第五章 三角函数 单元练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第五章 三角函数 同步练习
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
3．，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
7．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
8．已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
E．
10．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最大值为 B．函数的最大值为
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为
12．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象的最小正周期为
B．的图象的对称轴方程为
C．的图象的对称中心为
D．的单调递增区间为
三、填空题
13．已知在中，弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对弧的弧长是________．
14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．
15．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为_____________
16．__________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.
18．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，为该图象上三个点，其中为相邻的最高点与最低点，．且，.
(1)求的解析式；
(2)的图象向左平移1个单位后得到的图象，分析在的单调性及最值．
19．已知函数.
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，求的值.
20．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
22．若实数，，且满足，则称x y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x z为“余弦相关”的，y z也为“余弦相关”的。
参考答案
1--8DDCBB ADA
9．BE 10．AB 11．AC 12．CD
13．
14．
15．
16．4
17．当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－3×－＝＋－＝.
综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－或.
18．（1）过作轴于，连接与轴交于，则.
设，则，由，
即，可得
进而可得，，
记的最小正周期为，则，得，
故，又，且，得，
即；
（2）依题意，
由，可得单调减区间为；
由，可得单调增区间为；
故在单调递减；在单调递增
则，
设表示中最大数，
.
19．（1），
所以，函数的周期为，
令，解得；
令，解得.
因此，函数的增区间为，减区间为；
（2），，
，，，
.
20．
解：，，，
（1）；
（2），
21．（1）因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
22．（1）
代入得，，，
，又，或
（2）
由得
，
，
，
故，
，，
（3）
证明：先证明，
反证法，假设，
则由余弦函数的单调性可知，
，，
同理，相加得，与假设矛盾，故.
，且
故也是余弦相关的，
，即.
记则.
,
，故x z为“余弦相关”的；
同理y z也为“余弦相关”的