【班海精品】北师大版（新）九年级下-1.5三角函数的应用 第二课时【优质课件】

(共43张PPT)
5 三角函数的应用
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
新课精讲
探索新知
1
知识点
用解直角三角形解方位角问题
方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
探索新知
东
西
北
南
O
(1)正东，正南，正西，正北
(2)西北方向：_________
西南方向：__________
东南方向：__________
东北方向：__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
认识方位角
探索新知
O
北
南
西
东
(3)南偏西25°
25°
北偏西70°
南偏东60°
A
B
C
射线OA
射线OB
射线OC
70°
60°
认识方位角
探索新知
如图，一艘海轮位于灯塔P 的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
例1
65°
34°
探索新知
解：如图，在Rt△APC 中，
PC =PA cos(90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P 大约 130 n mile.
A
P
C
B
北
探索新知
总 结
利用解直角三角形解决方向角的问题时，“同方向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件．
典题精讲
如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A 在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________．
1
典题精讲
2 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是(　　)
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里
C
典题精讲
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是(　　)
A．15 海里
B．30海里
C．45海里
D．30 海里
3
B
探索新知
2
知识点
用解直角三角形解坡角问题
α
A
C
B
D
E
坡面AB 与水平面的夹角叫做坡角.
坡面的垂直高度与水平
宽度之比叫做坡度，记作 i .
h
l
探索新知
例2 如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处
测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡
向上走到C 处，这时，PC＝30 m，点C 与点A 在同一水平线上，
A，B，P，C 在同一平面内．
(1)求居民楼AB 的高度；
(2)求C，A 之间的距离．
(结果精确到0.1 m，
参考数据： ≈1.41，
≈1.73， ≈2.45)
探索新知
(1)过点C 作CE⊥BP，交BP 的延长线于点E，
易知AB＝EC. 在Rt△CPE 中，由sin ∠CPE＝
得出EC 的长度，进而可求出答案．
(2)在Rt△ABP 中，由tan ∠APB＝ 得出BP 的长，
在Rt△CPE 中，由cos ∠CPE＝
得出PE 的长，最后由AC＝BE＝BP＋PE 得出答案．
导引：
探索新知
(1)过点C 作CE⊥BP，交BP 的延长线于点E，如图，
易得AB＝CE.
在Rt△CPE 中，PC＝30 m，∠CPE＝45°，
∵sin ∠CPE＝
∴CE＝PC · sin ∠CPE
＝30×
≈21.2(m)．
∴AB＝CE≈21.2 m.
即居民楼AB 的高度约为21.2 m.
解：
探索新知
(2)在Rt△ABP 中，AB＝152 m，∠APB＝60°，
∴BP＝
在Rt△CPE 中，PC＝30 m，∠CPE＝45°，
∴PE＝PC · cos ∠CPE＝30×
易得AC＝BE＝BP＋PE＝5 ＋15 ≈33.4(m)，
即C，A 之间的距离约为33.4 m．
探索新知
总 结
作辅助线构造直角三角形解答，注意准确把握仰角及坡角的概念．
典题精讲
如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD//BC，坝顶AD= 6m坡长 CD = 8m，坡底BC=30m， ∠ADC＝135°.
(1)求∠ABC 的度数；
(2 )如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3)
1
A
B
C
D
典题精讲
(1) 过点A 作AE⊥BC 于点E，过点D 作DF⊥BC 于点F.
∵AD∥BC，∴四边形AEFD 是矩形．
∴AD＝EF，AE＝DF.
∵∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°.
在Rt△DCF 中，DF＝CD cos ∠FDC＝8×cos 45°＝ (m)，
FC＝CD sin ∠FDC＝8×sin 45°＝ (m)，
∴BE＝BC－EF－FC＝30－6－ ＝(24－ ) m．
在Rt△ABE 中，tan ∠ABE＝ ＝ ＝
≈0.308 4，∴∠ABC≈17°8′23″.
解：
典题精讲
(2) S四边形ABCD＝ (AD＋BC )×DF
＝ ×(6＋30)×
＝ (m2)，
V＝ ×100≈10 182.34(m3)．
所以，建筑这个大坝共需约10 182.34 m3土石料．
解：
典题精讲
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
2
280
典题精讲
为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝ ，则CE 的长为_______．
3
8m
典题精讲
如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB 的长约为(　　)(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
4
A
典题精讲
如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1：2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC 的高度为(　　)
A．5米　　
B．6米　　
C．8米　　
D．(3＋ )米
5
A
学以致用
小试牛刀
如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　)米/秒．
A．20( ＋1)
B．20( －1)
C．200
D．300
1
A
小试牛刀
如图，某人在大楼30米高(即PH＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i 为1 : 点P，H，B，C，A 在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH⊥HC.则A，B 两点间的距离是(　　)
A．15米
B．20 米
C．20 米
D．10 米
2
B
小试牛刀
3 如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A 处，它向东航行20 n mile到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短距离(结果保留根号)．
小试牛刀
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，
∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，
AC＝PC tan 60°＝ PC.
∴AB＝AC－BC＝( －1) PC＝20.
∴PC＝ ＝10 ＋10(n mile)．
答：轮船航行途中与灯塔P 的最短距离是(10 ＋10)n mile.
解：
小试牛刀
4 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
小试牛刀
如图，作CH⊥AD 于点H.设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°，
tan 37°＝
∴AH＝
在Rt△CEH 中，
∵∠CEH＝45°，
∴CH＝EH＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
解：
小试牛刀
∴CH∥BD，
∴
∵AC＝CB，∴AH＝HD.
∴ ＝x＋5.
∴x≈15.
∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
小试牛刀
5 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD＝2 m)，背水坡DE 的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4 m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC (参考数据：
sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)．
小试牛刀
设BC＝x，在Rt△ABC 中，
∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝
在Rt△EBD 中，
i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE.
∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋ x，解得x＝12.
解：
小试牛刀
6 如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12 m，坡角α 为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，
tan 39°≈0.81， ≈1.41，
≈1.73， ≈2.24)
小试牛刀
假设点D 移到D ′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E，过点D ′作D′E ′⊥AC 于点E ′，如图所示．
∵CD＝12，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD sin 60°＝12× ＝6 ，
CE＝CD cos 60°＝12× ＝6.
∵DE⊥AC，D′E ′⊥AC，DD ′∥CE ′，
∴四边形DEE′D ′是矩形．
∴D′E ′＝DE＝6 .
∵∠D′CE ′＝39°，
解：
小试牛刀
∴CE ′＝
∴EE ′＝CE ′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(m)．
答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7m才能保证教学楼的安全．
课堂小结
课堂小结
1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位
置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知
角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角
函数解决问题．
2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割
为直角三角形和矩形来解决问题．
同学们，
下节课见！
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