【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.1二次函数【优质课件】

(共43张PPT)
1 二次函数
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？
回顾旧知
一次函数 y＝kx＋b (k≠0)
正比例函数 y＝kx (k≠0)
反比例函数
一条直线
双曲线
情景导入
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，它们的具体关系可以表示为 y＝6x 2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x 的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数的定义
问题1
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？
比赛的场次数
m＝ n (n－1)，
即m＝ n 2－ n.
探索新知
问题2
某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？
两年后的产量
y＝20(1＋x )2，
即y＝20x 2＋40x＋20.
探索新知
思考：函数 y =6x 2，m＝ n 2－ n，y＝20x 2＋40x＋20有
什么共同点？
1、函数解析式是整式；
2、化简后自变量的最高次数是2；
3、二次项系数不为0.
可以发现
探索新知
一般地，形如 y＝ax 2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
定义
探索新知
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；　 (2)y＝－5x 2；　　　　　
(3)y＝3a 3＋2a 2； (4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； (6)y＝x 2＋ .
例1
探索新知
解：
(1)y＝7x－1；
×
(2)y＝－5x 2；
√
(3)y＝3a 3＋2a 2；
×
自变量的最高次数是1
自变量的最高次数是2
自变量的最高次数是3
(4)y＝x－2＋x；
x－2不是整式
×
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
整理得到 y＝3x 2－21x＋30，是二次函数
√
(6)y＝x 2＋
不是整式
×
探索新知
解：
二次项系数
二次项系数
一次项系数
常数项
(2) y＝－5x 2
所以 y＝－5x 2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
(5)化为一般式，得到y＝3x 2－21x＋30，
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，
一次项系数为－21，常数项为30.
典题精讲
下列函数中(x，t 是自变量)，哪些是二次函数？
1
解：
典题精讲
2 下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝ax 2＋bx＋c
C．s＝2t 2－2t＋1 D．y＝x 2＋
3 下列各式中，y 是x 的二次函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x 2＋ ＋1
C．y＝2x 2－1 D．y＝
4 下列各式中，y 是x 的二次函数的是(　　)
A．y＝ax 2＋bx＋c B．x 2＋y－2＝0
C．y 2－ax＝2 D．x 2－y 2＋1＝0
C
C
B
探索新知
2
知识点
二次函数的一般形式及函数值
一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y =ax +bx+c 0 (a≠0) 这种形式叫做二次函数的一般形式 .
为什么规定a≠0，b，c 可以为0吗？
探索新知
二次函数的项和各项系数
y =a x +b x+ c
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
指出方程各项的系数时要带上前面的符号.
探索新知
函数值：确定一个x 的值，代入二次函数表达式中所得的y 值
为函数值.
探索新知
例2 当x＝－2和1时，对于二次函数 y＝x 2－x－2
对应的函数值是多少？
当x＝－2时，y＝4－(－2)－2＝4，
当x＝1时，y＝1－1－2＝ －2.
所以，当x＝－2时，函数值y＝4，
当x＝1时，函数值 y＝ －2.
解：
典题精讲
已知二次函数 y＝1－3x＋5x 2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c 分别是(　　)
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
1
D
典题精讲
关于函数 y＝(500－10x )(40＋x )，下列说法不正确的是(　　)
A．y 是x 的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100 D．常数项是20 000
2
C
已知x 是实数，且满足(x－2)(x－3) ＝0，则相应的函数 y＝x 2＋x＋1的值为(　　)
A．13或3 B．7或3
C．3 D．13或7或3
3
C
探索新知
3
知识点
利用二次函数的表达式表示实际问题
根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几个步骤：
(1)确定自变量与函数代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
探索新知
例3 填空：
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V (cm3)与底面半
径r (cm)之间的函数关系式是____________________；
(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
y 与x 之间的函数关系式是_____________________________．
(1)根据圆柱体积公式V＝πr 2×h求解；
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝
S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x (10－x )
＋x 2＋x (10－x )＝－x 2＋20x，②减少的面积y＝
S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x 2＝－x 2
＋20x，③减少的面积 y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10
－x )2＝－x 2＋20x.
V＝14πr 2(r＞0)
y＝－x 2＋20x (0≤x≤10)
导引：
探索新知
求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关面积、体积公式写出二次函数解析式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变量的取值(在一些问题中, 自变量的取值可能是整数或者是在一定的范围内)；
(2) 判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，不要漏掉一
些约束条件．列不等式组是求自变量的取值范围的常见方法．
总 结
典题精讲
圆的半径是1cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加 y cm2.
(1)写出y 与x 之间的关系式；
1
(1) y＝π·(1＋x )2－π·12＝πx 2＋2πx，
即y 与x 之间的关系式为y＝πx 2＋2πx.
解：
(2)当圆的半径分别增加1cm， cm， 2cm时，圆的面积各增加多少？
典题精讲
(2)当x＝1时，y＝π＋2π＝3π；
当x＝ 时，y＝2π＋2 π＝(2＋2 )π；
2 m＝200 cm，
当x＝200时，y＝40 000π＋400π＝40 400π.
故当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 m时，圆的
面积各增加3π cm2，(2＋2 )π cm2，40 400π cm2.
解：
典题精讲
2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数表达式为(　　)
A．y＝60(1－x )2 B．y＝60(1－x )
C．y＝60－x 2 D．y＝60(1＋x )2
A
典题精讲
如图，在Rt△AOB 中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t (0＜t＜3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S 与t 之间的函数关系式为(　　)
A．S＝t
B．S＝ t 2
C．S＝t 2
D．S＝ t 2－1
3
B
易错提醒
当a＝________时，函数 y＝(a－2)x －2＋ax－1是二次函数．
易错点：利用二次函数的定义求字母的值时，易忽略二次项系数不为0这一条件而导致错误
－2
易错提醒
求二次函数中字母的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求a 的值，从而得出错解．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
1 若函数 y＝(m－2)x 2＋4x－5(m 是常数)是二次函数，
则(　　)
A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
2 若y＝(m－1)x m 2＋1是二次函数，则m 的值是(　　)
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
B
B
小试牛刀
3 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是(　　)
A．y＝mx 2＋3x－1
B．y＝(m－1)x 2
C．y＝(m－1)2x 2
D．y＝(－m 2－1)x 2
D
小试牛刀
4 某商店以每双42元的价格购进一种皮鞋，根据试销得知这种皮鞋每天的销售量t (双)与每双的售价x (元)之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出每天的销售利润y (元)与每双的售价x (元)之间的函数表达式，并确定自变量x 的取值范围．
y 与x 之间的函数表达式为
y＝(x－42)t＝(x－42)(－4x＋204)＝－4x 2＋372x－8 568.
因为进价为42元，所以x ≥42.
而销售量t ≥0，故－4x＋204≥0，即x ≤51.
所以自变量x 的取值范围为42≤x≤51.
解：
小试牛刀
5 如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE＝AF，设△AEF 的面积为y，EC 的长为x，求y 与x 的函数关系式．
小试牛刀
由已知条件可证Rt△ABE ≌ Rt△ADF，
∴BE＝DF.
∴EC＝FC＝x，BE＝DF＝4－x.
∴S△ABE＝S△ADF＝ ×4×(4－x )＝8－2x，
S△AEF＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△EFC＝
16－2×(8－2x )－ x 2，
即y＝－ x 2＋4x (0解：
小试牛刀
6 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设计费为每平方米1 000元，设矩形一边的长为x m，面积为S m2.
(1)求S 与x 之间的函数表达式，并确定自变量x 的取值范围；
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
x/m
S/m2
设计费/元
小试牛刀
(1)S＝x（ －x）＝－x 2＋6x (0＜x＜6)．
(2)填表如下：
由表格可知，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
解：
x/m 1 2 3 4 5
S/m2 5 8 9 8 5
设计费 /元 5 000 8 000 9 000 8 000 5 000
小试牛刀
7 观察如图所示的构成规律．
(1)如果第n 个图中有S 个圆，试写出S 与n 的函数表达式；
(2)这个函数是不是二次函数？
(1)S＝n 2＋1.
(2)是二次函数．
解：
课堂小结
课堂小结
1.关于二次函数的定义要理解三点：
(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实
数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实
际意义．
(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要
把函数表达式化为一般式．
(3)二次项系数不为0.
课堂小结
2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
同学们，
下节课见！
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