【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.2二次函数的图象与性质 第二课时【优质课件】

(共43张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
1. 抛物线 y=x 2与 y=－x 2的顶点是原点，对称轴是y 轴.
抛物线 y=x 2在x 轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；
抛物线 y=－x 2在x 轴的下方(除顶点外)，它的开口
向下，并且向下无限伸展.
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y =ax 2的图象
想一想
在图中画出 y= x 2的图
象.它与y=x 2，y=2x 2的图象有
什么相同和不同？
探索新知
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
在同一直角坐标系中画出函数 y= x 2和y=2x 2的图像
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
函数 y= x 2, y=2x 2的图像与函数 y=x 2(图中虚线图形)的图像相比，有什么共同点和不同点
当a＜0时，它
的图象又如
何呢？
探索新知
归 纳
一般地，抛物线 y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.
不同点：
相同点：
探索新知
例1 在同一坐标系中画出y1＝2x 2，y2＝－2x 2和
y3＝ x 2的图象，正确的是图中的(　　)
D
探索新知
当x＝1时，y1 ，y2 ，y3的图象上的对应点分别是(1，2)，
(1，－2) ， (1， )，可知，其中有两点在第一象限，一
点在第四象限，排除B，C；在第一象限内，y1的对应点(1， 2)在上，y3的对应点(1， )在下，排除A.
导引：
典题精讲
1 关于二次函数 y＝3x 2的图象，下列说法错误的是(　　)
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x 2的图象关于x 轴对称
C
典题精讲
2 关于二次函数 y＝2x 2与 y＝－2x 2，下列叙述正确的有
(　　)
①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都
是 y 轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数 y
＝2x 2的图象开口向上，二次函数 y＝－2x 2的图象开口
向下；⑤它们的图象关于x 轴对称．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
典题精讲
若二次函数 y＝ax 2的图象过点P (－2，4)，
则该图象必经过点(　　)
A．(2，4)　 B．(－2，－4)
　 C．(－4，2)　 D．(4，－2)
A
典题精讲
函数 y＝ax－2与 y＝ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
4
A
典题精讲
函数 y＝k (x－k )与y＝k x 2，y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
5
C
典题精讲
如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C1：y＝x 2(x ≥0)和抛物线C2：y＝ (x ≥0)交于A，B 两点，过点A 作CD∥x轴分别与y 轴和抛物线C2交于点C，D，过点B 作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E，F，则 的值为(　　)
B.
C. D.
6
D
探索新知
2
知识点
二次函数 y＝ax 2的性质
1．二次函数 y＝ax 2(a≠0)的图象和性质如下表：
函数y＝ax 2 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴
a＞0 向上 |a |越大， 开口越小 (0，0) y 轴(直线x＝0)
a＜0 向下 |a |越小， 开口越大 (0，0) y 轴(直线x＝0)
探索新知
函数y＝ax 2 增减性 最值
a＞0 当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＜0时，y 随x 的增大而减小 当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0 当x＞0时，y 随x 的增大而减小 当x＜0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时，
y最大值＝0
续表：
探索新知
例2 已知抛物线 y＝4x 2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0
时，y1 ________ y2.
导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，
将它们分别代入y＝4x 2中，得y1＝16，
y2＝4，所以y1＞y2.
方法二：在平面直角坐标系中画出抛
物线y＝4x 2，如图，显然y1＞y2.
方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，
y 随x 的增大而减小，所以y1＞y2.
＞
探索新知
总 结
方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；方法二运用数形结合思想，根据题意画出图象，利用图象来解题；方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图象的性质进行判断．
探索新知
导引：(1)由增减性可知a－2＜0，从而可求a 的取值范围；
(2)由于函数有最大值，所以其图象的开口方向向下，
从而得到3a－2＜0；
例3 根据下列条件分别求a 的取值范围：
(1)函数 y＝(a－2)x 2，当x＞0时，y 随x 的增大而减小，
当x＜0时，y 随x 的增大而增大；
(2)函数 y＝(3a－2)x 2有最大值；
(3)抛物线 y＝(a＋2)x 2与抛物线y＝－ x 2的形状相同；
(4)函数 y＝ax a2＋a 的图象是开口向上的抛物线．
探索新知
导引：(3)由两抛物线的形状相同可知|a＋2|＝ ，进而求
出a 的值；(4)由其图象是开口向上的抛物线，可知
进而可求出a 的值．
解：(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜ .
(3)由题意得|a＋2|＝ ，解得a1＝－ ，a2＝－ .
(4)由题意得a 2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1，
由题知a＞0，∴a＝1.
探索新知
总 结
二次函数 y＝ax 2的图象和性质都是考查a 的正负性，可以直接记性质也可以画草图.
典题精讲
1 下列关于函数 y＝36x 2的叙述中，错误的是(　　)
A．图象的对称轴是y 轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y 随x 的增大而增大
D．y 有最大值
2 抛物线y＝ x 2，y＝x 2，y＝－x 2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对
称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
B
典题精讲
已知抛物线 y＝ax 2(a＞0)过A (－2，y1)，B (1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(　　)
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
易错提醒
已知二次函数 y＝x 2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
易错点：不能准确地掌握二次函数 y＝ax 2的图象与性质
易错提醒
当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；
当x＝4时，y＝42＝16.
∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x 的最小值是1，最大值是16.
－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y 随x 的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，
y＝16，所以最大值为16.
∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数 y＝x 2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数 y＝x 2的最大值为16.
错解：
诊断：
正解：
学以致用
小试牛刀
1 对于二次函数：①y＝3x 2；②y＝ x 2；③y＝ x 2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(　　)
A．②>③>① B．②>①>③
C．③>①>② D．③>②>①
A
2 若二次函数 y＝－ax 2，当x＝2时，y＝ ；则当x＝－2时，y＝________．
小试牛刀
3 已知函数y＝(m＋3)x ＋3m－2是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值．
(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值？
小试牛刀
(1)根据题意，得
解得
∴m＝－4或m＝1.
(2)∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0.
∴m＜－3.
∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
解：
m 2＋3m－2＝2，
m＋3≠0，
m＝－4或1，
m≠－3.
小试牛刀
(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数有最小值．
小试牛刀
4 根据下列条件分别求a 的值或取值范围．
(1)函数y＝(a－2)x 2，当x＞0时，y 随x 的增大而减小，当x＜0时，y 随x 的增大而增大；
(2)函数 y＝(3a－2)x 2有最大值；
(3)抛物线 y＝(a＋2)x 2与抛物线y＝－ x 2的形状相同；
(4)函数 y＝ax ＋a 的图象是开口向上的抛物线．
小试牛刀
(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜
(3)由题意得|a＋2|＝ ，解得a1＝－ ，a2＝－
(4)由题意得a 2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，∴a＝1.
解：
小试牛刀
5 已知一次函数 y＝kx＋b 与二次函数 y＝ax 2的图象如图所示，其中一次函数的图象与x 轴，y 轴的交点分别为A (2，0)，B (0，2)，直线与抛物线的交点分别为P，Q，且它们的纵坐标的比为1∶4，求这两个函数的表达式．
小试牛刀
把点A 的坐标(2，0)和点B 的坐标(0，2)分别代入y＝kx＋
b，得 解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.设点P 的坐标为(x1，y1)，点Q 的坐标为(x2，y2)，则y1＝ax12，y2＝ax22，且y1∶y2＝1∶4，
∴y2＝4y1，ax12∶ax22＝1∶4.
∴x1∶x2＝(±1)∶2.
解：
2k＋b＝0，
b＝2.
k＝－1，
b＝2.
小试牛刀
又点Q 在第二象限，点P 在第一象限，
∴只能是x1∶x2＝－1∶2.
∴x2＝－2x1.
∴点Q 的坐标为(－2x1，4y1)．
把P，Q 两点的坐标分别代入y＝－x＋2，
得 解得
∴点P 的坐标为(1，1)．把点P 的坐标(1，1)代入y＝ax 2，得a＝1.
∴二次函数的表达式为y＝x 2.
y1＝－x1＋2，
4y1＝2x1＋2.
x1＝1，
y1＝1.
小试牛刀
6 如图，抛物线 y＝ax 2与直线y＝kx＋b 在第一象限内交于点A (2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
(2)在x 轴上是否存在一点P，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)将A (2，4)的坐标代入y＝ax 2得4＝4a，∴a＝1.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x 2.
(2)设有一点P (x，0)使△AOP 为等腰三角形．
由题意知OA＝ ＝2
当OA＝OP 时，OP＝2
∴P (2 ，0)或P (－2 ，0)．
当OA＝AP 时，(x－2)2＋16＝20，
∴x＝0(舍去)或x＝4.
∴P (4，0)．
解：
小试牛刀
当OP＝AP 时，x 2＝(x－2)2＋16，
∴x＝5.∴P (5，0)．
∴当点P 的坐标为(2 ，0)，(－2 ，0)，(4，0)或(5，0)时，△AOP 为等腰三角形．
课堂小结
课堂小结
1. 画函数图象的步骤有哪些？
2. 二次函数 y=ax 2的图象有哪些性质？
同学们，
下节课见！
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