一零点，可设该零点为，则当时，
当时， 在处取得极小值 由得
代入得
当且仅当时等号成立
22：解（1）由题意可得 函数在上是减函数
在上恒成立 即恒成立 设，则
即函数在上单调递增
解得 即的取值范围是
（2）当时，函数，则
设，则 函数在上单调递增
又， 存在使得 解得
，，即，函数在上单调递减
，，即，函数在上单调递增
即要证函数的图像恒在x轴上方，只需证
即当时，恒成立 即恒成立
当时为减函数， 解得
当时，对任意，函数的图像恒在x轴上方
单项选择（分）
1.若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在处的导数为11，则（ ）
A.11 B. C.-11 D.
3.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A. B． C． D．
4.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A.2 B.4 C. D.
6.已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
7.已知曲线在处的切线方程与曲线在处的切线平行，令，则在上（ ）
有唯一零点 B.有两个零点 C.没有零点 D.不能确定
若定义在R上的函数满足其导函数满足，则下列结论一定错误的是( )
A. B. C. D.
多项选择（分）
9.给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；
B.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=4+2Δx
C.加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；
D.可导函数在某一点的导数不存在，则这一点的切线也不存在；
10.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
给出定义：若函数在区间D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记作，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下4个函数在上是凸函数的是（ ）
B.
C. D.
设是函数的导函数,且，下面不等式在R上不恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
填空（分）
13.已知函数在区间上是增函数，在区间和上是减函数，且，则_____________
14.设函数，若是奇函数，则______
15.设是奇函数的导函数，，若对任意都有，则使得成立的x的取值范围是_________
16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是_______
解答（70分）
17.（10分）设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。
(1)求常数a、b的值;
(2)判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。
18.（12分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
19.（12分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
20.（12分）已知函数，，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a＝1时，设函数在区间上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间上的最小值．
21.（12分）已知函数，其中是函数的导函数
若在内有唯一零点，求的取值范围
当时，证明：
22.（12分）已知函数
若函数在上是减函数，求实数的取值范围
当时，求证：对任意，函数的图像恒在x轴上方
答案
单选：1-5：BABCB 6-8：BAC
多选：9：BCD 10：ABC 11：ABC 12：ACD
填空：13. 14. 15. 16.
解答：
(1),a=13 b=-24 (2),f(-2)为极大值 , f(4)极小值
18.（1）∵，其定义域为， ∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．∴函数在上是增函数．
∴． ∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，∴.
由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．∴.
由≥，得≥，又，∴．
综上所述，的取值范围为．
19.解：（1）当时，
（2）
①当恒成立，函数的递增区间为
②当时，令
0 +
减 极小值 增
（3）对任意的，使成立，只需对任意的，
①当时，在上是增函数，
只需，而，满足题意；
②当时，，在上是增函数，
只需，而满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数
只需即可，而，不满足题意；
综上，
20.解：(1)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.
当x变化时，的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
＋ 0 － 0 ＋
? 极大值 ? 极小值 ?
故函数的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
（2）由(1)知在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当，解得0＜a＜.
所以a的取值范围是.
（3）a＝1时，＝x3－x－1.由(1)知在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f (－1)＝－，
而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，
当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．
而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.
②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．
下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．由在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．
又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，
从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.
综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.
21：解（1）
又在上单调递增，在上单调递增在上单调递增；在上存在唯一零点，
的定义域为 的定义域为
在的定义域内 即
即的取值范围是
（2）由（1）可知，在上存在唯一零点，可设该零点为，则当时，
当时， 在处取得极小值 由得
代入得
当且仅当时等号成立
22：解（1）由题意可得 函数在上是减函数
在上恒成立 即恒成立 设，则
即函数在上单调递增
解得 即的取值范围是
（2）当时，函数，则
设，则 函数在上单调递增
又， 存在使得 解得
，，即，函数在上单调递减
，，即，函数在上单调递增
即要证函数的图像恒在x轴上方，只需证
即当时，恒成立 即恒成立
当时为减函数， 解得
当时，对任意，函数的图像恒在x轴上方