第一章 空间向量与立体几何 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 954.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 13:52:23 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何单元检测
一、单选题
1．设M、O、A、B、C是空间的点，则使M、A、B、C一定共面的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
3．已知向量与向量垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A． B． C． D．
6．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、多选题
9．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（ ）
A．直线与直线共面 B．
C．直线与直线的所成角为 D．三棱锥的体积为
11．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面
12．如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．异面直线与的距离是定值
D．
三、填空题
13．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.
14．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.
15．在空间直角坐标系（为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则___________.
16．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______；
四、解答题
17．已知，.
（1）若，求实数的值.
（2）若，求实数的值.
18．如图，正三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
20．如图，梯形中，，四边形为矩形，平面平面.
（1）若，求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得直线∥平面？并说明理由.
21．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求二面角A﹣DF﹣B的大小．
22．如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．
（1）已知，为，上的动点，求证：；
（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．
答案
1．D
2．D
3．A
4．A
5．A
6．B
7．A
8．B
9．ABC
10．BD
11．AC
12．ABD
13．
14．1
15．
16．
17．解:,.
(1)∵,∴,∴.
(2)∵,∴,
∴.
18.（1），D是AC的中点，，
平面ABC，平面平面ABC，
平面，，
在正方形中，D，E分别是，的中点，
可得，，
，，即，
又，平面，又平面，
平面平面；
（2）取中点F，以DF，DA，DB为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，
设平面DBE的一个法向量为，
则，即，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
设二面角的平面角为，观察可知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为.
19.（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
20．解： (1) 证明：容易知：两两垂直.因此，可以以为原点，以为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则.
,
,即，
又
；
(2)在棱上存在点，使得直线∥平面，且，
证明如下：由（1）知：.
设平面的一个法向量为，则，即，
可取，
所以∥平面.
21．（1）
记AC与BD的交点为O，连接OE，∵O，M分别是AC，EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE，∵OE平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）
∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF，
∴为平面DAF的一个法向量，
∵，
，得,
∴为平面BDF的一个法向量，，
∴，的夹角是60°，即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°.
22．（1）证明：在图甲中，
∵，∴，
又∵，∴且，
即在图乙中，，，又，
故有平面，
而平面，故有；
（2）解：∵，，
所以为二面角的平面角，则，
在中，，，，
由余弦定理，可知，满足，则有，
由（1）知，平面，则，
如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以直线与平面所成角满足．
一、单选题
1．设M、O、A、B、C是空间的点，则使M、A、B、C一定共面的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．10 B．-10 C．4 D．-4
3．已知向量与向量垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（ ）
A． B． C． D．
6．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、多选题
9．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（ ）
A．直线与直线共面 B．
C．直线与直线的所成角为 D．三棱锥的体积为
11．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面
12．如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．异面直线与的距离是定值
D．
三、填空题
13．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.
14．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.
15．在空间直角坐标系（为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则___________.
16．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______；
四、解答题
17．已知，.
（1）若，求实数的值.
（2）若，求实数的值.
18．如图，正三棱柱的所有棱长都是2，D，E分别是，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
20．如图，梯形中，，四边形为矩形，平面平面.
（1）若，求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得直线∥平面？并说明理由.
21．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求二面角A﹣DF﹣B的大小．
22．如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．
（1）已知，为，上的动点，求证：；
（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．
答案
1．D
2．D
3．A
4．A
5．A
6．B
7．A
8．B
9．ABC
10．BD
11．AC
12．ABD
13．
14．1
15．
16．
17．解:,.
(1)∵,∴,∴.
(2)∵,∴,
∴.
18.（1），D是AC的中点，，
平面ABC，平面平面ABC，
平面，，
在正方形中，D，E分别是，的中点，
可得，，
，，即，
又，平面，又平面，
平面平面；
（2）取中点F，以DF，DA，DB为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，
设平面DBE的一个法向量为，
则，即，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
设二面角的平面角为，观察可知为锐角，
则，
故二面角的余弦值为.
19.（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
20．解： (1) 证明：容易知：两两垂直.因此，可以以为原点，以为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则.
,
,即，
又
；
(2)在棱上存在点，使得直线∥平面，且，
证明如下：由（1）知：.
设平面的一个法向量为，则，即，
可取，
所以∥平面.
21．（1）
记AC与BD的交点为O，连接OE，∵O，M分别是AC，EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE，∵OE平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）
∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF，
∴为平面DAF的一个法向量，
∵，
，得,
∴为平面BDF的一个法向量，，
∴，的夹角是60°，即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°.
22．（1）证明：在图甲中，
∵，∴，
又∵，∴且，
即在图乙中，，，又，
故有平面，
而平面，故有；
（2）解：∵，，
所以为二面角的平面角，则，
在中，，，，
由余弦定理，可知，满足，则有，
由（1）知，平面，则，
如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以直线与平面所成角满足．